張麗，朱珠

(1．江蘇鹽城工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，江蘇鹽城 224000;2．貴州理工學(xué)院電氣工程學(xué)院，貴州貴陽 550001)

0 前言

隨著現(xiàn)代生產(chǎn)力水平的提高，橋式起重機(jī)作為重要的搬運(yùn)工具在工業(yè)生產(chǎn)中起到越來越重要的作用，并被廣泛應(yīng)用于工廠、水電站、碼頭以及倉庫等各個(gè)領(lǐng)域［1］。然而，起重機(jī)在作業(yè)過程中極易引起吊重的擺動(dòng)，并進(jìn)一步引發(fā)安全事故。因此，為了提高橋式起重機(jī)的安全性與可靠性，提高生產(chǎn)效率，采用某些控制方法對(duì)其吊重?cái)[動(dòng)進(jìn)行有效抑制是非常必要的［2-3］。但是，一些傳統(tǒng)的控制方法，如極點(diǎn)配置方法［4-5］等，很難使起重機(jī)控制系統(tǒng)的性能滿足現(xiàn)場環(huán)境的需求，因此有必要開展吊車系統(tǒng)控制技術(shù)的研究。

同時(shí)，目前的大多數(shù)研究中均針對(duì)連續(xù)吊車系統(tǒng)進(jìn)行控制策略的研究［2-5］，一些復(fù)雜的連續(xù)域控制算法很難通過搭建模擬電路的方式實(shí)現(xiàn)，而工程應(yīng)用時(shí)將其進(jìn)行簡單的離散化處理并不可行。然而，隨著單片機(jī)和DSP的出現(xiàn)和發(fā)展，使得吊車系統(tǒng)的模塊化和全數(shù)字化更容易實(shí)現(xiàn)，控制算法的實(shí)現(xiàn)經(jīng)常利用數(shù)字計(jì)算機(jī)，因此很有必要在離散領(lǐng)域研究吊車系統(tǒng)控制技術(shù)。這就要求我們?cè)陔x散域內(nèi)研究吊車控制系統(tǒng)的被控對(duì)象以及相應(yīng)的控制算法，這也是文中的主要出發(fā)點(diǎn)。

LQR(Linear Quadratic Regulator)即線性二次型調(diào)節(jié)器［6］，其對(duì)象是現(xiàn)代控制理論中以狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，而目標(biāo)函數(shù)為系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。LQR最優(yōu)設(shè)計(jì)是指設(shè)計(jì)出的狀態(tài)反饋控制器要使二次型目標(biāo)函數(shù)最小化，故具備良好的綜合性能優(yōu)勢。LQR理論是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早也最為成熟的一種狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法，特別可貴地，LQR可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制，因此得到了廣泛的研究和應(yīng)用［7-11］。此外，Matlab軟件的應(yīng)用為LQR理論仿真提供了條件，更為實(shí)現(xiàn)穩(wěn)、準(zhǔn)、快的控制目標(biāo)提供了方便。正是因?yàn)長QR這些優(yōu)良的控制特性和品質(zhì)，因此文中將其引入到吊車數(shù)控系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中。

本文作者首先利用Lagrange方程建立了吊車系統(tǒng)的非線性數(shù)學(xué)模型。然后對(duì)所建立的連續(xù)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行離散化處理，并基于此，應(yīng)用離散LQR最優(yōu)控制理論研究起重機(jī)的吊重?cái)[動(dòng)控制策略。最后通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證文中控制方案相比傳統(tǒng)控制方案的性能優(yōu)勢。

1 問題描述

吊車系統(tǒng)的整套機(jī)械部件安裝在一塊底板上，底板上固定著導(dǎo)軌、皮帶輪、電機(jī)、測速機(jī)、車位置反饋電位計(jì)，底板開槽，使吊擺垂下去。吊車組件包圍在軌道外，4個(gè)車輪在導(dǎo)軌上方運(yùn)動(dòng)、吊車板下面連著小車板支架和角位置電位計(jì)支架，兩支架之間安裝吊擺，在角位置電位計(jì)支架上裝有測量吊擺角度的單圈電位計(jì)。橋式吊車控制系統(tǒng)的示意圖如圖1所示。

圖1 橋式吊車控制系統(tǒng)示意圖

圖1中，M為車重，m為吊物質(zhì)量，g為重力加速度，l為擺長，φ為擺角，u為伺服控制器的輸出電壓，x為車質(zhì)心的水平位置，y表示吊物的水平位置，z表示吊物的豎直位置。

為了更加清楚地掌握單擺的運(yùn)動(dòng)模型，圖2給出其受力分析示意圖。

圖2 單擺的受力分析圖

圖2中，F(xiàn)表示吊車的控制力，T表示貨物受到的拉力。

單擺是一個(gè)兩自由度系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)為q1=x，q2=φ。系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為:

進(jìn)一步可以得到:

根據(jù)式(2)，可以得到Lagrange方程組為:)

選取狀態(tài)變量為xp=［xφ］T，則Lagrange方程組可變形為如下狀態(tài)空間的形式:

其中，

式(4)中的控制力F是由直流伺服電機(jī)提供的，并且通過精確控制直流電機(jī)可以得到期望的控制力。在忽略了感抗的影響以及啟動(dòng)死區(qū)電壓后，可以將直流電機(jī)視為一個(gè)二階的線性系統(tǒng)，其模型如圖3所示。

圖3 直流電機(jī)的結(jié)構(gòu)框圖

圖3中，Ra為電機(jī)的電樞電阻，Ke為電機(jī)的反電勢系數(shù)，Kt為電機(jī)的力矩系數(shù)，J為電機(jī)電樞繞組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，r為皮帶輪的半徑，ua為輸入到電機(jī)的控制電壓，Ⅰa為電樞電流，ω為電機(jī)的旋轉(zhuǎn)角速度。

根據(jù)圖3，可得到如下的傳遞方程:

將上式寫為關(guān)于時(shí)間的微分方程形式:

進(jìn)一步整理可以得到:

同時(shí)，考慮到功率放大器的作用，則可以得到伺服電機(jī)的輸入電壓ua與控制器輸出電壓u之間的關(guān)系:

將式(7)—(8)代入到式(4)中，可以得到平衡位置附近處電機(jī)加單擺對(duì)象的數(shù)學(xué)模型:

其中，

至此，吊車系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)空間方程建立完畢。于是，下一步吊車系統(tǒng)的控制目標(biāo)是:當(dāng)滑車在導(dǎo)軌上以一定速度和加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)保持單擺的擺動(dòng)角度最小，或單擺有任一初始擺角時(shí)，系統(tǒng)將使其迅速返回平衡位置。

2 離散控制方案設(shè)計(jì)

2．1 連續(xù)系統(tǒng)離散化

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)與模擬控制系統(tǒng)的不同之處在于，在模擬系統(tǒng)中，信號(hào)的傳送不需要數(shù)字化;而計(jì)算機(jī)系統(tǒng)必須先進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換，輸出控制信號(hào)也必須進(jìn)行D/A轉(zhuǎn)換，然后才能驅(qū)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)，吊車計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示。因?yàn)橛?jì)算機(jī)有較強(qiáng)的計(jì)算能力，所以控制算法的實(shí)現(xiàn)和改變都很方便。

圖4 吊車計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖

由于實(shí)際的計(jì)算機(jī)控制是離散的，所以要將式(9)表示的系統(tǒng)離散化。若T為系統(tǒng)的采樣周期，則可根據(jù)［19］:

得到離散化后的系統(tǒng)為:

因?yàn)槲闹醒芯康牡踯嚳刂葡到y(tǒng)階數(shù)較高，如果直接通過轉(zhuǎn)換關(guān)系式(9)獲得離散系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣F和控制向量u是很復(fù)雜的，因此我們可以借助具有強(qiáng)大計(jì)算功能的Matlab軟件，并進(jìn)一步通過函數(shù)c2d實(shí)現(xiàn)，其具體實(shí)現(xiàn)形式如下:

于是，下面將針對(duì)離散模型式(10)來設(shè)計(jì)吊車系統(tǒng)伺服電機(jī)的控制策略，該模型更符合數(shù)字控制系統(tǒng)的特性，具有較好的實(shí)用和工程應(yīng)用價(jià)值。

2．2 離散最優(yōu)LQR控制

針對(duì)2．1節(jié)建立的離散模型式(10)以及系統(tǒng)的控制目標(biāo)，將利用最優(yōu)二次型調(diào)節(jié)理論，設(shè)計(jì)吊車計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的離散最優(yōu)LQR控制器。

綜合考慮單擺狀態(tài)的收斂性以及電機(jī)的能量消耗，可以選取離散性能指標(biāo)函數(shù)為:

不失一般性，Q選取為正定對(duì)稱陣，且R為正數(shù)。

假設(shè)吊車數(shù)字系統(tǒng)式(10)是可控的，為了實(shí)現(xiàn)性能指標(biāo)函數(shù)式(12)的最優(yōu)化，根據(jù)LQR最優(yōu)控制理論，可以設(shè)計(jì)如下的離散控制律:

其中，k*表示最優(yōu)控制增益向量，而且矩陣P滿足黎卡提矩陣代數(shù)方程:

同樣地，因?yàn)榈踯嚁?shù)控系統(tǒng)的階數(shù)較高，若通過求解方程式(14)來獲取控制增益向量是不現(xiàn)實(shí)的。于是，我們?nèi)匀豢梢越柚贛atlab計(jì)算功能，并采用函數(shù)care求取黎卡提矩陣代數(shù)方程(14)或采用函數(shù)lqr直接獲得控制增益向量k*，后者的具體實(shí)現(xiàn)形式為:

至此，關(guān)于吊車數(shù)字系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)完畢，下面將通過計(jì)算機(jī)仿真來驗(yàn)證其合理性。

3 仿真結(jié)果

仿真中，吊車系統(tǒng)的參數(shù)如表1所示。

表1 吊車系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)

注意，仿真時(shí)兩個(gè)不能直測得的狀態(tài)量(車的速度、擺的角速度)可以采用位移量或角度量差分計(jì)算。設(shè)擺角的初始角度為60°，小車的位移為-0．3 m。而且，直流力矩電機(jī)的最大控制電壓為25 V，其死區(qū)電壓為2 V。

將吊車系統(tǒng)參數(shù)值代入到狀態(tài)空間方程式(9)中，可得到系統(tǒng)矩陣和控制向量分別為:

數(shù)控系統(tǒng)的采樣周期選取為0．025 s，則根據(jù)式(11)可以得到離散化之后系統(tǒng)矩陣和控制向量分別為:

根據(jù)可控性矩陣ctrl(F，g)的秩等于4，可以得到離散系統(tǒng)式(10)是完全可控的，因此我們可以通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置。

對(duì)于傳統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法:設(shè)連續(xù)域內(nèi)期望的極點(diǎn)分別為p1，2=-1，p3，4=-2±j2，則其對(duì)應(yīng)的離散域內(nèi)極點(diǎn)為q1，2=0．975，q3，4=0．95±0．047 5j。利用Matlab的acker函數(shù)，可求得反饋增益向量為:

此時(shí)，給出極點(diǎn)配置方法下吊車系統(tǒng)各狀態(tài)的收斂曲線，如圖5所示。

圖5 極點(diǎn)配置方法下吊車系統(tǒng)的狀態(tài)收斂曲線

對(duì)于離散LQR方法，首先選取二次型指標(biāo)加權(quán)量為:

這時(shí)根據(jù)式(13)可以得到最優(yōu)狀態(tài)反饋增益向量為:

此時(shí)，吊車系統(tǒng)的各狀態(tài)收斂曲線如圖6所示。

圖6 離散LQR下吊車系統(tǒng)的狀態(tài)收斂曲線(仿真1)

通過圖5和圖6可以看出，相比傳統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法，離散LQR方法下吊車系統(tǒng)各狀態(tài)的收斂速度更快，從而體現(xiàn)了其控制優(yōu)勢。

為了進(jìn)一步了解Q和R對(duì)于吊車控制系統(tǒng)的影響，下面將分別調(diào)節(jié)兩個(gè)加權(quán)參數(shù)，并對(duì)比吊車系統(tǒng)的狀態(tài)收斂曲線。首先，在原來的基礎(chǔ)上，將Q陣修改為:

此時(shí)，吊車系統(tǒng)的各狀態(tài)收斂曲線如圖7所示。

圖7 離散LQR下吊車系統(tǒng)的狀態(tài)收斂曲線(仿真2)

根據(jù)圖6和圖7，可以看出，增大Q陣中的元素值后，小車速度和擺角角速度的超調(diào)量減小，說明相應(yīng)的控制作用增強(qiáng)。

然后，在原來的基礎(chǔ)上，修改R的值為100，這時(shí)吊車系統(tǒng)的各狀態(tài)收斂曲線如圖8所示。

圖8 離散LQR下吊車系統(tǒng)的狀態(tài)收斂曲線(仿真3)

根據(jù)圖6和圖8可以看出，增大R的值后，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間延長，控制作用減小。因此，可以從實(shí)際的性能需求調(diào)節(jié)狀態(tài)誤差加權(quán)矩陣Q和控制量加權(quán)系數(shù)R的值。

4 結(jié)論

最優(yōu)LQR理論在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中應(yīng)用方便，求解簡單，因此將其應(yīng)用于吊車數(shù)字系統(tǒng)的控制中。仿真結(jié)果可以看出，相比傳統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法，離散LQR方法可保證吊車數(shù)控系統(tǒng)更優(yōu)越的收斂性能。而且，離散LQR方法的調(diào)試過程較為簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)。但是，如果加權(quán)矩陣Q和加權(quán)系數(shù)R選擇不合理，設(shè)計(jì)出來的控制系統(tǒng)是不滿意的，此時(shí)所謂的“最優(yōu)”只是使指標(biāo)的最小化。通常把Q陣中的加權(quán)系數(shù)增大，則對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量會(huì)收斂的更快些，把系數(shù)R增大則對(duì)應(yīng)的控制量會(huì)減小些。

［1］高丙團(tuán)，陳宏鈞，張曉華．龍門吊車系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模［J］．計(jì)算機(jī)仿真，2006，23(2):50-53．

［2］李樹江，胡韶華，吳海．基于LQR和變論域模糊控制的吊車防擺控制［J］．控制與決策，2006，21(3):289-292．

［3］楊斌，劉惠康，代文蕤．橋式起重機(jī)防擺控制器的設(shè)計(jì)［J］．制造業(yè)自動(dòng)化，2012，34(1):122-124，131．

［4］賈諾，王輝．吊車系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制的極點(diǎn)配置法［J］．哈爾濱師范大學(xué):自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2004，20(4):10-15．

［5］袁浩，徐真真，王先來．極點(diǎn)配置方法在起重機(jī)機(jī)架模型中的應(yīng)用［J］．實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2006，25(12):20-24．

［6］NAIDU D S．Optimal Control Systems［M］．FL，USA:Crc Press，2002:101-149．

［7］SHAKIR H，KIM WJ．Nanoscale Path Planning and Motion Control with Maglev Positioners［J］．IEEE/ASME Trans．Mechatronics，2006，11(5):625-633．

［8］BASINA M，RODRIGUEZ-GONZALEZA J，F(xiàn)RIDMANB L．Optimal and Robust Control for Linear State-delay Systems［J］．Journal of the Franklin Institute，2007，344(6):830-845．

［9］DRAGAN V，MUKAIDANI H，SHI P．The Linear Quadratic Regulator Problem for a Class of Controlled Systems Modeled by Singularly Perturbed ito Differential Equations［J］．SIAM Journal on Control and Optimization，2012，50(1):448-470．

［10］藍(lán)會(huì)立，高遠(yuǎn)，譚光興，等．車輛懸架LQR控制器權(quán)值優(yōu)化方法［J］．科學(xué)技術(shù)與工程，2013，13(17):75-77．

［11］劉曉培．基于遺傳算法的汽車主動(dòng)懸架LQR控制器的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］．組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2013(6):78-80．