鄭相周，董旺遠

ZHENG Xiang-zhou1, DONG Wang-yuan2

（1.華中農(nóng)業(yè)大學 工學院，武漢 430072；2.華中農(nóng)業(yè)大學 理學院，武漢 430072）

0 引言

矢量坐標變換是多體系統(tǒng)運動學和動力學分析的基礎(chǔ)[1]。工業(yè)機器人是典型的多體系統(tǒng)，矢量坐標變換是工業(yè)機器人運動學分析的首要環(huán)節(jié)[1～3]。

工業(yè)機器人具有樹形拓撲結(jié)構(gòu)，幾何特征鮮明。1955年Denavit和Hartenberg提出了工業(yè)機器人矢量變換的系統(tǒng)方法[2]（簡稱D-H方法）。

D-H方法使用齊次矩陣刻畫相鄰連桿間的位姿關(guān)系。齊次矩陣的4個關(guān)節(jié)參數(shù)由3個結(jié)構(gòu)參數(shù)和1個關(guān)節(jié)變量組成。D-H方法對連桿坐標系的設置和關(guān)節(jié)參數(shù)做了嚴格定義，使得D-H方法具備了系統(tǒng)理論的特點，便于計算機建模[2]。雖然工業(yè)機器人關(guān)節(jié)大多為單自由度，但結(jié)構(gòu)仍比較復雜。在人工進行分析時，D-H中坐標系和關(guān)節(jié)參數(shù)的嚴格定義使得D-H方法難以應用，坐標系、關(guān)節(jié)參數(shù)和關(guān)節(jié)變量范圍均難以確定，一旦發(fā)生錯誤，分析結(jié)果將南轅北轍。

為克服D-H使用中的困難，本文提出工業(yè)機器人矢量變換三步法，相鄰連桿齊次變換矩陣由方向余弦矩陣和典型的轉(zhuǎn)動矩陣或移動矩陣構(gòu)成。這種方法步驟簡單，結(jié)構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)變量區(qū)分明確，關(guān)節(jié)變量范圍易于確定，適于單自由度關(guān)節(jié)的工業(yè)機器人運動學建模與分析。

1 典型齊次變換矩陣

剛體任何運動可視作移動和轉(zhuǎn)動的疊加，剛體位姿由與剛體固連的連體系描述。剛體運動可分解為連體系{I}在參考系{O}中的移動和轉(zhuǎn)動。在典型情況下，描述連體系方向的齊次變換矩陣具有簡單形式。連體系{I}繞{O}中z軸轉(zhuǎn)動的齊次矩陣[2]（稱為轉(zhuǎn)動矩陣）為：

式中 (,)··Rot 的2個參數(shù)分別為坐標軸單位矢量和旋轉(zhuǎn)角度，其中稱為旋轉(zhuǎn)矩陣。

連體系{I}沿{O}中矢量r移動的齊次矩陣[2]（稱為移動矩陣）為：

其中，E為3×3單位矩陣。

D-H方法將相鄰連桿位姿關(guān)系分解為兩個移動和兩個轉(zhuǎn)動，其變換矩陣是式(1)～式(2)的矩陣組合結(jié)果。

2 坐標變換三步法

圖1 三步法坐標變換原理

{i + 10}到{i1}的轉(zhuǎn)動矩陣使用方向余弦矩陣描述：

上式中，?·?為兩個沿坐標軸的單位矢量的點積。

分析上述3個變換步驟可知，前兩步描述相鄰連桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)，第3步描述后一個連桿相對前一個連桿的運動。

相鄰連桿坐標變換式(8)中僅有由式(6)，式(7)表示的變換矩陣描述連桿運動，因此，控制連桿運動的關(guān)節(jié)變量或就與結(jié)構(gòu)參數(shù)明顯區(qū)分開來。

在工業(yè)機器人中，后一個連桿總是相對前一個連桿運動，在設置連體系時，就可以直接將運動前的連體系視作運動后的連體系，這樣對分析結(jié)果沒有影響，不僅可簡化連體系設置，還可以將作為運動基準，可以很容易地以此確定關(guān)節(jié)變量變化范圍。這樣式(5)可進一步使用楔積符號記作：

這樣，使用3步法進行坐標變換，形式上相鄰連桿的坐標系只需要連體系和

3 實例分析

如圖2所示為5自由度機械手的前4個關(guān)節(jié)設計示意，4個關(guān)節(jié)均采用轉(zhuǎn)動副，坐標系設置如圖2所示，其中{0}為機座坐標系，其他為連桿連體系。除右手直角坐標系的z軸取轉(zhuǎn)動副軸線外，其他坐標軸方向根據(jù)結(jié)構(gòu)特點確定，無須遵守其他規(guī)定。

以連桿1、2為例說明3步法坐標變換使用：

圖2 機械手坐標系設置

連桿2到1的齊次變換矩陣即為這3個齊次矩陣的乘積。

圖2所示相鄰連桿坐標變換如表1所示。

表1 相鄰連桿坐標變換

表1 （續(xù)）

4 結(jié)論

本文提出的工業(yè)機器人3步法坐標變換方法，使用描述結(jié)構(gòu)參數(shù)的移動矩陣、方向余弦矩陣和描述關(guān)節(jié)運動的旋轉(zhuǎn)矩陣（轉(zhuǎn)動副）或移動矩陣（移動副）組合來獲得相鄰連桿間的矢量齊次變換矩陣，概念清晰，相關(guān)參數(shù)意義明確，避免了使用D-H方法需要嚴格按照定義進行坐標系設置和關(guān)節(jié)參數(shù)確定的弊端，適合單自由度關(guān)節(jié)的工業(yè)機器人運動學人工建模分析。

[1] J. J Craig.Introduction to Robotics(3Ed)[M].London, UK:Prentice Hall,2003.

[2] 鄭相周,唐國元.機械系統(tǒng)虛擬樣機技術(shù)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3] Siciliano,L.Sciavicco, L.Villani, G. Oriolo. Robotics,Modelling, Planning and Control[J].London,UK:Springer-Verlag,2009.