王亞楠等

摘 要： 模塊主成分分析是人臉重建中一種重要的子空間學(xué)習(xí)方法，魯棒性不足是傳統(tǒng)的基于L2范數(shù)的模塊主成分分析（BPCA-L2）的主要問題。為此，提出了一種新的基于L1范數(shù)的模塊主成分分析（BPCA-L1）方法。該方法使用了對奇異值不太敏感的L1范數(shù)。基于L1范數(shù)的模塊主成分分析方法簡單并易于實(shí)現(xiàn)，在一些人臉數(shù)據(jù)集上的重建實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其有效性。

關(guān)鍵詞： 模塊主成分分析； L1范數(shù)； 主成分分析； 魯棒性

中圖分類號：TP393 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1006-8228（2015）02-24-02

Application of block principal component analysis in face reconstruction

Wang Ya'nan， Lou Hanxiao， Chen Daben， Xu Shuhua

（School of Maths and Physics， Shaoxin College， Shaoxing 312000）

Abstract： The block principal component analysis is an important subspace learning method in face reconstruction. Lacking robustness is a main problem of the traditional L2-norm （L2-BPCA）. In this paper， a method of block principal component analysis （BPCA） based on a new L1-norm is introduced. L1-norm is used， which is less sensitive to abnormal values. The proposed block principal component analysis based on L1-norm is simple and easy to be implemented. Experimental reconstruction on several face databases are conductive to verifying the validity of L1-BPCA.

Key words： BPCA； L1-norm； principal component analysis； robustness

0 引言

主成分分析（PCA）[1]是多元數(shù)據(jù)分析中廣泛使用的降維方法，其主要目的是尋求具有最大方差的一組正交基。楊等人[2]首先提出了二維主成分分析（2DPCA），是二維（2D）圖像分析中的一種有效的降維方法。它不同于PCA，2DPCA直接基于原始二維圖像的向量基礎(chǔ)進(jìn)行分析，避免了從矩陣到向量變化過程中的矢量化。2DPCA根據(jù)計(jì)算圖像的協(xié)方差矩陣的特征向量，得到個(gè)數(shù)比圖像矩陣的行數(shù)少的投影方向。近年來，2DPCA在圖像表示和識(shí)別的應(yīng)用引起了越來越多人的興趣。

然而，2DPCA僅提取像素排列中的行向量的圖像信息，而與特征提取具有同等地位的列向量空間排列是完全被忽略的。一般來說，模塊PCA（BPCA）[3]是將每個(gè)圖像分成若干個(gè)塊，然后在這些模塊中使用PCA進(jìn)行處理。如果模塊作為行向量，那BPCA就是2DPCA，那么BPCA在這個(gè)意義上泛化為2DPCA。

上述所有方法中，由于使用了L2范數(shù)[4]，導(dǎo)致其對異常值十分敏感。為了解決魯棒建模問題， Ding等人[5]提出了基于L1范數(shù)PCA，該方法使用了簡單有效的迭代算法求解基向量。李等人[6]將2DPCA的適用范圍擴(kuò)展到L1范數(shù)并應(yīng)用于圖像重建，稱之為2DPCA-L1。此外，彭等人[7]考慮了基于L1范數(shù)的張量分析。

2DPCA-L1和PCA-L1之間的關(guān)系正像2DPCA和PCA之間的關(guān)系一樣，2DPCA-L1是PCA-L1的一個(gè)特例。當(dāng)PCA-L1應(yīng)用到圖像矩陣的行向量中，PCA-L1就變成了2DPCA-L1。受此啟發(fā)，把PCA-L1應(yīng)用于圖像小塊中的這種方法可以稱為BPCA-L1。BPCA-L1具有三個(gè)特征。①它是2DPCA-L1的一般表示。由于它有效地結(jié)合了行和列的圖像信息，更多的空間信息被保存。不像2DPCA-L1那樣只在行向量上起作用，BPCA-L1是應(yīng)用在圖像的小塊中。其投影過程實(shí)際上是一個(gè)在原始圖像上進(jìn)行本地過濾操作。因此，需要尋求一個(gè)行和列的信息之間的權(quán)衡。②由于使用了L1范數(shù)，BPCA-L1是魯棒的。③不需要構(gòu)建協(xié)方差矩陣和分解密集的特征，BPCA-L1使用一個(gè)簡單的迭代算法并且收斂很快。在本文中，BPCA不是使用基于L2-范數(shù)最大化方差，而是使用了一種更簡單快捷的L1-范數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明，BPCA-L1算法具有更好的圖像重構(gòu)性能。

1 基于L1-范數(shù)的模塊PCA

1.1 理論分析

將每張圖像Xi（i=1，…，n）分成m個(gè)小模塊形成集合{，…，}。這些模塊必須包含h個(gè)像素點(diǎn)。用{，…，}表示這些模塊圖像的向量，也就是說，依字母順序排列每一個(gè)小模塊中的像素點(diǎn)。我們的目標(biāo)是找到一個(gè)h維單位長度向量ψ*使L1范數(shù)離差達(dá)到最大，ψ*由下式給出：

⑴

通過迭代算法求解ψ*。首先，構(gòu)建一個(gè)極性函數(shù)：

⑵

更新第（t+1）次迭代的投影向量ψ（t+1）為：

⑶

在圖像重建中，圖像塊{，…，}不能重疊，并且要求覆蓋整個(gè)圖像。但通常情況下，圖像塊不一定有相同的矩形形狀或覆蓋整個(gè)圖像。例如，模塊可能是部分重疊的圓圈。

為了提取第（l+1）個(gè)基向量， 其中l(wèi)?1，根據(jù)如下公式更新訓(xùn)練數(shù)據(jù)：

⑷

其中并且有ψ1=ψ*。

1.2 算法步驟

⑴ 初始化：圖像Xi（i=1，…，n）分成m塊，記為{，…，}。

⑵ 極性檢驗(yàn)：對于所有的i∈（1，2，…，n），j∈（1，2，…，m），如果，pi（t）=1，否則pi（t）=-1。

⑶ 迭代和最大化：令t←t+1，。

⑷ 收斂性檢驗(yàn)：

（a） 如果ψ（t）≠ψ（t-1），則執(zhí)行第二步；

（b） 否則如果存在i和j使得，令，繼續(xù)執(zhí)行第二步，其中Δψ是一個(gè)小的非零隨機(jī)向量；

（c） 否則，令ψ*=ψ（t），最后算法結(jié)束。

2 實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本文采用ORL人臉圖像集，由40人組成，每個(gè)人包括10張不同的圖像，共有400張圖像樣本。原始圖像的大小為112×92像素，灰度值為256。在我們的實(shí)驗(yàn)中，圖像采樣為64×64像素。

本實(shí)驗(yàn)的目的是評估當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)被噪聲污染時(shí)的線性子空間方法的重建能力。隨機(jī)選擇80張圖像樣本，對每個(gè)選定的圖像在隨機(jī)的位置上添加矩形噪聲污染，如圖1所示。噪聲值為0或255，矩形的大小至少為15×15。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

對于每個(gè)數(shù)據(jù)集，我們進(jìn)行了20次實(shí)驗(yàn)并計(jì)算平均重構(gòu)誤差。實(shí)驗(yàn)前，對每個(gè)輸入變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，它們具有零均值和單位方差。

不同特征數(shù)量下使用BPCA-L1和BPCA-L2子空間方法進(jìn)行圖像重構(gòu)時(shí)的平均重構(gòu)誤差如圖2所示。圖像塊的大小設(shè)置為8×8?？梢钥闯觯卣鲾?shù)超過一定的閾值時(shí)，基于L1范數(shù)的方法優(yōu)于相應(yīng)的基于L2范數(shù)的方法。當(dāng)特征數(shù)較少時(shí)，基于L2范數(shù)的方法和基于L1范數(shù)的方法效果相當(dāng)（不相上下）。奇異圖像對L2范數(shù)的影響比L1范數(shù)更大，這表明引入L1范數(shù)到BPCA具有明顯的優(yōu)勢。

圖3顯示了一個(gè)原始的圖像和BPCA-L1、BPCA-L2方法下不同投影向量重構(gòu)的圖像。在圖3中可以看到，盡管基于L1的方法重建圖像和對應(yīng)的基于L2的方法的視覺效果差不多，但是兩者平均重建誤差有所不同。

圖3中，第一行使用BPCA-L2，第二行使用BPCA-L1。第一列是原始圖像，第二、三和四列是重構(gòu)的圖像，它們投影向量分別是5、10和30。

3 結(jié)束語

本文使用BPCA-L1方法對部分人臉受到遮蓋的圖像進(jìn)行重構(gòu)，由于該方法使用了塊或整體-局部表示法，通過結(jié)合行信息和列信息有效地利用了圖像空間結(jié)構(gòu)，并且L1范數(shù)的實(shí)現(xiàn)采用一種簡單的迭代算法，有較好的收斂性，該方法的平均重構(gòu)誤差低于BPCA-L2方法，BPCA-L1方法對異常值有魯棒性。

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