關(guān) 威，梁 鵬，高瀚斐

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110136)

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基于執(zhí)行器飽和雙輪平衡車(chē)的容錯(cuò)控制

關(guān) 威，梁 鵬，高瀚斐

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110136)

雙輪小車(chē)的平衡與穩(wěn)定受到執(zhí)行器飽和問(wèn)題的困擾。將小車(chē)的穩(wěn)定問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的控制問(wèn)題，對(duì)小車(chē)建立非線性數(shù)學(xué)模型，并研究在狀態(tài)反饋條件下自適應(yīng)容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。利用線性矩陣不等式的方法進(jìn)行處理，給出固定增益和自適應(yīng)控制算法的設(shè)計(jì)方法。利用MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真并分析最終結(jié)果，得出一種能夠使系統(tǒng)更加穩(wěn)定的算法。

雙輪小車(chē)；執(zhí)行器飽和；線性矩陣不等式；自適應(yīng)控制

雙輪平衡車(chē)是一種不穩(wěn)定的系統(tǒng)，具有高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強(qiáng)耦合等特性，必須施加一些有效的控制方法才能使其保持自身的穩(wěn)定[1]。在實(shí)際的生產(chǎn)生活中，執(zhí)行器飽和與執(zhí)行器故障都是極為普遍的現(xiàn)象，并且大部分系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中都伴隨著這兩種現(xiàn)象的發(fā)生[2]。本文針對(duì)控制系統(tǒng)在執(zhí)行器飽和現(xiàn)象下的容錯(cuò)控制問(wèn)題，探究飽和現(xiàn)象在正常狀態(tài)與故障狀態(tài)下的控制算法，將執(zhí)行器飽和對(duì)執(zhí)行器故障的影響降到最小。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 參數(shù)設(shè)定

由于雙輪平衡小車(chē)實(shí)際建模過(guò)程存在一定的困難，可以忽略掉一些次要的因素，將車(chē)輪和車(chē)身分別進(jìn)行分析處理，綜合兩部分得出的方程，建立小車(chē)的非線性方程，對(duì)其進(jìn)行線性化處理，最終可以求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程[3]。

設(shè)θw為車(chē)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，假定逆時(shí)針為正，H1、H2分別表示的是左右車(chē)輪與車(chē)體之間水平方向的作用力；Hf1、Hf2分別是左右車(chē)輪與地面之間的作用力；P1、P2是左右兩個(gè)車(chē)輪與車(chē)體之間在垂直方向上的作用力；C1、C2是左右車(chē)輪的轉(zhuǎn)矩；x是車(chē)輪的水平位移；Mw、MP是車(chē)輪與車(chē)體的質(zhì)量；R是車(chē)輪半徑；θp為車(chē)體擺角；l為車(chē)體長(zhǎng)度；Iw、Ip分別是車(chē)輪與車(chē)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[4]。

1.2 線性化模型的建立

在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，分別對(duì)車(chē)子的左右兩輪進(jìn)行受力分析，其中車(chē)輪的受力分析和車(chē)身的受力分析如圖1、圖2所示：

圖1 左輪受力分析圖

圖2 車(chē)身受力分析圖

一般情況下，雙輪平衡小車(chē)在運(yùn)行過(guò)程中正負(fù)角度較小，一般都在7°以?xún)?nèi)[5]，可以進(jìn)行線性化處理。

(1)

當(dāng)小車(chē)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)：C1=C2，因此系統(tǒng)狀態(tài)方程可以化簡(jiǎn)為：

(2)

2 控制算法設(shè)計(jì)

2.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

雙輪小車(chē)系統(tǒng)在有執(zhí)行器故障及執(zhí)行器飽和下的狀態(tài)方程[6]如式(3)所示：

(3)

其中，u(t)表示在故障模式下的執(zhí)行器故障信號(hào)，ρ為未知常數(shù)，當(dāng)ρ=0時(shí)，說(shuō)明該執(zhí)行器處于正常狀態(tài)。本實(shí)驗(yàn)考慮的是小車(chē)執(zhí)行器在正常工作和在執(zhí)行器部分失效的狀態(tài)下的情況，不包括小車(chē)執(zhí)行器完全失效的情況[7]。

通過(guò)設(shè)計(jì)小車(chē)控制器結(jié)構(gòu)，使閉環(huán)系統(tǒng)不僅在正常狀態(tài)下可以保持穩(wěn)定，并且在故障狀態(tài)下也可以同樣保持穩(wěn)定[8]。

控制器的結(jié)構(gòu)重新設(shè)計(jì)后如式(4)所示:

(4)

(5)

2.2 控制算法設(shè)計(jì)

根據(jù)定理，可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何從得到的無(wú)數(shù)個(gè)滿足不變集條件的集合中挑選出一個(gè)“最大”吸引域的問(wèn)題[12]。因此，只需要盡可能地增大區(qū)域ε(P,1)就可以估計(jì)出系統(tǒng)的“最大”吸引區(qū)域[13]。

從滿足定理?xiàng)l件的橢球中選擇一個(gè)使得參數(shù)γR(ε*(P,δ))的數(shù)值達(dá)到最大，若XR為橢球，最優(yōu)化問(wèn)題如式(6)所示：

(6)

(7)

若當(dāng)Yaj=0,Ybj=0,Oaj=0,Obj=0,j∈I[1,m]時(shí)，定理中的自適應(yīng)控制設(shè)計(jì)，將變成固定增益控制器設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)方案。

2.3 參數(shù)計(jì)算及仿真

系統(tǒng)的模型參數(shù)如下：

車(chē)體質(zhì)量Mp=1 kg，車(chē)輪質(zhì)量Mw=0.2 kg

車(chē)體長(zhǎng)度l=0.25 m，車(chē)輪半徑R=0.04 m

車(chē)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ip=0.0078kgm2，車(chē)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iw=0.0005kgm2

系統(tǒng)狀態(tài)方程式(2)中各個(gè)參數(shù)如下：

執(zhí)行器存在兩種模式：正常模式和故障模式。正常模式下ρ=0；故障模式下，假設(shè)ρ=0.4是執(zhí)行器的最大失效率。

在固定增益控制器的設(shè)計(jì)方法中，代表吸引域大小的指標(biāo)L′=1.494 1，而通過(guò)自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)方法，可得L=0.538 4。顯然對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題(7)的優(yōu)化指標(biāo)L的值更小。

以上兩種不同方法下閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡[15]，當(dāng)初始值為x(0)=(6 -0.2 2 -12)時(shí)，圖3與圖4為閉環(huán)系統(tǒng)在正常模式下的狀態(tài)軌線。圖5與圖6是初始值為x(0)=(0.2 -3 2.5 -15)時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在故障模式下的狀態(tài)軌線。

圖3 正常狀態(tài)下，系統(tǒng)在固定增益控制器作用下x(3)、x(4)的狀態(tài)響應(yīng)軌線

圖4 正常狀態(tài)下，系統(tǒng)在自適應(yīng)增益控制器作用下x(3)、x(4)的狀態(tài)響應(yīng)軌線

圖5 故障狀態(tài)下，系統(tǒng)在固定增益控制器作用下x(3)、x(4)的狀態(tài)響應(yīng)軌線

圖6 故障狀態(tài)下，系統(tǒng)在自適應(yīng)增益控制器作用下x(3)、x(4)的狀態(tài)響應(yīng)軌線

3 結(jié)論

圖3與圖4分別顯示了正常狀態(tài)中，在固定增益控制器與自適應(yīng)增益控制器的作用下系統(tǒng)的部分狀態(tài)響應(yīng)軌線，可以看出，在相同的初始條件下，自適應(yīng)增益控制器能夠使系統(tǒng)最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。圖5與圖6中分別顯示了故障狀態(tài)中，在不同控制器的作用下系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)軌線，同樣可以看出，在相同的初始條件下，自適應(yīng)增益控制器能夠使系統(tǒng)最終趨向穩(wěn)定狀態(tài)。

本文在考慮有執(zhí)行器故障與飽和的情況下，對(duì)比固定增益與自適應(yīng)控制兩種算法的優(yōu)越性，通過(guò)以上仿真結(jié)果可以看出，在狀態(tài)反饋條件下，自適應(yīng)控制器具有更大的吸引域來(lái)控制系統(tǒng),使其保持穩(wěn)定。

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(責(zé)任編輯：劉劃 英文審校：劉敬鈺)

Fault-tolerant control of the two-wheel self-balanced trolley based on actuator saturation

GUAN Wei，LIANG Peng，GAO Han-fei

(College of Automation,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

The balance and stability of the two-wheeled trolley are plagued by the problem of actuator saturation.To establish its nonlinear mathematical model,the stability of the trolley can be transformed into a standard control,and the design of self-adaptive fault-tolerant controllers will be studied under the state feedback condition,which will be dealt with by using the LMI to work out a design method about fixed gain control algorithm and self-adaptive control algorithm.The analysis of the final result by using the MATLAB simulation can come up with an algorithm which may make the system more stable.

Two-wheel trolley;actuator saturation;LMI;adaptive control

2015-01-16

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金(項(xiàng)目編號(hào):61203087)；遼寧省優(yōu)秀人才培養(yǎng)計(jì)劃第二層次(項(xiàng)目編號(hào):LJQ2013017)；沈陽(yáng)航空航天大學(xué)博士啟動(dòng)項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào):11YB18)

關(guān)威(1980-)，男，遼寧沈陽(yáng)人，副教授，主要研究方向：受限系統(tǒng)、容錯(cuò)控制、非線性系統(tǒng)，E-mail：guanweihaha@163.com。

2095-1248(2015)04-0067-04

TP273

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2015.04.011