宋洪舟,魏世民,廖啟征,郭磊

(北京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院，北京 100876)

相交軸螺旋非圓齒輪嚙合傳動研究

宋洪舟,魏世民,廖啟征,郭磊

(北京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院，北京 100876)

為了將非圓齒輪應(yīng)用到變速器中，提出一種實(shí)現(xiàn)相交軸變傳動比運(yùn)動的螺旋非圓齒輪副，并對其嚙合原理進(jìn)行研究。定義了該非圓齒輪的螺旋節(jié)曲線，給出傳動比公式及齒輪副周向純滾動條件，建立了基于包絡(luò)法加工非圓齒廓數(shù)學(xué)模型；通過描述圓柱齒輪的各段齒面方程，結(jié)合共軛齒廓嚙合基本定理，推導(dǎo)出了螺旋非圓齒輪的齒面方程，并驗(yàn)證兩者瞬時嚙合狀態(tài)為線接觸；利用數(shù)值計(jì)算軟件，生成了精確的非圓齒面，分析了左右非圓齒廓外觀特征，為進(jìn)一步研究和應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

齒輪；螺旋非圓齒輪；相交軸； 嚙合原理；齒廓；線接觸

非圓齒輪的最大特點(diǎn)是能夠傳遞兩軸之間非勻速運(yùn)動，它綜合了齒輪與凸輪機(jī)構(gòu)優(yōu)點(diǎn)，既能實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確運(yùn)動規(guī)律，又能傳遞較大的動力[1]。目前，非圓齒輪傳動在許多場合均有應(yīng)用，例如卵形流量計(jì)、非圓行星液壓馬達(dá)[2]、新型擺線減速器[3]、汽車差速器[4-5]、農(nóng)業(yè)機(jī)械[6]等設(shè)備中。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對非圓齒輪相關(guān)研究取得多方面進(jìn)展，譚偉明、吳序堂等人建立了非圓齒輪加工簡化模型[7-10]，其齒廓可由齒條對非圓齒輪展開包絡(luò)；夏繼強(qiáng)提出非圓錐齒輪幾何設(shè)計(jì)方法[11]；林超等討論了不同球面節(jié)曲線下的傳動特性，并對非圓錐齒輪球面漸開線插齒方法進(jìn)行了分析[12-13]。

多圈非圓齒輪是一種特殊類型的非圓齒輪[14]，它能使傳動比函數(shù)的再現(xiàn)角度區(qū)間大于360°，但齒輪在轉(zhuǎn)動過程中，必須有微小的軸向移動才能正確嚙合，屬于空間嚙合范疇，因此齒形較為復(fù)雜。

本文以多圈非圓齒輪外觀為研究對象，嘗試將此特點(diǎn)應(yīng)用于錐形齒輪組變速裝置中，提出螺旋非圓齒輪傳動，并研究齒輪副嚙合原理，建立齒廓形成數(shù)學(xué)模型，分析齒面幾何特征。

1 螺旋非圓齒輪應(yīng)用構(gòu)思

圖1 錐形齒輪組變速傳動裝置簡圖Fig. 1 Sketch of conical gear transmission set

沈謙等曾設(shè)計(jì)出錐形齒輪組變速裝置[15-16]，該裝置采用相交軸傳動，主動輪是漸開線圓柱齒輪，從動輪由一系列變厚齒輪組成，如圖1(a)，這種變速裝置體積小，容易達(dá)到多檔位變化，但當(dāng)改變檔位時，必須切斷動力，手動選擇傳動級，導(dǎo)致動力傳遞不連續(xù)。為實(shí)現(xiàn)自動變速功能，參照多圈非圓齒輪螺旋外觀，在兩級變厚齒輪之間設(shè)置螺旋非圓齒，如圖1(b)，利用非圓齒輪的特殊形狀和運(yùn)動規(guī)律逐漸改變傳動比。所有非圓齒必須連同各級變厚齒輪處在同一錐面上，主動圓柱齒輪在轉(zhuǎn)動過程中，同時沿軸向滑移，便能與錐面上的非圓齒嚙合傳動，因此有必要進(jìn)一步探討兩者之間正確嚙合條件，以及非圓齒廓形狀，從而驗(yàn)證這種傳動類型的可行性。

2 螺旋節(jié)曲線

一對齒輪相對運(yùn)動速度為零的點(diǎn)，在各自回轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的軌跡構(gòu)成瞬心線，即節(jié)曲線。從圖1(b)中可以看到，主動圓柱齒輪軸向移動，致使齒輪副的中心距和傳動比改變，從而體現(xiàn)出非勻速特性，為了分析這種變化，可將瞬時嚙合狀態(tài)假想為圓柱齒輪與一定當(dāng)量齒數(shù)的變厚齒輪傳動。

圖2 圓柱齒輪與各級變厚齒輪傳動Fig. 2 Transmission for cylindrical gear and each beveloid gear

圖2中，圓柱齒輪與模數(shù)相同、齒數(shù)不同的兩對等齒高錐齒輪傳動(即為變厚齒輪)，瞬時回轉(zhuǎn)軸OI是齒輪Ⅱ?qū)X輪Ⅰ相對運(yùn)動角速度作用線，該線與回轉(zhuǎn)軸線相交于同一點(diǎn)O，并將軸交角δ分為δ1、δ2(圖中未標(biāo)出)，瞬時回轉(zhuǎn)軸在各自回轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中構(gòu)成瞬軸面。根據(jù)角速度矢量合成幾何關(guān)系，得到傳動比表達(dá)式:

(1)

進(jìn)一步推導(dǎo),得

(2)

為確定變厚齒輪的齒頂、齒根等參數(shù)，假想變厚齒輪的一個圓錐面與圓柱齒輪分度圓柱面相切于一條直線O1OP，并與瞬時回轉(zhuǎn)軸交于節(jié)點(diǎn)OP，節(jié)點(diǎn)至兩齒輪軸線的距離r1稱為節(jié)徑，傳動比又可用節(jié)徑之間的比值來確定：

(3)

由于變厚齒輪齒數(shù)不同，圓柱齒輪分別與之嚙合時，可得到不同傳動比，而節(jié)點(diǎn)從OP變動到OP′，錐齒輪節(jié)徑由r1變?yōu)閞1′，因此每對齒輪具有不同的瞬軸面，但節(jié)點(diǎn)OP、OP′始終處在同一圓錐面上。

為描述圓柱齒輪與螺旋非圓齒輪每一位置傳動比連續(xù)改變的運(yùn)動特性，節(jié)點(diǎn)在圓錐面上的螺旋運(yùn)動用曲線表示，該曲線定義為螺旋節(jié)曲線，見圖3。

圖3 螺旋節(jié)曲線Fig. 3 Spiral pitch curve of non-circular gear

O1OP=L(θ1)sinδsin(θ1i1)+

sinδcos(θ1j1)+cos(δk1)

(4)

式中：θ1是失徑極角，以y1軸為基準(zhǔn)順時針計(jì)量：依據(jù)前面分析，螺旋節(jié)曲線與圓柱齒輪節(jié)圓的切點(diǎn)OP，在圓周方向速度保持相等的關(guān)系：

VT=ω1r1=ω2r2

(5)

齒輪副傳動比函數(shù)i12表示為

(6)

螺旋曲線在坐標(biāo)平面x1O1y1上的投影曲線弧長應(yīng)與圓柱齒輪節(jié)圓弧長相等，即

(7)

式中：θ1、θ1′、θ2、θ2′為各齒輪轉(zhuǎn)動前后的極角。

3 螺旋非圓齒輪包絡(luò)數(shù)學(xué)模型

3.1 空間嚙合坐標(biāo)系建立

分別用代號Ⅰ、Ⅱ表示螺旋非圓齒輪與圓柱齒輪(見圖4)，全局固定坐標(biāo)系S0(O0-x0y0z0)及非圓齒輪固聯(lián)坐標(biāo)系S1(O1-x1y1z1)的原點(diǎn)均在圓錐頂點(diǎn)處，坐標(biāo)軸z1即是齒輪Ⅰ回轉(zhuǎn)軸線。為簡化坐標(biāo)系，將坐標(biāo)平面x0O0z0與兩齒輪回轉(zhuǎn)軸線所確定的平面重合，初始位置時，坐標(biāo)系S0S1重合。

圓柱齒輪必須作復(fù)合運(yùn)動才能同螺旋非圓齒輪正確嚙合，分別用浮動坐標(biāo)系S2′(O2′-x2′y2′z2′)和固聯(lián)坐標(biāo)系S2(O2-x2y2z2)來描述齒輪Ⅱ的軸向移動運(yùn)動與圓周轉(zhuǎn)動；坐標(biāo)原點(diǎn)O2,O2′在圓柱齒輪的節(jié)圓平面上，y2′軸方向用右手螺旋定則確定，初始位置時，各坐標(biāo)軸和原點(diǎn)均是重合的。

圖4 螺旋非圓齒輪包絡(luò)數(shù)學(xué)模型Fig. 4 Mathematical model for spiral non-circular gear

根據(jù)第2節(jié)中節(jié)曲線簡化原理，節(jié)圓與錐面螺旋節(jié)曲線的切點(diǎn)記為OP，為表示該點(diǎn)在錐面上運(yùn)動情況，建立兩齒輪中間關(guān)聯(lián)浮動坐標(biāo)系SP(OP-xPyPzP)，令坐標(biāo)分量xP、yP、zP與x0、y0、z0對應(yīng)保持平行。

圖4中，r2為圓柱齒輪節(jié)徑，非圓齒輪節(jié)徑r1為節(jié)點(diǎn)至非圓齒輪回轉(zhuǎn)軸線的距離，節(jié)點(diǎn)在圓錐母線上的長度用L表示，兩者幾何關(guān)系為：r1=Lsinδ。當(dāng)齒輪副轉(zhuǎn)動到任意位置時，坐標(biāo)軸x0與x1按逆時針轉(zhuǎn)動方向計(jì)量的角度用φ1表示，圖4右側(cè)俯視圖中可以看到，錐面螺旋節(jié)曲線極角θ1與之計(jì)量方向相反，故φ1=-θ1；對于圓柱齒輪，同樣存在角度φ2=-θ2。

至此，容易找到從坐標(biāo)系S1到坐標(biāo)系S的變換關(guān)系和變換矩陣：R1=Ms1s0R0

(8)

同理，其他坐標(biāo)系之間的變換矩陣：

Ms0sP,Ms2′s2,MsPs2′,Ms2′s2,Ms1s2

(9)

3.2 相對運(yùn)動速度表示

從全局固定坐標(biāo)系S0觀察，螺旋非圓齒輪做定軸轉(zhuǎn)動，角速度矢量記為ω1；與之共軛的圓柱齒輪做復(fù)合運(yùn)動，其運(yùn)動狀態(tài)分解為：坐標(biāo)系S2相對坐標(biāo)系S2′作定軸轉(zhuǎn)動，角速度矢量記為ω2；原點(diǎn)O2相對固定坐標(biāo)系S0沿圓錐母線方向牽連移動速度VL。設(shè)M是兩齒輪齒面上瞬時接觸點(diǎn)，該點(diǎn)在非圓齒輪與圓柱齒輪的速度矢量為

V1=ω1×O1M；V2=ω2×O2M+VL

(10)

圓柱齒輪齒廓曲面是已知的，M點(diǎn)位置矢量可表示在坐標(biāo)系S2中

(11)

進(jìn)一步得出兩個剛體在公共切點(diǎn)處的相對運(yùn)動速度

V12=V1-V2=

[ω1(-sinδsinφ2L-r2cosδsinφ2+

(12)

3.3 圓柱齒輪齒面參數(shù)方程

圓柱齒輪既是嚙合對象，又是非圓齒廓成型刀具，軸截面內(nèi)具有相同齒形，使坐標(biāo)軸x2與齒槽中線重合，則左右齒廓均關(guān)于此軸對稱的。圓柱齒輪參與包絡(luò)的齒廓由：齒頂ab段、齒頂圓角bc段、齒側(cè)cd段組成，對于漸開線弧段方程，采用以下方法獲得。

圖5 圓柱齒輪截面齒廓組成Fig. 5 Tooth profile of cylindrical gear in section

設(shè)漸開線齒廓上任一流動點(diǎn)M2，在坐標(biāo)系S2中的位置矢量表示為

(13)

利用漸開線性質(zhì)得

(14)

則cd段失徑方程

(15)

式中：r2b為圓柱齒輪基圓半徑；u2cd為漸開線滾動角變量；lz2是齒廓齒寬方向變量；u0為漸開線起始向徑到齒槽中線x2軸的夾角；符號“±,?”上面代表齒輪右側(cè)齒廓，下面代表左側(cè)齒廓，i代表各輪齒位置。

i=0,1,2,3…

(16)

利用以下方程，求得cd段法線矢量:

(17)

其余ab、bc兩段失徑、法線矢量均類似求得

(18)

綜上所述，各段齒面方程與法線矢量統(tǒng)一寫成：

(19)

(20)

其中，以上兩式的變量可以用u2表示：

u2={u2ab,θ2bc,u2cd}

(21)

3.4 嚙合方程與非圓齒面方程

在圖4中，點(diǎn)M是兩齒輪齒廓的瞬時接觸點(diǎn)，根據(jù)包絡(luò)曲面非奇異條件[17]得知，兩齒廓曲面在該點(diǎn)處必須保持相切觸，并存在共同公切面和公法線，共軛齒廓嚙合基本定理中規(guī)定，若使兩齒廓連續(xù)相切傳動，既不產(chǎn)生干涉，又不相互脫開，他們在切點(diǎn)的相對運(yùn)動速度一定沿公切線方向，用矢量公式表示為

f12=n2·V12

(22)

以齒側(cè)cd段為例，得到含參變量u2cd、lz2、φ1、φ2的嚙合方程式f12cd：

f12cd=±sin(u0+u2cd)[ω1(-sinδsinφ2L-

cos(u0+u2cd)[(-sinδcosφ2L-r2cosδcosφ2-

(23)

其余各段嚙合方程式：

f12(θ1,u2,lz2)={f12ab,f12bc,f12cd}

(24)

將圓柱齒輪齒面方程變換到非圓齒輪固聯(lián)坐標(biāo)系S1中，便能得到由包絡(luò)產(chǎn)生的曲面族，再結(jié)合嚙合方程式，消掉其中一個變量，導(dǎo)出非圓齒輪齒廓方程式

(25)

(26)

4 瞬時接觸線

(27)

其中

u2cd?φ2)+r2cotδ+L

(28)

圓柱齒輪齒面上瞬時接觸線位置取決于參數(shù)φ2，當(dāng)給定某一角度時，利用式(5)～(7)求得非圓齒輪角速度ω1、轉(zhuǎn)角φ1，而錐頂角δ、基圓半徑r2b、節(jié)徑r2等均為常值，瞬時接觸線的參數(shù)方程(27)中只含變量u2cd，顯然代表一條曲線，其他兩段曲面類似驗(yàn)證。

5 非圓齒面計(jì)算方法與驗(yàn)證

5.1 齒面生成流程

前面分析到，非圓齒在錐面上的布置與齒廓形狀依賴于錐面螺旋節(jié)曲線，一旦確定向徑L的變化規(guī)律，便能得出齒輪傳動比變化曲線，也決定了圓柱齒輪發(fā)生耦合運(yùn)動的軸向移動速度VL。根據(jù)以上相關(guān)公式，利用Mathematica數(shù)學(xué)軟件編程，計(jì)算符合嚙合方程的坐標(biāo)點(diǎn)集，從而繪制出精確齒面，圖6為螺旋非圓齒面生成流程。

圖6 非圓齒面計(jì)算流程圖Fig. 6 Calculation flow chart for non-circular gear

5.2 數(shù)值計(jì)算實(shí)例

表1中給出了圓柱齒輪的基本參數(shù)，并設(shè)定了錐面螺旋節(jié)曲線方程，按照上述流程編程，得到某一位置處的螺旋非圓齒廓曲面。

表1 圓柱齒輪基本參數(shù)

圖7為仿真加工出的螺旋非圓齒輪齒面。下側(cè)較窄部分為非圓齒輪齒根過渡曲面，由圓柱齒輪的齒頂圓角包絡(luò)出來；上側(cè)較寬部分為非圓齒輪齒側(cè)曲面，由圓柱齒輪的漸開線齒面包絡(luò)成型。從(a)可以看到，由于存在錐頂角，上端齒形大、齒頂較尖，下端齒形較小、齒頂較寬，呈現(xiàn)錐形，符合錐齒輪的外觀特征。非圓齒輪的左側(cè)齒形相比右側(cè)齒形，在Z坐標(biāo)方向錯開一定的距離；(b)中，兩齒廓不再關(guān)于齒厚中部對稱，齒形整體向另一側(cè)偏斜，這種變化特點(diǎn)正是因?yàn)閳A柱齒輪轉(zhuǎn)動過程中，沿軸向移動造成的，移動速度越大，齒廓相錯性與不對稱性越明顯。

非圓輪齒兩側(cè)曲線，為圓柱齒輪包絡(luò)螺旋非圓齒輪的瞬時接觸線，從而驗(yàn)證了瞬時嚙合狀態(tài)仍為線接觸。以擺線方程作為節(jié)曲線失徑L隨自身轉(zhuǎn)角θ1的變化規(guī)律，在一周范圍內(nèi)設(shè)置兩段對稱的曲線，圓柱齒輪做升程與回程運(yùn)動。用三維造型工具設(shè)計(jì)出了改造后的螺旋非圓齒輪變速裝置虛擬模型，并通過3D打印技術(shù)加工出了實(shí)體，進(jìn)一步說明了這種傳動類型的可行性。

圖7 螺旋非圓齒輪齒面Fig. 7 Tooth profile of spiral non-circular gear

圖8 螺旋非圓齒輪三維模型Fig. 8 Three-dimensional model of spiral non-circular gear

6 結(jié)論

1) 依據(jù)多圈非圓齒輪的外觀特征，提出一種實(shí)現(xiàn)相交軸變傳動比運(yùn)動的螺旋非圓齒輪，與之嚙合的齒輪副被限定為圓柱齒輪，各非圓齒均布置在錐頂角為軸交角的圓錐面上，圓柱齒輪做耦合運(yùn)動，才能與螺旋非圓齒輪正確嚙合。

2) 以圓柱齒輪與變厚齒輪嚙合傳動為基礎(chǔ)，研究相同錐頂角、模數(shù)、不同配對齒數(shù)情況下齒輪副傳動比、瞬軸面變動規(guī)律，用螺旋節(jié)曲線來描述節(jié)點(diǎn)在非圓齒輪在固聯(lián)坐標(biāo)系中的運(yùn)動情況。

3) 建立了螺旋非圓齒輪空間嚙合坐標(biāo)系，將圓柱齒輪看作形成非圓齒面的刀具，找出齒輪副相對運(yùn)動關(guān)系，結(jié)合共軛齒廓基本定理，最終得到了非圓齒面齒廓方程，并驗(yàn)證了瞬時接觸狀態(tài)仍為線接觸。

4) 利用數(shù)學(xué)軟件按照流程圖編程，將得到的坐標(biāo)點(diǎn)集繪制三維齒面，直觀、準(zhǔn)確的展現(xiàn)了非圓齒廓、過渡曲面的各方面信息。通過對比左右齒廓外觀形狀，說明非圓齒廓的相錯及不對稱特點(diǎn)，是由圓柱齒輪作軸向進(jìn)給運(yùn)動造成的。

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Research on meshing transmission of intersected spiral non-circular gear

SONG Hongzhou, WEI Shimin, LIAO Qizheng, GUO Lei

(Automation School, Beijing University of Post and Telecommunications, Beijing 100876, China)

In order to apply non-circular gearing to transmissions, an intersecting axis non-constant transmission ratio spiral gear pair was proposed. The spiral pitch curve of non-circular gearing was defined, and the transmission ratio equation and the conditions for pure rolling of the gear pair were found. A mathematical model for processing a non-circular tooth profile based on an inclusive method was established. By describing each section of cylindrical gear tooth surface and combining with the engagement principle of conjugate profile, the spiral gear tooth surface equations were deduced, validating that their instantaneous engagement state was line contact. The accurate non-circular gear tooth profiles were generated by numerical calculation software. The characteristics of left and right non-circular gear tooth profiles were analyzed, providing a theoretical basis for further research and application.

gear; spiral non-circular gear; intersected axes; engagement principle; tooth profile; line contact

2014-04-03.

時間：2015-08-24.

國家863計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(2011AA040203)；國家科技支撐計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(2013BAD17B06)；糧食公益性行業(yè)科研專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(201313009-06).

宋洪舟(1988-), 男, 博士研究生； 魏世民(1965-), 男, 教授,博士生導(dǎo)師.

魏世民，E-mail：wsmly@bupt.edu.cn.

10.3969/jheu.201404012

TH132.4

A

1006-7043(2015)09-1223-06

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.U.20150824.1620.003.html