趙芳芳，賈翔宇，許作良

（中國人民大學 信息學院，北京 100872）

【統(tǒng)計理論與方法】

CIR模型參數(shù)校準的極大似然法

趙芳芳，賈翔宇，許作良

（中國人民大學 信息學院，北京 100872）

針對CIR模型，利用Nowman方法得到近似轉移密度函數(shù)，同時假設零息債券的市場價格與理論價格之間存在高斯誤差，構造權重函數(shù)，應用加權極大似然方法對模型中的參數(shù)進行校準，并通過數(shù)值模擬驗證了方法的有效性。

CIR模型；零息債券；加權極大似然方法

一、引 言

利率是自由金融市場中最基本也是最敏感的經濟變量之一，幾乎所有的金融現(xiàn)象和活動都和利率相關，而且其衍生產品交易非?；钴S，如債券（包括零息和付息債券）、利率互換、債券期權等。隨著利率市場化進程的不斷推進，短期利率成為固定收益證券及利率衍生產品定價和企業(yè)風險管理不可缺少的工具，因此對短期利率隨機行為進行研究的重要性日益突出。為刻畫短期利率的隨機行為，學者們在研究中引入隨機微分方法，從利率期限結構的角度描述短期利率的動態(tài)過程。如何建立利率模型或有效刻畫利率期限結構動態(tài)變化的特征，進而對利率的未來變化進行科學的預測，一直是當前金融領域研究的熱點和難點。到目前為止，許多利率模型被提出并得到廣泛應用。一般地，假設短期利率為r，利用下面的隨機微分方程建立利率模型:

dr=μ（r,t）dt+σ（r,t）dZ（t）

（1）

不同的利率模型選取的漂移項或擴散項不同，其中被廣泛應用的最簡單利率模型是單因子模型。1973年Merton通過假設利率動態(tài)變化是一帶有漂移項的布朗運動，最早提出了利率模型，即：

dr=μdt+σdZ（t）

（2）

其中μ,σ為常數(shù)。1977年Vasicek提出了以下具有均值回復特征的利率模型：

dr=a（θ-r）dt+σdZ（t）

（3）

其中a,θ,σ為常數(shù)，a是均值回復速率，θ是利率的長期均值水平[1]。1985年Cox等人對Vasicek模型進行了改進，克服了Vasicek模型中利率可能為負的理論缺陷，認為短期利率服從隨機微分方程：

（4）

其約束條件為2aθ≤σ2，保證了利率一定非負，該模型簡稱為CIR模型[2]。CIR模型的一個重要特征是利率的波動率不再是常數(shù)，而是利率的增函數(shù)，即當利率上升時，其波動程度也隨之加強。

至今，國內外學者已從多角度對利率進行了研究，并陸續(xù)提出了幾十種描述利率期限結構動態(tài)變化的模型。研究者們不斷地嘗試或推廣利率模型的主要動機是希望給出一個合適的模型，能夠真實地刻畫市場上的數(shù)據信息，從而能夠更好地對其衍生產品定價和進行風險度量，這就導致了隨機利率模型中參數(shù)校準問題的產生。所謂校準問題就是由一組已知數(shù)據來確定參數(shù)的值，通常將標的資產及其衍生產品的價格在一系列已知時刻的觀測值作為已知數(shù)據。因此，利率模型中的參數(shù)校準問題是指由利率及其衍生產品市場價格的時間序列來確定參數(shù)的值。本文基于利率和零息債券的市場數(shù)據，考慮CIR模型中的參數(shù)校準問題。

隨著參數(shù)校準問題的發(fā)展，很多有效并可行的校準方法應運而生，如正則化方法、極大似然法、最優(yōu)化方法、核估計方法等[3-6]。眾所周知，極大似然方法具有一致性、漸近正態(tài)性和漸近有效性的特點。考慮到方法的穩(wěn)定性和有效性，極大似然法被廣泛用來進行隨機利率模型的參數(shù)估計，并取得了顯著性的發(fā)展。2002年Durham等人以CIR模型為例比較了計算隨機微分方程似然函數(shù)的多種數(shù)值方法，給出了偏差減小和方差縮減技術，另外還將估計方法擴展應用于隨機波動率模型中[7]。2003年Hurn等人給出了隨機微分方程參數(shù)估計的模擬極大似然方法，針對幾何布朗運動模型和CIR模型，將結果與其它估計結果作比較，并通過用美國3個月財政數(shù)據對單因子利率期限結構模型做實證分析，證明了方法的有效性[8]。2009年Tang等人針對Vasicek模型和CIR模型，分別給出參數(shù)的極大似然估計量和由Nowman方法得到的偽極大似然估計量，由估計量的偏差及方差的展開式說明漂移項比擴散項的估計更為困難，并用Bootstrap過程進行了參數(shù)偏差修正[9]?；跇O大似然方法，本文通過假設零息債券的市場價格與理論價格之間存在高斯誤差，構造權重函數(shù)，利用加權極大似然方法討論了CIR模型中參數(shù)的校準問題，從而使校準得到的模型不僅能更好地刻畫利率的期限結構，更能準確地為其衍生產品進行定價。

二、利率與零息債券定價模型

（5）

其中a為均值回復速率，θ/a為利率的長期均值水平，2θ≥σ2，θ和σ2均為待估參數(shù)。

基于該模型，令η={θ,σ2}，在時刻t，到期日為T，面值為1單位的零息債券價格P（t,r;η）為：

P=

（6）

（7）

終值條件為P（T,r;η）=1?；谖墨I[11]的結果，偏微分方程（7）存在一類仿射性結構解，即：

P（t,r;η）=exp（A（t）-rB（t））

（8）

將上式代入式（7），得到A（t）,B（t）滿足以下常微分方程：

A′（t）-θB（t）=0，A（T）=0

（9）

（10）

求解方程（9）和（10），得到：

（11）

三、加權極大似然方法

利用極大似然方法進行參數(shù)校準時，關鍵在于求解模型的條件概率密度或轉移密度函數(shù)。關于轉移密度函數(shù)近似求解的方法有很多，如Euler法、SMLE法、Hermite法、Nowman方法等。盡管對于CIR模型，其真實的轉移密度函數(shù)是已知的，但由于計算的復雜性，本文利用Nowman方法求解其近似轉移密度函數(shù)[12]。

在時間點t0

（12）

其中εi滿足條件：

E（εi）=0E（εiεj）=0（i≠j）

（13）

f（ri+1|ri,η）

（14）

由此可得到對數(shù)似然函數(shù)為：

（15）

其中M={（θ,σ2）|2θ>σ2}。由于當觀察次數(shù)足夠多時，意味著lnf（r0,η）的權重很小，因此在實際的估計過程中，往往將上式中的第一項省略。求解L（η）的最大化，便可得到參數(shù)η的估計值。

Tang和Chen利用上述方法給出了CIR模型中參數(shù)的估計值及其漸進分析[9]。然而，此類方法局限于僅利用市場中的利率數(shù)據（如Euribor，Libor，Shibor）進行參數(shù)估計和實證分析，而實際市場中與利率密切相關的衍生產品的交易非常活躍，如債券、利率互換等，且其市場價格可以直接觀測到，因此考慮將短期利率和零息債券市場價格的時間序列作為已知數(shù)據來校準CIR模型中的參數(shù)η。

（16）

g（ri+1|ri,η）

i=0,1,…,n-1

（17）

綜合式（15）和式（17）得到CIR模型的加權對數(shù)似然函數(shù)為:

將式（8）代入上式，并省略常數(shù)項得到:

通過求解F（η）最大化，可以得到參數(shù)η的估計值，即:

（18）

從F（η）的表達式可以看出，加入權重函數(shù)式（17）的目的是對于能夠較好擬合零息債券市場價格的點，賦予權重大一些。相反，對于那些與零息債券的觀測數(shù)據差距較大的點，則賦予的權重要小一些。

四、數(shù)值實驗

（19）

下面給出具體的數(shù)值計算方法。

不失一般性，本文取等距的離散時間點t0

對于Nowman方法，隨著時間間隔不斷減小，得到的轉移概率密度近似值與真實的轉移密度差距會越來越小，因此參數(shù)的校準值與真實值之間的差距也會越小；而對于極大似然方法來說，隨著樣本量的增加，參數(shù)校準值與真實值的差距也將越小。下面將分別從時間間隔、樣本容量兩個方面對數(shù)值結果進行分析。

表1 不同θ,σ2對應的數(shù)值結果

從表1中可以看出，當取φ=10-3P不變時，以上不同情況下對于θ和σ2兩個參數(shù)的校準結果基本接近于其真實值。一方面，當樣本容量N固定時，隨著時間間隔Δ的不斷減小，參數(shù)校準值越來越接近真實值，但當N較小時，其代價是根均值誤差會增大，只有當樣本容量達到200時，均方誤差越來越??；另一方面，當時間間隔Δ不變時，隨著樣本容量的不斷增加，參數(shù)校準值基本上越接近于真實值，且均方誤差逐漸減小，因此比較而言當N=200,Δ=0.01時具有較好的數(shù)值結果。

另外，由于零息債券的市場數(shù)據通過表達式P=PM+u生成，其中u是服從均值為0，方差為φ的標準正態(tài)分布的隨機數(shù)，因此為了考慮不同的噪聲，表2表示的是當樣本容量N固定，針對不同的Δ分別選取φ=10-2P,10-3P,10-4P三種情況下參數(shù)的校準結果。

從表2中可以看出，參數(shù)校準的數(shù)值結果基本是穩(wěn)定的，但比較而言，當φ=10-3P時，具有更好的數(shù)值結果。

五、結 論

基于利率和零息債券價格的市場數(shù)據，本文給出了CIR模型中參數(shù)校準的極大似然方法。通過假設零息債券的市場價格與理論價格之間存在高斯誤差，構造權重函數(shù)，從而得到加權對數(shù)似然函數(shù)，并通過數(shù)值模擬驗證了方法的可行性。該方法使校準得到的利率模型不僅能夠有效地刻畫利率的期限結構，也能準確地為利率衍生產品進行定價，具有一定的實際意義。同時，該方法可以廣泛應用于其他利率模型的參數(shù)校準。

[1]VasicekO.AnEquilibriurmCharacterizationoftheTermStructure[J].JournalofFinancialEconomics, 1977,5（2）.

[2]CoxJC,IngersollJE,RossSA.ATheoryoftheTermStructureofInterestRates[J].Econometrica, 1985,53（2）.

[3] 江良，徐承龍． 非高斯單因子短期利率模型正則化參數(shù)估計[J]．計算物理，2012，29（6）．

[4] 江良，忻丁耀．基于正則化方法的Hull-White短期利率模型參數(shù)估計[J]．同濟大學學報：自然科學版，2012，40（10）．

[5] 楊柳，俞建寧，鄧醉茶，等． 一個關于零息票定價的反問題[J]．四川大學學報：自然科學版，2007，44（6）．

[6] 張玉貴，蘇云鵬，楊寶臣．基于Vasicek和CIR模型的SHIBOR期限結構實證分析[J]．統(tǒng)計與信息論壇，2009，24（6）．

[7]DurhamGB,GallantAR.NumericalTechniquesforMaximumLikelihoodEstimationofContinuousTimeDiffusionProcesses[J].JournalofBusinessandEconomicStatistics,2002,20（3）.

[8]HurnAS,LindsayKA,MartinVL.OntheEfficacyofSimulatedMaximumLikelihoodforEstimatingtheParametersofStochasticDifferentialEquations[J].JournalofTimeSeriesAnalysis, 2003, 24（1）.

[9]TangCY,ChenSX.ParametersEstimationandBiasCorrectionforDiffusionProcesses[J].JournalofEconometrics, 2009,149（1）.

[10]HullJ,WhiteA.PricingInterestRateDerivativeSecurities[J].TheReviewofFinancialStudies, 1990,3（4）.

[11]DuffieD,KanR.AYield-FactorModelofInterestRates[J].MathematicalFinance, 1996,6（4）.

[12]NowmanKB.GaussianEstimationofSingleFactorContinuousTimeModelsoftheTermStructureofInterestRates[J].JournalofFinance, 1997,52（4）.

（責任編輯：崔國平）

A Maximum Likelihood Method for Calibrating the Parameters of CIR Model

ZHAO Fang-fang，JIA Xiang-yu，XU Zuo-liang

（School of Information， Renmin University of China, Beijing 100872, China）

For CIR model, we obtain approximate transition density function by using Nowman's method and construct weight function by supposing there exists a Gaussian error between the theoretical and market prices of zero-coupon bonds.Then applying the weighted maximum likelihood method, we calibrate the parameters of the model.Finally, numerical simulations are carried out to confirm effectiveness of the method.

CIR model；zero-coupon bond；weighted maximum likelihood method

2015-04-24

國家自然科學基金項目《金融中的反問題及數(shù)值計算》（11171349）

趙芳芳，女，山東新泰人，博士生，研究方向：反問題與金融計算； 賈翔宇，男，河北唐山人，博士生，研究方向：反問題與金融計算； 許作良，男，遼寧新金人，理學博士，教授，博士生導師，研究方向：反問題及其應用，金融計算。

O242.1∶F830.91

A

1007-3116（2015）09-0003-05