汪建新，尹瀟靚，唐 岳，劉曜寧

WANG Jian-xin, YIN Xiao-jing, TANG Yue, LIU Yao-ning

（內(nèi)蒙古科技大學 機械與工程學院，包頭 014010）

0 引言

諧振管是熱聲制冷機的重要部件之一，它維持系統(tǒng)所需的頻率，同時為系統(tǒng)儲存聲能，其幾何參數(shù)的變化會改變振蕩壓力或者體積流量的幅值和相位，對熱聲系統(tǒng)的工作性能有重大影響[1]。諧振管的幾何尺寸是重要的參數(shù)，其直徑、長度以及形狀的變化會影響熱聲制冷機的性能。當管型發(fā)生變化時，管內(nèi)的波動方程跟等直徑管相比也有相應的變化，實驗證實，采用變截面可以明顯抑制諧波的產(chǎn)生，減少能量從基頻模態(tài)的遷移。因此設計合理的諧振管管形對于抑制高次諧波的產(chǎn)生、提高管內(nèi)壓比進而提高制冷效果具有十分重要的意義[2]。現(xiàn)階段已普遍認識到諧振管的長度和直徑對熱聲振蕩頻率的重大影響[3]。然而對于諧振管的形狀如何影響制冷機系統(tǒng)卻所知有限。由于其工作原理較為復雜，實驗數(shù)據(jù)也相對缺乏，因此無論是進行理論的還是實驗方面的研究，對于進一步提高熱聲制冷機的性能都有重要的 意義[4]。

諧振管內(nèi)的聲場分布，不僅與激勵條件有關(guān)，還與諧振管的形狀、結(jié)構(gòu)、材料以及支承情況（即是否參與振動）等因素有關(guān)。為了獲得更加高效的諧振管及其工作參數(shù)，有必要對諧振管內(nèi)聲場分布及其影響因素進行較深入的分析。

聲波是彈性介質(zhì)中傳播的壓力波，傳播過程中滿足運動方程、連續(xù)方程、物態(tài)方程和能量守恒方程[5]。不同的邊界對應不同的聲場分布，若考慮管體耦合振動及反射波的影響，求出解析解十分復雜，因此采用有限元分析軟件進行數(shù)值模擬分析。

本文致力于具有大功率、小體積、高聲強聲源特點的磁致伸縮換能器驅(qū)動[7～10]熱聲制冷機中諧振管截面形狀的設計研究，用數(shù)值模擬的方法，借助于聲學分析軟件，分析了五種不同形狀的諧振管在諧振管參與振動與不參與振動時管內(nèi)的聲場分布情況，為合理選擇諧振管形狀提供了有益的參考。

1 諧振管內(nèi)氣體介質(zhì)的理論聲場模型

把諧振管內(nèi)部的氣體介質(zhì)提取出來，簡化為一個圓柱體，如圖1(a)所示。設圓柱形管道內(nèi)部聲腔半徑為a，長度為b，基于管內(nèi)流體媒質(zhì)的三維運動方程、連續(xù)性方程和物態(tài)方程，在柱坐標系下任一點處的聲壓滿足空間波動方程[6]：

式中：p為聲波聲壓；c0為聲速，其中c20是決定媒質(zhì)平衡態(tài)參數(shù)的一個常數(shù)。

諧振管截面尺寸發(fā)生變化，管內(nèi)氣體介質(zhì)形狀同時發(fā)生變化，如果波陣面的形狀在傳播過程中保持一定，并且傳播方向不變，則可以從具體波形出發(fā)，得到特殊波形的波動方程[6]。

設有任意形狀波陣面的聲波在空間傳播，波陣面的法線方向即聲波傳播方向為r方向，選擇相距為dr的兩個波陣面被一個很小的立體角所割出的空間作為分析的小體積元，此體積元的縱剖面如圖1(b)所示。

圖1 圓柱管柱坐標系和任意形狀波陣面體積元的剖面圖

經(jīng)過推導可得到[5,7]：

其中，S為在r處波陣面的面積；式(2)為波陣面形狀不變的特殊情況下的波動方程[2]。在具體問題中只要知道了波陣面形狀S(r)，即可由它來求解聲壓p。

當波陣面按截面形狀變化規(guī)律變化時，假設截面積是管軸坐標x的函數(shù)（即S=S(x)），把解入如式(3)變量x的常微分方程：

由式(4)可知，知道管截面的半徑r隨x的變化規(guī)律[7,13]，即可以求得方程的解，得到聲壓值。因為計算求解過程中并沒有對截面積隨x變化規(guī)律作任何限定，因此理論上適用于任何形狀的變截面諧振管。但是由于管子截面形狀隨半徑變化的方程不便于得到數(shù)值解，所以應用有限元分析軟件進行數(shù)值仿真分析。

2 諧振管內(nèi)聲場分布的數(shù)值仿真分析

為研究諧振管不同的形狀在某些頻率下對響應特性的影響，采用諧響應分析。當諧振管受到持續(xù)的周期性載荷時，系統(tǒng)中產(chǎn)生相應周期性響應，分析得到這些頻率下的響應曲線，在曲線上可以找到“峰值”，進而觀察峰值頻率下的幅值情況。

2.1 實體模型的建立

本文所分析的諧振管三維模型由不同母線旋轉(zhuǎn)生成回轉(zhuǎn)體，回轉(zhuǎn)體的母線如圖2(a)所示。如圖2(b)所示為五種不同形狀諧振管的縱截面。圖3中(a),(b),(c),(d),(e)分別為圓柱形、圓錐形、圓柱圓錐結(jié)合形、凸曲線形和凹曲線形諧振管實體模型，其中諧振管模型長度L=170mm，小端外徑為d=15mm，大端外徑為D=60.5mm，管壁為鋼材，厚度為2mm。整個諧振管內(nèi)充滿空氣介質(zhì)。對于c模型，直線段的長度為L'=120mm。諧振管內(nèi)部為氣體介質(zhì)，大端為聲源激勵端，小端假設為剛性封閉端，整個諧振腔為密封狀態(tài)。

圖2 諧振管回轉(zhuǎn)體母線以及諧振管縱截面圖

圖3 不同形狀諧振管的實體模型

2.2 有限元模型的建立

在ANSYS Workbench中導入上面所建立的不同縱截面形狀的諧振管內(nèi)氣體介質(zhì)模型，空氣介質(zhì)采用FLUID29單元，密度為1.29kg/m3和聲速340m/s，固體單元采用SHELL單元，設置鋼的彈性模量為1.95×1011，泊松比為0.3，密度7750Kg/m3。為提高計算精度，控制壁面厚度的單元層數(shù)不少于2層，采用網(wǎng)格自適應劃分方式，氣體介質(zhì)定義為流體域，對流體部分和固體部分均采用四面體混合網(wǎng)格劃分模式。

2.3 邊界條件的確定與施加

為了觀察諧振管自身對管內(nèi)聲場的影響，需要進行兩次分析。第一次：在入口端施加幅值為10Pa的正弦激勵，出口端及諧振管外側(cè)限制全部自由度；第二次：解除諧振管外部約束，讓諧振管也參與振動。

2.4 求解

對于不同形狀的諧振管，采用諧響應分析。施加一個大小為10Pa的壓力，確定計算頻率為10000Hz～20000Hz，計算步長為100Hz，管內(nèi)聲場達到穩(wěn)定狀態(tài)。

諧響應分析用于確定所受載荷隨時間以正弦規(guī)律變化的線性結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應。周期性載荷作用的運動方 程[14]為：

式中：[C]為阻尼矩陣；{F}為簡諧載荷的幅值向量；θ為激振力的頻率。

位移的響應為：

式中：{A}為位移幅值向量，與結(jié)構(gòu)的固有頻率ω、載荷頻率θ和阻尼[C]有關(guān)；

?為位移響應滯后激勵載荷的相位角。

2.5 結(jié)果分析

2.5.1 不同形狀諧振管的諧響應分析

對于熱聲制冷系統(tǒng)，有益的振動模式為氣柱的活塞振動。因此提取各諧振管的活塞振動模態(tài)數(shù)據(jù)進行對比分析，如圖4所示。

圖4 諧振管活塞振動模態(tài)頻率

將不同形狀三維模型在諧振管不參與振動和參與振動的不同情況作對比，如表1所示。不同形狀的諧振管在不同階次出現(xiàn)沿軸向方向（活塞振動）的變形，其中圓錐形諧振管參與振動時的固有頻率可以達到12226Hz，圓錐形諧振管內(nèi)氣體介質(zhì)的固有頻率為12257Hz。說明圓錐形諧振管可以產(chǎn)生較高的頻率值。因此可通過調(diào)整聲源激勵的輸入頻率與圓錐形諧振管的固有頻率相匹配，以期達到諧振狀態(tài)。

表1 不同形狀三維模型的模態(tài)頻率

2.5.2 不同形狀諧振管內(nèi)的聲壓分布

諧振管的形狀對管內(nèi)聲波振蕩及壓力變化有顯著影響。計算結(jié)果表明：圖5所示為不同諧振管出現(xiàn)活塞振動時，最大聲強時的壓力分布狀態(tài)。圓錐形諧振管在頻率為12200Hz時產(chǎn)生的聲壓幅值為134dB，將入口激勵聲壓放大約10倍。

圖5 不同形狀諧振管內(nèi)介質(zhì)的聲壓分布

由有限元軟件模擬分析，通過觀察動畫得到，聲波的頻率、振幅均相同，且聲波的“波峰”與“波腹”沒有相位差，說明不同形狀的諧振管在頻率較低的情況下，都會產(chǎn)生駐波聲場。但是當頻率達到20000Hz時，由圖5中(d)、(e)觀察到諧振管內(nèi)駐波特征變差，出現(xiàn)相位差，在同一相位時，不同聲壓幅值的界線不明顯，聲波的單色性降低。在頻率較高的情況下，凹曲線形、凸曲線形出現(xiàn)頻散現(xiàn)象。而圓柱形諧振管在高頻情況下，仍能維持較好的駐波形態(tài)。

2.5.3 圓錐形諧振管內(nèi)介質(zhì)的聲壓分布

將不同形狀諧振管內(nèi)的聲壓分布對比分析得到，圓錐形諧振管結(jié)構(gòu)較為理想。由于在諧響應分析中，當諧振管工作在諧振頻率附近時，輸出端的位移值達到最大。進而采用模態(tài)疊加法對圓錐形諧振管進行諧響應分析，得到圓錐形諧振管在不同頻率情況下的聲壓分布結(jié)果如圖6所示。

圖6 圓錐形諧振管聲壓分布曲線

由圖6 可知：當圓錐形諧振管工作在頻率為13900Hz時聲壓幅值達到最大，最大可以達到30Pa，此時整個振動系統(tǒng)處于諧振狀態(tài)，并且起到聲壓放大的作用，圓錐形諧振管的敏感頻率最大。表明不同形狀的諧振管，存在容易激發(fā)最大幅值的敏感頻率。在達到該頻率時，諧振管更容易產(chǎn)生最大振幅。

3 結(jié)論

通過以上對不同形狀諧振管內(nèi)聲場進行的數(shù)值模擬，得到以下結(jié)論：

1）異形諧振管對聲壓具有放大功能。其中圓柱圓錐結(jié)合形諧振管產(chǎn)生聲壓放大效果最明顯，凹曲線形和凸曲線形諧振管更容易發(fā)生頻散。

2）不同形狀的諧振管出現(xiàn)最大聲強的敏感頻率不一樣。圓錐形管工作在頻率為13900Hz時，幅值最大，預示著在相同激勵情況下，圓錐形管結(jié)構(gòu)比較容易產(chǎn)生高聲強。

3）在長度相同、諧振管入口端和出口端半徑比值相同以及相同激勵的條件下，圓錐形諧振管活塞振動頻率幅值達到最大。

4）諧振管形狀發(fā)生變化，在高聲強的情況下，聲波的單色性降低，并且在高頻時更容易產(chǎn)生一定程度的波形畸變。

5）在熱聲制冷機諧振管的設計過程中，建議采用圓錐形聚能型諧振管結(jié)構(gòu)。

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