馮飛飛，沙云東，張國治，朱 林

(沈陽航空航天大學(xué) 遼寧省航空推進(jìn)系統(tǒng)先進(jìn)測試技術(shù)重點實驗室，沈陽 110136)

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熱聲載荷下復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)的隨機疲勞壽命估算

馮飛飛，沙云東，張國治，朱 林

(沈陽航空航天大學(xué) 遼寧省航空推進(jìn)系統(tǒng)先進(jìn)測試技術(shù)重點實驗室，沈陽 110136)

復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)承受著高溫強噪聲載荷,高溫環(huán)境能夠改變材料的性能，而強噪聲能使薄壁結(jié)構(gòu)發(fā)生大撓度非線性響應(yīng)。熱聲載荷達(dá)到一定值后，結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)會出現(xiàn)屈曲甚至跳變響應(yīng)。熱聲載荷下復(fù)合材料薄壁板非線性響應(yīng)理論分析方法，采用時域蒙特卡洛法求解非線性運動方程，并根據(jù)應(yīng)力峰值分布，采用線性損傷累積理論和S-N曲線估算結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。以碳/碳復(fù)合材料矩形板為例，計算了高溫強噪聲載荷作用下對薄壁板的動態(tài)響應(yīng)和疲勞壽命。

復(fù)合材料；非線性響應(yīng)；熱聲載荷；疲勞壽命

高超聲速飛行器在飛行過程中要承受氣動載荷、熱載荷、噪聲載荷和機械載荷。而進(jìn)入大氣層的航天器熱防護(hù)系統(tǒng)表面要承受高達(dá)2 000 ℃左右的高溫，局部的噪聲聲壓級超過180 dB[1-2]，因此航天器對材料的要求越來越苛刻。碳/碳復(fù)合材料具有比重輕、熱膨脹系數(shù)小、抗腐蝕、抗熱沖擊等優(yōu)異性能， 能夠滿足現(xiàn)代飛行器發(fā)展的需求。強噪聲載荷引起復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)出現(xiàn)大幅值非線性響應(yīng)，高溫環(huán)境使得結(jié)構(gòu)出現(xiàn)屈曲甚至跳變現(xiàn)象，在不同屈曲后平衡位置之間做跳變運動[3-4]。本文采用數(shù)值方法分析熱聲載荷下復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)疲勞壽命。

Przekop研究了在強噪聲載荷下薄壁結(jié)構(gòu)的疲勞壽命[5]。Holehouse采用線性理論和累積損傷理論分析了噪聲載荷下薄壁板的響應(yīng)和疲勞壽命[6-7]。在噪聲載荷下結(jié)構(gòu)的運動方程求解方法有等價線性化法和蒙特卡洛法。用有限單元法和迦遼金法求解耦合非線性模態(tài)方程，而有限元方法的計算成本大，在模態(tài)坐標(biāo)中蒙特卡洛法可以降階非線性方程[8-10]。本文以四邊簡支碳/碳板為研究對象，施加有限帶寬高斯白噪聲，計算不同熱聲載荷下結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)和疲勞壽命，根據(jù)蒙特卡羅法求解非線性運動方程，采用線性損傷累積理論和S-N曲線估算結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。

1 熱聲環(huán)境下復(fù)合材料的動態(tài)響應(yīng)

1.1 運動方程的建立

復(fù)合材料板的運動方程為[11]：

(1)

位移函數(shù)w表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：

(2)

公式(1)與(2)結(jié)合即為復(fù)合材料板的運動控制方程。

應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式：

(3)

四邊簡支板的邊界條件：

(4)

位移函數(shù)u和v的表達(dá)式：

(5)

根據(jù)板的模態(tài)求解板的橫向位移函數(shù)：

(6)

式中,Amn表示模態(tài)幅值，φmn表示固有模型響應(yīng)，在四邊簡支的條件下：

φmn(x,y)=Xm(x)Yn(y)

(7)

式中,式(6)代入方程(2)中，得到：

(8)

應(yīng)力函數(shù)F包括通解Fh和特解Fp，將公式(5)和(6)代入公式(8)中，得到特解Fp

(9)

其中,

通解Fh可表示為：

(10)

C1,C2,C3是板的邊界條件的積分常數(shù)，根據(jù)公式(4)和(5)，結(jié)合Airy應(yīng)力函數(shù)F，求解板的橫向位移，積分常數(shù)可表示為：

通過Galerkin法求解方程(1)，結(jié)合公式(6)得到非線性偏微分方程：

(11)

公式中ωij表示板的固有頻率，廣義質(zhì)量和隨機應(yīng)力表示為：

(12)

(13)

非線性剛度系數(shù)Ziqdfmkrl表示為：

(14)

其中,

Fiqdfmkrl(G,H)={2GHdf[β(itd,G)+β(i-d),G][β(q+f,H)+β(q-f,H)]-

隨機壓力載荷均勻地分布在板的表面壓力載荷可表示為：

(15)

其中,φp表示隨機壓力的功率譜密度，φr表示在0到2π之間均勻分布的隨機角度值，Δω表示頻率間隔。在隨機壓力載荷下計算出板的位移、應(yīng)力時間歷程，通過蒙特卡洛法計算位移響應(yīng)，得出位移的平均值和均方根值：

(16)

(17)

T0表示時間周期，應(yīng)力-位移函數(shù)關(guān)系可表示為：

(18a)

(18b)

(18c)

Z表示距離板的中面的厚度。

2 累積損傷理論分析

在熱聲載荷下分析結(jié)構(gòu)的隨機應(yīng)力響應(yīng)，根據(jù)隨機應(yīng)力幅值的累積損傷原理和斷裂力學(xué)估算結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。早期的疲勞分析方法是Palmgren-Miner,累積損傷理論公式是[12]：

(19)

ni表示給定應(yīng)力值后的實際循環(huán)數(shù)，Ni表示在相同應(yīng)力值下發(fā)生疲勞損壞的總循環(huán)數(shù)，因此當(dāng)D=1時，材料發(fā)生疲勞損傷。在高溫強噪聲載荷下，計算出來的應(yīng)力響應(yīng)是非線性的，應(yīng)力幅值不服從高斯分布。針對非高斯分布的疲勞壽命估算，首先求出非線性應(yīng)力幅值的平均應(yīng)力和均方根值，通過試驗和經(jīng)驗公式計算，應(yīng)力-循環(huán)數(shù)的關(guān)系可表示為：

Sλ=B/N

(20)

S表示常幅值載荷的應(yīng)力值，N表示在某一應(yīng)力下材料發(fā)生損傷的應(yīng)力循環(huán)數(shù)，λ和B是材料常數(shù)。因為數(shù)據(jù)龐大，材料常數(shù)由隨機振動變量產(chǎn)生的損傷模型得出，然而在目前，這些材料常數(shù)可由確定的數(shù)值表示，因此結(jié)合公式(19)、(20)得出：

(21)

隨機壓力載荷下的應(yīng)力響應(yīng)是一組隨機量，根據(jù)隨機應(yīng)力采用的Palmgren-Miner理論也必須擴(kuò)大其范圍，用應(yīng)力循環(huán)數(shù)n(Si)表示在應(yīng)力峰值Si下的數(shù)目。在連續(xù)應(yīng)力S(t)下的單位時間的隨機累積損傷表示為：

(22)

E[MT]表示單位時間內(nèi)正應(yīng)力峰值數(shù)目的期望值，p(s,t)表示應(yīng)力峰值的概率密度函數(shù)，限定時間在(0,τ)范圍內(nèi)。由公式(22)計算總的損傷累積值，若響應(yīng)過程是穩(wěn)態(tài)的，E[MT]即為常值，公式可寫為：

(23)

E[MT]表示在時間(0,τ)內(nèi)應(yīng)力峰值數(shù)目總的期望值，疲勞壽命時間為T，對于穩(wěn)態(tài)的應(yīng)力響應(yīng)疲勞壽命可根據(jù)下面公式進(jìn)行計算：

(24)

E[MT]和p(S)都是通過非線性應(yīng)力響應(yīng)的時間歷程計算得出。

3 應(yīng)用實例

選取碳/碳復(fù)合材料板為例，邊界條件為四邊簡支，鋪層角度方式是(45/0/0/45)，結(jié)構(gòu)尺寸為a=300 mm，b=300 mm，h=0.5 mm，彈性模量E1=170 GPa，E2=11 GPa，剪切模量G13=G12=5 GPa,G23=2.74 GPa,泊松比μ=0.31，密度ρ=1 430 kg/m3，熱膨脹系數(shù)a1=8.5×10-5℃,a2=7.95×10-5℃,S-N曲線中材料參數(shù)B=1.37×1029,λ=9.98施加有限帶寬高斯白噪聲,在不同的高溫環(huán)境下計算出結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)。熱屈曲系數(shù)(S)=實際溫度(T)/臨界屈曲溫度(Tc)。根據(jù)傳統(tǒng)的有限帶寬高斯白噪聲在截止頻率處截止，而功率譜密度可以表示為：

(25)

圖1 板的中心位置在相同溫度不同聲壓級下的橫向位移響應(yīng)

根據(jù)圖1所示，在沒有溫度影響下，隨著聲壓級的增加，板面的位移響應(yīng)越來越大，出現(xiàn)大撓度非線性響應(yīng)，板面的振動幅值增加對結(jié)構(gòu)的影響更嚴(yán)重。在相同聲壓級不同溫度下板面發(fā)生的橫向位移響應(yīng)如圖2所示。高溫環(huán)境下對材料的性能影響是顯著的，不僅影響材料的性能，甚至在高溫環(huán)境下，使結(jié)構(gòu)出現(xiàn)屈曲現(xiàn)象，在屈曲后板面發(fā)生跳變響應(yīng)，在兩個平衡位置之間來回振動。隨著溫度的增加，跳變現(xiàn)象發(fā)生變化，嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的性能和可靠性。相同聲壓級不同溫度下板面的最大應(yīng)力響應(yīng)，如圖3所示。

圖2 板的中心位置在相同聲壓級不同溫度下的橫向位移響應(yīng)

圖3 板的中心位置在相同聲壓級不同溫度下的應(yīng)力響應(yīng)

在噪聲載荷下得出的應(yīng)力時間歷程，服從高斯分布。針對服從高斯分布的載荷，可以采用等價線性化方法、有限單元方法和Monte Carlo方法準(zhǔn)確的計算結(jié)構(gòu)的運動方程。但是在熱聲載荷下結(jié)構(gòu)發(fā)生跳變現(xiàn)象后，均不服從高斯分布，在兩個平衡位置之間來回跳變，則結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力應(yīng)變變化極為迅速。而目前的有限單元法和等價線性化方法不能準(zhǔn)確地分析結(jié)構(gòu)的跳變運動和大撓度非線性隨機運動方程，從而影響結(jié)構(gòu)的疲勞分析。因此對于不服從高斯分布的載荷，在估算結(jié)構(gòu)疲勞壽命方面的準(zhǔn)確性很低。隨著溫度越來越高，受到壓縮熱應(yīng)力作用的結(jié)構(gòu)，其剛度下降，應(yīng)力循環(huán)的幅值也在減小，并且板的響應(yīng)在兩個平衡位置之間發(fā)生跳變振動，內(nèi)部應(yīng)力發(fā)生快速復(fù)雜變化，應(yīng)力幅值迅速增大，對結(jié)構(gòu)的疲勞壽命影響最嚴(yán)重。根據(jù)計算出來的應(yīng)力時間歷程，得出應(yīng)力有效值(RMS)，結(jié)合累計損傷理論，估算出結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。

圖4 熱聲載荷下薄壁板的疲勞壽命估算結(jié)果

計算了在屈曲前S=0.6和熱屈曲后S=2.4時，不同聲壓級下結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，在聲壓級較低時，溫度起主要作用，屈曲系數(shù)S=2.4的疲勞壽命比屈曲前的壽命要長，而隨著聲壓級的增加，溫度的作用減小，噪聲載荷起主要作用，兩者的疲勞壽命曲線趨勢和大小大致相同。碳/碳復(fù)合材料在高溫環(huán)境下，強度不僅不降低反而增強，而且碳/碳復(fù)合材料也是唯一能在高溫1 600 ℃～2 000 ℃正常工作的材料，其疲勞壽命與金屬不同，具有很大分散性。

4 結(jié)論

(1)在屈曲前，隨著聲壓級的增大，結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)也越來越大，出現(xiàn)大撓度非線性響應(yīng)。在屈曲后，不僅使得結(jié)構(gòu)出現(xiàn)跳變現(xiàn)象，在兩個平衡位置之間振動，結(jié)構(gòu)內(nèi)部的應(yīng)力發(fā)生快速變化，而且高溫環(huán)境下影響材料的性能。

(2)在熱聲載荷下， 復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)對疲勞壽命的影響是顯著的。在屈曲前，溫度越高，熱應(yīng)力越大，壽命則越低；跳變振動對結(jié)構(gòu)的疲勞壽命最嚴(yán)重，應(yīng)力幅值增大，很容易造成結(jié)構(gòu)的疲勞損傷。

(3)在溫度逐漸升高的過程中，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性不發(fā)生變化，達(dá)到臨界屈曲溫度后，結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲。隨著溫度增加，板甚至出現(xiàn)跳變現(xiàn)象，結(jié)構(gòu)在兩個平衡位置之間來回跳變，頻率比較頻繁。隨著溫度繼續(xù)增加，薄壁結(jié)構(gòu)跳變出現(xiàn)間歇性，最后由兩個平衡位置轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€平衡位置，并且圍繞著這個位置產(chǎn)生隨機振動。

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(責(zé)任編輯：宋麗萍 英文審校：劉敬鈺)

Random fatigue life estimation of composite thin-walled structures under thermo-acoustic loadings

FENG Fei-fei，SHA Yun-dong，ZHANG Guo-zhi，ZHU Lin

(Liaoning Key Laboratory of Advanced for Aeronautical Propulsion Test Technology,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

Composite thin-wall structures are subject to high acoustic and severe thermal loadings.The high thermal environments can change properties of material,and the high acoustic loading can make thin-walled structures exhibit large deformation nonlinear response.Under certain thermo-acoustic loading conditions,a dynamic instability will give rise to buckling and even snap-through responses.A theoretical study on nonlinear response of composite panels under thermal-acoustic loadings is conducted.The nonlinear equation of motion is solved numerically by a Monte Carlo type approach.Based on the distribution of stress peaks,S-N curves are combined by means of linear damage accumulation theory to estimate fatigue life of structures.The dynamic response and fatigue life of carbon-carbon rectangular plate are calculated under thermal-acoustic loadings.

composite;nonlinear response;thermo-acoustic loadings;fatigue life

2013-10-28

馮飛飛(1987-)，男，河南焦作人，碩士研究生，主要研究方向：航空發(fā)動機強度、振動及噪聲; E-mail:499759479@qq.com；沙云東(1966-)，男，黑龍江阿城人，教授，主要研究方向：航空發(fā)動機強度、振動及噪聲，E-mail:ydsha2003@vip.sina.com。

2095-1248(2015)04-0024-06

V215.5

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2015.04.005