譯者按 懷爾德（Raymond L.Wilder， 1896.11.3 - 1982.7.7），美國著名拓撲學家，曾任美國數(shù)學會（AMS）主席（1955-1956）和美國數(shù)學協(xié)會（MAA）主席（1965 -1966）。受其好友也是他女兒的導師、著名人類學家懷特（Leslie A. White）的影響，逐步產(chǎn)生了對哲學、人類學的興趣。從20世紀50年代起，在長達三十年的時間里，他一直致力于把數(shù)學描繪成一個進化的文化體系。本文是作者應(yīng)邀在1950年召開的國際數(shù)學家大會上所作的大會報告。在這篇報告中，懷爾德提出了數(shù)學一部分是文化的產(chǎn)物的觀點。他試圖把社會科學，特別是人類學、社會學和歷史學的方法應(yīng)用到數(shù)學上。數(shù)學知識被視為一種集體財富，也即本質(zhì)上是一種公共知識，懷爾德的文化進路的核心正是這種公共知識的增長和交流。懷爾德關(guān)注的是把數(shù)學描繪成遵循文化進化的普遍原理，更強調(diào)文化環(huán)境對數(shù)學的更一般的影響，而未涉及數(shù)學進化的內(nèi)部因素。除發(fā)表數(shù)學文化的一系列論文和演講外，懷爾德還撰寫了“數(shù)學概念的進化：初步的研究”（The Evolution of MathematicalConcepts： an Elementary Study。Wiley，New York，1968）和“作為文化體系的數(shù)學”（Mathematics as以Cultural System，Pergamon，Oxford，1981）兩部專著。在這些后續(xù)著作中，懷爾德進一步完善了他的數(shù)學文化觀，并且作了更加系統(tǒng)的闡述。他提出數(shù)學是由“遺傳力量”和“環(huán)境力量”共同作用而處于不斷發(fā)展和變化之中的文化系統(tǒng)。懷爾德的數(shù)學文化思想被大部分致力于數(shù)學基礎(chǔ)研究的哲學家所忽視。只有當哲學家們對數(shù)學基礎(chǔ)主義產(chǎn)生懷疑并轉(zhuǎn)向數(shù)學擬經(jīng)驗主義之后，他們才開始認識到懷爾德思想的哲學意義。一旦我們致力于數(shù)學實踐，我們就會承認：如同其他任何復(fù)雜的人類活動一樣，數(shù)學是文化的產(chǎn)物。數(shù)學實踐，易受到內(nèi)部和外部的壓力，是不斷進化的。肖運鴻譯。

我想，在世紀過半之際召開的國際數(shù)學家大會上，花點時間從整體上考察一下數(shù)學應(yīng)該是合適的。在各種會議和專題討論會上發(fā)表的講話和論文，一般關(guān)注的是數(shù)學的特殊領(lǐng)域或分支。本篇報告的目的，可謂跳出數(shù)學的圈子以期獲得一個新視角。從抽象的哲學角度，對數(shù)學已經(jīng)有了大量的研究，數(shù)學也從這些研究中受益——盡管數(shù)學家們對這些哲學的看法是比較持懷疑態(tài)度的。越來越多的數(shù)學家正致力于數(shù)學基礎(chǔ)的研究。其中許多是男性數(shù)學家，他們因為對數(shù)學的貢獻而贏得敬重。其中一些人在不同程度上把自己的理論當作教條來看待，而彼此對立的理論支持者們之間有時又會發(fā)生激烈的爭論。這不免使人懷疑，難道沒有一些更高明的觀點，讓人們更客觀公正地審視此類問題。

如今，普遍認為人類正處于糟糕的狀態(tài)，因為他把過多的精力投入到專業(yè)技能上，而對自身的研究卻少得可憐。在文明的早期，人類研究了天文學和其它自然科學，連同這些學科隱含的數(shù)學在內(nèi)。但是，對于諸如解剖學這樣的學科，人類卻不易保證客觀。就具有隱私性的個體而言，人自身似乎被認為是不可觸摸的。事實上，僅在我們這個時代，諸如心理學那樣更個人化的學科得到了適當?shù)淖鹬亍５?，在人類整體行為的研究方面我們卻沒什么進步。顯然可以歸于以下原因：

（1）無法把群體和個體的行為區(qū)分開來；

（2）盡管普通人勉強愿意被外科醫(yī)生解剖，或由精神病醫(yī)生進行分析，但是諸如國家、教會、俱樂部等這些決定其價值觀的群體組織卻仍然被認為是不可觸摸的，這是事實。

幸運的是，正如解剖學家最終可以接觸死刑犯的尸體，人類學家也可以接觸澳大利亞、太平洋島、非洲和美國等地的原始部落。在過去的50年間，人類學家在人類群體行為的研究方面有了巨大的進步，因為他們使用了值得劃入自然科學的無感情色彩的、客觀的方法，而不是諸如歷史學這樣的社會研究法。也許，文化概念的發(fā)展以及文化力的研究可列為人類精神的最高成就之一。這個概念盡管受到非議，但是近幾年來還是得到了長足的應(yīng)用。不僅心理學家、精神病專家和社會學家應(yīng)用它，而且那些意在加強海外勢力的政府也已認可。各種各樣的人類苦難都是起源于對文化的忽視。例如，殖民地人民的遭遇以及美洲印第安人受到的控制。

現(xiàn)在我提出文化這個概念，并不打算把它作為解決所有數(shù)學問題的藥方。但我相信，只有承認數(shù)學的文化基礎(chǔ)，才能對它的本質(zhì)有更好的理解。此外，還可以對各種問題特別是有關(guān)數(shù)學基礎(chǔ)的問題提供啟示。我并不是說它可以解決這些問題，而是說它不僅顯示出可以期待有多少種答案，而且能夠指出獲得這些答案的途徑。此外，我們業(yè)已相信并且將之歸于某種模糊的“直覺”的許多事情，在文化的基礎(chǔ)上獲得了真正的合法性。

為完整起見，首先我將大致解釋一下這個概念。顯然，它與以“K”來拼讀的文化（Culture），或者與來自頂尖大學的學位，或者上流社會的內(nèi)涵無關(guān)。文化就是由一群人，如原始部落或北美人，所具有的習慣、禮儀、信仰、用具等等可稱之為文化元素的集合。一般而言，它不是固定不變的，而是因時而變，形成所謂的“文化流”。它代代相傳，形成一個外表充滿活力的傳統(tǒng)體系。在控制力方面，它比希特勒之于納粹德國更加專斷；事實上，在一些原始部落，每一種行為，甚至于諸如日常的穿衣吃飯，都有規(guī)定的儀式。許多人類學家將文化視為一個有其自身發(fā)展規(guī)律的超級有機體。實際上，大部分人類學家似乎都把文化本身視為一個事物，而不必參照擁有它的群體或個體（除了某些目的之外）。

作為文明人，我們很少思考我們在多大程度上被文化所控制一一我們把自己的許多行為都視為是自然的。但是，如果你向一個普通的美國男人建議他應(yīng)該戴耳環(huán)，那么當你挨打后從地上爬起來的時候，就應(yīng)該考慮一下剛剛被挨打的原因。難道是因為他在以前的某個日子就已決定了，每當有人建議他戴耳環(huán)時他就要向那人的鼻子揮以一拳？當然不是。那是因為美國的文化使然。因此，他總是說，他所做的是一件很自然的事情。然而，在有些社群里，諸如納瓦霍人、普偉布洛和亞馬遜部落，男人戴耳環(huán)卻是件自然的事情。實際上，我們所謂的人之天性只不過是這樣一些文化特性的集合。納瓦霍人的人之天性無疑與霍屯督人不同。

作為數(shù)學家，我們共同享有所謂“數(shù)學的”那部分文化。我們受之影響，反之我們也影響它。作為個體，我們吸收文化的一部分。通過老師、雜志、書籍、諸如今天這樣的會議以及我們的同事，我們與文化接觸。通過對所吸收的那部分進行綜合，我們對文化的發(fā)展作出自己的貢獻。

如今，把數(shù)學看作文化元素并不時髦。人類學家已經(jīng)這樣做。但是，由于他們的數(shù)學知識一般而言非常有限，他們通常所做的只是對原始文化中所發(fā)現(xiàn)的算術(shù)種類進行零散的評注。然而，有一個例外。三年前，有一個叫懷特（L.A.White）的人類學家發(fā)表了一篇題為“數(shù)學現(xiàn)實之軌跡”的文章。它受到了各種數(shù)學家和哲學家表述的有關(guān)數(shù)學本質(zhì)的表面上似乎相互矛盾的思想的啟發(fā)。于是，哈代（G.H.Hardy）提出了一個信條：“數(shù)學現(xiàn)實在我們外部，我們的作用是發(fā)現(xiàn)它或觀察它，我們所證明的并被我們夸張為我們的創(chuàng)造的定理僅僅是我們觀察的記錄?！绷硪环矫?，布里奇曼（P.W. Bridgman）提出了一種觀點：“數(shù)學是人類的發(fā)明，這一點是最純粹的真實，是稍微觀察一下就能發(fā)現(xiàn)的事實?！边@些陳述盡管表面上互不兼容，但當它們得到合適的解釋時就不是這樣了。就數(shù)學是我們文化的一部分而論，正如哈代（Hardy）所言，它“在我們外部?！本臀幕静淮嬖冢侨祟愃季S的產(chǎn)物而論，正如布里奇曼（P.W. Bridgman）所言，數(shù)學是“人類的發(fā)明”。

作為一門知識體系，數(shù)學不是我知、你知或任何個人所知道的東西：它是我們的文化、我們集體財富的一部分。隨著時間的流逝，我們可能會把我們個人對它的一些貢獻遺忘掉。盡管我們會健忘，但這些貢獻仍將保留在文化流之中。正如許多其它文化元素的情形一樣，自從牙牙學語起我們就接受數(shù)學的教育，并從一開始給留下了我們所稱的“絕對真理”的印象。其真實性的意義和類別或許就像原始人對待神靈和儀式那樣。例如，埃爾米特（Hermite）似乎就是這樣認為的。根據(jù)阿達瑪（ Hadamard）的觀點，埃爾米特說：“我們是數(shù)學的仆人而不是主人；”在致柯尼西貝格（Konigsberger）的一封信中又說道：“這些分析的概念不依賴于我們而存在，”“它們構(gòu)成一個整體，只向我們顯露了一部分，雖然毫無疑問它與我們通過感覺所認識的其它事物的整體有著神秘的聯(lián)系?！憋@然，埃爾米特意識到到了他為之作出諸多貢獻的文化流的強有力的影響。

在其名著“西方的沒落”（Der Untergang des Abendlandes）中，斯賓格勒（O. Spengler）以很長的篇幅討論了數(shù)學的本質(zhì)及其在他的文化有機論中的重要性。受該著的影響，凱塞爾（C.J.Keyser）發(fā)表了有關(guān)數(shù)學作為文化線索的一些觀點，包括對這個論題的解釋和辯護：“在任何主流文化中，其數(shù)學的類型是文化整體不同特征的線索或鑰匙。”數(shù)學是文化的一部分，它受到其賴于創(chuàng)立的文化的影響。從這點來看，我們可以期待發(fā)現(xiàn)二者之間的關(guān)系。然而，關(guān)于它為文化提供了一把多好的鑰匙，我不發(fā)表意見；其實，它是人類學家回答的問題。因為文化支配著它的元素，特別地支配著數(shù)學，所以，對數(shù)學家來說，從這種觀點去考察它們的關(guān)系似乎會更有效。

讓我們花幾分鐘時間考察一下數(shù)學史。我承認我對此知之甚少，因為我不是歷史學家。然而，我總是想到，歷史學家在撰寫數(shù)學史的時候，他會時常面臨該包括哪些素材的問題。為了作出一個更清楚的案例，讓我們假設(shè)有一個假想的人A開始撰寫一部綜合史，希望把所有可得到的數(shù)學史素材全都包括進去。顯然，他將不得不采用一些素材而拋棄另一些素材。顯而易見，他的選擇標準必須依賴于哪些是構(gòu)成數(shù)學的知識。如果我們所指的是給數(shù)學下定義，當然他的任務(wù)是毫無希望的。雖然已經(jīng)有了很多定義，但是沒有一個被接受。從數(shù)量上來看，可以期望，每一個有自尊心的數(shù)學家都會給后人留下一個數(shù)學的定義。因此，我猜想，我們假想的數(shù)學家A將不僅受到他的文化中稱之為數(shù)學的影響，這些數(shù)學存在于現(xiàn)存的歷史（以前撰寫的）和被稱之為“數(shù)學的”著作中；而且也受到由所謂的數(shù)學家們發(fā)表的那類東西的影響。于是，他將承認我們業(yè)已表述過的，數(shù)學是他的文化的某個部分，并由此受到影響。

例如，假設(shè)A是一個生活在1200年（500年或1500年也一樣）的中國歷史學家。他將收錄有關(guān)籌算和解方程的大量素材；但是象歷史上希臘人所理解的那樣的幾何學卻一片空白，僅僅是因為它沒有融人到他的文化中的數(shù)學里去。另一方面，如果A是一個生活在公元200年的希臘人，他的數(shù)學史就會有豐富的幾何內(nèi)容，但是關(guān)于代數(shù)或者甚至有關(guān)中國人使用的籌算的內(nèi)容卻很少。但如果A是一個當代人，他將收錄幾何與代數(shù)，因為它們是我們稱為數(shù)學的一部分。然而，我想知道他對邏輯學會怎么辦呢？

盡管希臘人依賴于邏輯演繹，盡管諸如萊布尼茨（Leibniz）和帕斯卡（Pascal）這樣的數(shù)學家為其貢獻了很多時間，這是事實，但是這門學科在數(shù)學史中并沒有什么地位。作為一個嘗試，我拜讀了本世紀兩位很著名的歷史學家博爾（Ball）和卡約黎（Cajori）的著作，它們都寫于1900年前不久。在博爾的著作第一版（1888）的索引中，根本沒有提到“邏輯”；但在第四版（1908）中，在“符號邏輯與數(shù)理邏輯”條目下有一條單獨的引文，經(jīng)證實這是關(guān)于喬治·布爾（ GeorgeBoole）的一個偶然注記的引證，其大意是他“是符號邏輯或數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人之一”。于是符號邏輯被勉強擠在線下是因為布爾是一個數(shù)學家！在卡約黎的著作第一版（1893）的索引中，在“邏輯”條目下有四個引文，都是文中的偶然注記。在第二版（1919）中，這些引文沒有再出現(xiàn)，在“邏輯”條目下的索引只有三個引文（其中兩個也是“符號邏輯”條目下僅有的引文），它們也僅在文中的簡短注記中出現(xiàn)。然而，通過對正文的檢查發(fā)現(xiàn)，在“數(shù)理邏輯”的標題下差不多有四頁的內(nèi)容，盡管這個學科在索引中沒有任何引文，在“邏輯”和“符號邏輯”條目下也沒有被引。（盡管在索引中沒有任何引文，但是到了1919年，這個學科的重要性似乎足以使之進入數(shù)學史的素材?。?/p>

我懷疑在關(guān)于過去50年的數(shù)學史中，類似的情形是否很普遍。我所熟悉的關(guān)于這一時期的唯一一部這樣的數(shù)學史，是貝爾（Bell）的“數(shù)學的進化”。翻到該著的索引，我發(fā)現(xiàn)關(guān)于“邏輯”的引文多得我不想去數(shù)它們。特別地，關(guān)于他所稱的“數(shù)理邏輯”的進化，貝爾至少花了25頁的篇幅。是否有這樣一種可能，這門學科在1900年盡管有了皮亞諾（Peano）及其同事的開創(chuàng)性工作，但還沒有被視為我們文化的一部分，而現(xiàn)在其地位已如此之高以致任何一個關(guān)于數(shù)學的公正定義都必須擴展到足以把它納入進去。

雖然數(shù)學史傾向于傳記體的方式，但是現(xiàn)在一般也會注意到文化力的影響。例如，博爾在關(guān)于文藝復(fù)興時期的數(shù)學這一章的開頭，就指出了印刷機的引入帶來的影響。在最近出版的的歷史著作，即在已經(jīng)提及的貝爾的著作和斯特洛依克（Struik）的兩卷本的優(yōu)秀小冊子中，證據(jù)尤其明顯。例如，斯特洛依克在序言中就表達了這樣的遺憾：由于受篇幅所限，沒有充分涉及數(shù)學在某個時期達到成熟或者被扼殺時的文化與社會的整體環(huán)境。他繼續(xù)說道：“數(shù)學受到了農(nóng)業(yè)、商業(yè)和制造業(yè)，軍事、工程與哲學，物理學與天文學的影響。（在本書中），只指出了流體力學對函數(shù)論的影響，康德哲學和測量對幾何學的影響，電磁學對微分方程的影響，笛卡爾哲學對力學的影響，經(jīng)院哲學對微積分的影響。但是，只有把所有這些決定因素都考慮進去，才能理解數(shù)學這門課程及其內(nèi)容?！痹谠摃谌?，斯特洛依克對希臘數(shù)學的興起提出了富有啟發(fā)性的解釋，他把希臘數(shù)學與當時的文化環(huán)境聯(lián)系起來。我希望將來的數(shù)學史同樣能更多關(guān)注作為文化元素的數(shù)學，更加強調(diào)它與根植其中的文化二者之間的聯(lián)系。

在討論一般的文化概念時，我尚未提到文化變遷的兩個主要過程，即進化與傳播。所謂傳播，是指由于人類群體的某種接觸而導致的一種文化特征從一種文化向另一種文化的轉(zhuǎn)移。例如，隨著諾曼底人（對英格蘭）的軍事征服，法國人的語言和習俗被傳播到盎格魯·撒克遜人的文化中。至于我們所稱的文化進步有多少是由進化所致，有多少是由傳播所致，或有多少是二者結(jié)合所致，通常是難以確定的，因為這兩個過程高度融合在一起。例如，考察一下計數(shù)法。人類學家稱之為一種普遍的特征一而我在與數(shù)學家交談的時候，寧愿稱之為文化不變量一在每一種文化中至少可以找到它的初級形態(tài)。數(shù)基可能是10，12，20，25，60，所有這些都很普遍，顯然是由其它（變量）文化元素所決定的——但是，正如直覺主義者所言，計數(shù)法本質(zhì)上是一個不變量。如果我們考察更先進的文化，某個時候就出現(xiàn)了零的概念。正如人類學家克羅伯（A.L.Kroeber）所指出的，零的概念至少產(chǎn)生于三種人類文明，如：新巴比倫人（使用60進制）、瑪雅人（使用20進制）、印度人（十進制起源于他們）。在他的人類學中，他稱（零的概念的產(chǎn)生）為“文明的里程碑”。極端傳播論者試圖把它們聯(lián)系起來，但尚未成功。待他們成功之時，我們就可以推測，在任何的文化中終究都可以產(chǎn)生出零的概念。

在這里，中國與日本的數(shù)學是令人感興趣的。顯然，正如三上義夫（Mikami）和其它人所指出的，中國人從印度人那里學到了零的概念。至少早在公元1世紀，他們之間就有接觸，這是通過傳播而引入的一個例子。但是，即使沒有這樣的接觸，零也可能在中國數(shù)學中產(chǎn)生出來，主要是因為他們已經(jīng)使用了算籌。從另外一個立場來看，中國數(shù)學也是令人感興趣的。其發(fā)展似乎更多是由其在自身文化的內(nèi)部的進化而導致的，而傳播的影響甚微。數(shù)世紀以來，它是沿著狹隘的算術(shù)和代數(shù)方向發(fā)展的，而沒有如希臘人所發(fā)展的幾何學的跡象。17和18世紀的日本數(shù)學家可以欣喜地求解高達3000或4000次的方程，那時中國數(shù)學已經(jīng)通過傳播過程進入日本。這或許為那些認為不從傳播中受益的文化終將停滯不前的人提供了某種證據(jù)。有人會想：假如巴比倫人的零和位值制方法被融入到希臘數(shù)學中，那將發(fā)生什么一難道這意味著希臘數(shù)學將會轉(zhuǎn)向代數(shù)？它被傳人中國當然沒有產(chǎn)生什么效果，只是對已有的計算傾向稍有推動。

普遍承認，希臘數(shù)學不僅是產(chǎn)生小亞細亞地區(qū)文化的進化和傳播的自然產(chǎn)物，而且是與希臘文化的其它元素相伴出現(xiàn)的。希臘文化不僅有助于在希臘產(chǎn)生的那種數(shù)學，而且也可能阻礙了希臘數(shù)學與巴比倫人的計數(shù)法的融合。因為正如某些人認為的那樣，即使某些希臘學者知道了巴比倫人的計數(shù)法，他們也并不清楚它的價值。

我們熟悉印度一阿拉伯數(shù)學文化的傳播方式，它通過非洲到達西班牙，再進入西歐文化。經(jīng)歷了停滯不前的時代之后，解析幾何、微積分誕生了，數(shù)學的洪流滾滾而來。這一時期數(shù)學文化的發(fā)展是一個令人著迷的課題，有待文化史學家去研究。對大量“巨人”突然登場所作的簡單化的解釋，事實上已被所有人類學家所拋棄。造就“偉人”的必要條件是具備合適的文化環(huán)境，包括機遇、外部動力和原料。誰會懷疑希臘潛藏著偉大的代數(shù)學家？然而，雖然希臘具備了機遇和外部動力，但其文化原料中卻并沒有合適的符號機制。人類學家拉爾夫·林頓（Ralph Linton）評論道：“數(shù)學天才只能從其文化中的數(shù)學知識業(yè)已到達之處繼續(xù)前進。因此，假如愛因斯坦出生在一個計數(shù)不超過3的原始部落，那么即使他終身應(yīng)用數(shù)學也不可能使他超越基于手指和腳趾的十進制制。”此外，證據(jù)也強烈支持所述條件的充分性：就是說，合適的文化環(huán)境必然造就出偉人。如果你的哲學依賴于自由意志的臆斷，那么你就可能接受這一點。因為你的意志當然沒有比表述意志的機會更自由；今晚你可能去月球走一遭，但你做不到。這間房子里有可能正坐著偉大的布蘭科顱相學家。但是，如果果真如此，那么他們就注定永遠都將默默無聞，也不會有什么發(fā)展，因為布蘭科顱相學至今還不是我們的文化元素。

斯賓格勒這樣寫道：“我們沒有去這里或去那里的自由，但是有做必然之事或什么都不做的自由。具有歷史必然性的事件將由個人或其對手所完成?！笔聦嵣?，當文化或文化元素發(fā)展到準備要作重要變革的時候，后者可能在多個地點出現(xiàn)。一個經(jīng)典的例子就是生物進化論，它先由斯賓塞（Spencer）所預(yù)言。即使不是由達爾文（Darwin）來宣布，也將會由華萊士（Wallace）或之后不久由其它人來宣布。其它大多數(shù)情形也和本例一樣。在數(shù)學中你可以回想出許多這樣的例子。事后，通過本領(lǐng)域有關(guān)人物的蛛絲馬跡，人們可以回顧并描繪該理論的進化。

為什么今天這么多人會獻身于數(shù)學；為什么數(shù)學在過去的50年碩果累累？由我們的前輩、大學、協(xié)會、基金會、圖書館等等奠定的數(shù)學基礎(chǔ)工作提供了獨特的機遇、動力和文化原料。此外，進化和傳播的過程也極大加快了。在近來的活動中，這兩者中的后者起了更大的作用。因為眾所周知，在過去50年中，不同的數(shù)學分支之間出現(xiàn)了許多出人意料的融合。在過去的30年間，影響數(shù)學發(fā)展的一個最不尋常的文化因素就是，德國、波蘭及其它國家的杰出數(shù)學家移民到了美國。對數(shù)學不同分支感興趣的人集中到了一起，為了他們的共同利益來探討如何把這些分支融合在一起。新的分支往往都產(chǎn)生于這樣的會議。過去50年間的數(shù)學文化史將古希臘、中國和西歐的數(shù)學融合在一起。這令人信服地說明，沒有哪個分支可以永遠孤立地發(fā)展下去而不最終達到一種靜止狀態(tài)。

對數(shù)學的傳播來說，或許沒有任何一種工具比期刊更重要。如果研究的結(jié)果沒有充分的機會發(fā)表和合適的傳播，數(shù)學的進步就會遭到嚴重的阻礙。任何借期刊阻止國際交流的做法，例如對使用不廣的語言加以限制，無疑是反數(shù)學的行為。因為今天的數(shù)學是國際性的，這已是老生常談。

這促使我們考察一下符號。因為所謂數(shù)學的國際性特征，在很大程度上歸結(jié)于業(yè)已實現(xiàn)的符號

或者考察一下這個論題，所有數(shù)學都可以從某些似乎可看成原始的或普遍的邏輯原理和方法推導出來?！霸嫉摹被颉捌毡榈摹碧卣鱽碜阅睦锬?？如果這些術(shù)語暗示了，這些原理就像計數(shù)法一樣也有著文化不變量的基礎(chǔ)，那么就應(yīng)該指出，文化的存在是沒有任何合法性的，即使是以定性的非符號化的形式。例如，在包含神秘元素（這些元素成為某些原始文化的相當重要的組成元素）的文化中，矛盾律是失效的。此外，認為我們的思維形式是文化不變量的信念不再保留。作為一個著名哲學家，約翰·穆勒（John S.Mill）說：“語法的原理和規(guī)則是為了使語言形式與思維的普遍形式相一致而制定的工具?！比绻吕帐煜びW之外的其它語系，他就不會犯如此的錯誤。例如，特羅布里恩島人沒有因果的思維模式；他們的語言就沒有包含表達事件相互關(guān)系的方法。正如馬林諾夫斯基（Malinowski）所指出的，這些人沒有關(guān)于此事與彼事前后相繼的概念，時間上的先后順序是不重要的。（然而，康德的追隨者們應(yīng)注意到他們會數(shù)數(shù)）但我?guī)缀鯖]必要對此再嘮叨。正如盧卡塞維茨（Lukasciewiez）和其他人所注意到的，甚至連亞里士多德也沒有像后來的邏輯學家那樣對排中律表達敬意！就此而論我想做的就是指出：我相信，在文化的基礎(chǔ)上我們確立了對數(shù)理邏輯學家們正普遍接受之物的信心；即，如《數(shù)學原理》中這樣的材料，其意義和有效性與其它純形式系統(tǒng)是完全一樣的。

下列說法可能是合理的：由數(shù)理邏輯學家構(gòu)想且目前正在研究的數(shù)學基礎(chǔ)在文化的基礎(chǔ)上得到了極大的支持。因為就能夠存在的和已經(jīng)存在的不同文化、不同思維形式、以致不同的數(shù)學而言，似乎不可能認為數(shù)學如我已指出的那樣，它不是人工的、也沒有比其它文化特征更多的必然性或真理性。例如，數(shù)學存在性問題訴諸任何的數(shù)學信條都永遠不能得到解決。的確，除了與特殊的基礎(chǔ)理論有關(guān)外，它們沒有任何的有效性。例如，關(guān)于選擇集的存在性問題，對直覺主義者和對形式主義者而言是不一樣的。直覺主義者可以有理由聲稱“象連續(xù)統(tǒng)這樣的問題是不存在的”，假如他補上“對直覺主義者而言”——否則他就是在胡扯。由于其文化基礎(chǔ)，數(shù)學就沒有絕對的事物，只有相對的。

但是，我們不應(yīng)被這些因素所誤導而草草作出如下的結(jié)論：我們文化中的數(shù)學的組成成分是完全任意的。例如，它可以定義為“p蘊含q的科學”，或者公理系統(tǒng)的科學。盡管文化群體中的個體允許有一定程度上的變異性，但它同時易受到他的文化的控制。作為個體的數(shù)學家可以隨心所欲地和公理系統(tǒng)打交道，但是只有當它們與他的文化中的數(shù)學現(xiàn)實聯(lián)系在一起時，它們才能被視為習以為常。類似的紐帶，雖然沒有這么明顯，也將數(shù)學和其它文化元素連在一起。我們不能忽視這些紐帶以及將我們每個人與各自的數(shù)學興趣連在一起的紐帶，即使我們想這樣做。它們可能非常公開地施加影響，正如最近，數(shù)學家們都投身于高速計算機，或者投身于發(fā)展其它新的前所未見的數(shù)學，它們都是由于我們文化中的戰(zhàn)爭需要的刺激而產(chǎn)生的?；蛘咚鼈兊挠绊懸部梢允请[蔽的，正如由文化導致了某些數(shù)學習慣并且在反應(yīng)上已經(jīng)達到了符號反射的水平。因此，雖然公理法可能成為建立理論的最普遍接受的模式，但是務(wù)必慎重使用；否則，所建立的理論就不是作為我們文化的數(shù)學成分一部分的數(shù)學。

但是，我該結(jié)束我的評論了。研究一下時尚和文化模式在數(shù)學中的印跡是令人感興趣的。這些對數(shù)學家或人類學家來說可能是令人感興趣的研究主題?？梢栽O(shè)想，還能為該領(lǐng)域?qū)淼目赡苷n程提供一些線索。然而，我將發(fā)表一個簡短的結(jié)論：

在人類的各種文化中，都發(fā)現(xiàn)了某些所謂“數(shù)學的”文化元素。在人類文明的早期，一種文化與另一種文化的差異如此之大，以致在一種文化中的所謂“數(shù)學”卻在其它文化中幾乎得不到認可。隨著傳播的擴大，這首先是由于探險和發(fā)明，其次是由于合適符號的應(yīng)用的增加及其后來的標準化，以及在期刊中的傳播，除了微小的文化差異外，如意大利注重幾何，法國注重函數(shù)論，最先進文化中的數(shù)學元素逐步融合在一起，直至產(chǎn)生了所有文明文化共有的、本質(zhì)上一致的所謂“數(shù)學”的元素。然而，這并不是固定不變的，而是經(jīng)常遭到改變。并非所有的變化都標志著新素材的增加；由于有影響的文化變遷，有些變化是材料的脫離，不再被認為是數(shù)學。例如，有些所謂“分界線”的著作就難以放在數(shù)學之內(nèi)或數(shù)學之外。

19世紀后半葉，數(shù)的概念擴充到超限數(shù)，大約在世紀之交產(chǎn)生了某些矛盾。結(jié)果，在過去的50年間，關(guān)于基礎(chǔ)問題的研究得到了加強，并伴隨著數(shù)理邏輯的巨大發(fā)展。旨在數(shù)學真理的絕對標準或者固定的數(shù)學方法而尋求令人滿意的基礎(chǔ)理論，就此而論似乎注定要失敗，因為承認數(shù)學的文化基礎(chǔ)就不得不承認其可變的和不斷發(fā)展的特征。然而，象其它文化特征那樣，數(shù)學并不是數(shù)學家個體完全任意的構(gòu)造，因為數(shù)學家個體在表面上自由的創(chuàng)造中，受到他所處時代的數(shù)學現(xiàn)狀和發(fā)展方向的制約。正是后者決定了當時什么才是“重要的”。

相應(yīng)地，數(shù)學的現(xiàn)狀和發(fā)展方向是由數(shù)學內(nèi)部和外部文化力的總的綜合體所決定的。在過去的50年間，引人注目的外部作用力就是主要文化正在渡過的危機。這些作用力促使大批數(shù)學家從西歐移民到美國。在諸如應(yīng)用數(shù)學的某些分支的新方向的確立或者原有方向的加速發(fā)展上，由于數(shù)學思想的傳播和交流，他們建立了新的聯(lián)系。

下一個50年將會帶來什么，因能力所限我無法預(yù)測。斯賓格勒在他的《西方的沒落》一書中斷言：就群體來看，西方數(shù)學作出了“最后的、決定性的創(chuàng)造”，又在題為“數(shù)的意義”的第二章結(jié)尾寫道：“偉大數(shù)學家的時代已經(jīng)一去不復(fù)返了。我們今天的任務(wù)是保存，加工，提煉和選擇——而不是充滿活力的偉大創(chuàng)造，就如希臘晚期亞歷山大數(shù)學所作的靈巧而精細的工作那樣?！痹摃霭嬗?918年-32年前——他說得正確與否，留待你去判斷。如今，處于數(shù)學活動中心的那些國家分成兩個對立陣營的危險，似乎不可能長久持續(xù)下去而導致兩種不同的數(shù)學文化的出現(xiàn)——盡管在其它領(lǐng)域，例如植物學，這種分裂似乎正在發(fā)生。然而，作為數(shù)學家我們就像植物學家、經(jīng)濟學家或農(nóng)民一樣，易受到文化力的影響，不同文化的長久分離會導致個性的變化，這不會不反映在我們的數(shù)學行為中。讓我們期待，數(shù)學在50年后的世紀之交就像今天一樣，仍然是一個活躍的、獨特的文化力，仍然具有思想的自由傳播，這是發(fā)展和活力的主要決定因素。