方志平

分類討論是一種重要的數(shù)學思想方法，當問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象進行分類.分類討論時，應該從所研究的具體問題出發(fā)，選取恰當?shù)臉藴剩缓蟾鶕?jù)對象的屬性，科學地分類，把它們不重不漏地劃分為若干類別，再逐步進行討論，獲取階段性結果，歸納小結，最后綜合給出結論

分類是人類認識世界、改造世界的科學行為. 分類形成一種數(shù)學思想，在數(shù)學活動中，分類討論的思想好比指南針，它給我們指明了方向.

分類討論的基本原則：①對所討論的全域分類要“即不重復，也不遺漏”；②在同層次討論中只能按所確定的一個標準進行；③對多級討論，應逐級進行，不能越級.

下面列舉數(shù)例談談分類討論的解題策略，從中體悟分類討論的解題思想，供大家參考.

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由概念內(nèi)涵引起的分類討論

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所有數(shù)學概念都有其明確的內(nèi)涵，在解決問題的過程中，凡是涉及相關的概念問題，當不能直接解答時，一般都應以所定義的概念來進行分類討論，討論時要注意概念所受的限制條件.

例1 函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大 ，則a的值是________.

思路點撥 欲求指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值，需要先確定底數(shù)a與1的大小，所以需要分a>1和0

破解 當a>1時，y=ax在[1，2]上遞增，故a2-a= ，得a= ；

當0

故a= 或a= .

例2 設k為實常數(shù)，問：方程（8-k）x2+（k-4）y2=（8-k）·（k-4）表示的曲線是何種曲線？

思路點撥 很顯然，k的取值決定了方程的形式，進而影響了方程所表示的曲線，故需對k進行分類討論.

破解 方程表示何種曲線主要取決于k的取值，可對k分以下三種情形討論：

（1）當k=4時，方程變?yōu)?x2=0，即x=0，表示y軸.

（2）當k=8時，方程變?yōu)?y2=0，即y=0，表示x軸.

（3）當k≠4且k≠8時，方程變?yōu)?+ =1，又有以下五種情形：

①當k<4時，方程表示中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線；

②當4

③當k=6時，方程表示圓心在原點，半徑為 的圓；

④當6

⑤當k>8時，方程表示中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線.

1. 設命題p：函數(shù)f（x）=a- 是R上的減函數(shù)；命題q：函數(shù)f（x）=x2-4x+3在[0，a]上的值域為[-1，3]. 若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求a的取值范圍.

2.已知常數(shù)a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O為AB的中點，點E，F(xiàn)，G分別在BC，CD，DA上移動，且 = = ，P為GE與OF的交點（如圖1），是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.

圖1

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由公式限制引起的分類討論

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有些定理、公式、運算法則在不同的條件下有不同的形式，如數(shù)列通項及其前n項和公式、方根性質等，因此在解題時一般要分類討論.

例3 數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Sn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，試比較 與an+1的大小，并證明你的結論.

思路點撥 由于等比數(shù)列{Sn}的通項形式受到公比q的影響，于是第一層需對主要變量q分類討論，即分q=1和q>0且q≠1討論；由于數(shù)列{an}的通項公式是分段的，于是第二層需對n分類討論，即分n=1和n≥2討論；在q>0且q≠1，同時n≥2的情況下， 與an+1差值的正、負與q有關，于是第三層需對q進一步分類討論，即分q>1和0

破解 設Sn=S1qn-1（其中S1>0，q>0），則可得an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，即an=S1，n=1，S1（q-1）qn-2，n≥2？搖.

（1）當q=1時，a2=a3=…=an=0（n≥2），①當n=1時， >an+1；②當n≥2時， =an+1.

（2）當q>0且q≠1時，

①當n=1時，由已知得 -a2= -S1（q-1）= S1·q- + >0，所以 >a2.

②當n≥2時，由已知得 -an+1= [S1·（q-1）qn-2+S1（q-1）qn]-S1（q-1）qn-1= S1qn-2（q-1）3，若q>1，則 >an+1；若0

1. 求數(shù)列{（2n-1）an}的前n項和Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an.

2. 已知數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1，n為奇數(shù)，2n，n為偶數(shù)，且數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求S11，并求Sn的表達式.

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由參數(shù)變化引起的分類討論

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數(shù)學問題中含有變量或參數(shù)，這些變量或參數(shù)取不同值時會導致不同的結果，因而需要對參數(shù)進行分類討論.

例4 設a<1，集合A={x∈Rx>0}，B={x∈R2x2-3（1+a）x+6a>0}，D=A∩B.

（1）求集合D（用區(qū)間表示）；

（2）求函數(shù)f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D內(nèi)的極值點.

思路點撥 求解第（1）問的關鍵是求出集合B中的不等式，因其含有參數(shù)，在用判別式法時需對參數(shù)進行分類討論；第（2）問的求解思路同第（1）問如出一轍，同樣需要對參數(shù)進行分類討論.

破解 （1）考慮不等式2x2-3（1+a）x+6a>0的解，因為Δ=[-3（1+a）2]-4×2×6a=3（a-3）（3a-1），且a<1，所以可分以下三種情況：

（i）當

（ii）當a= 時，Δ=0，此時B={xx≠1}，D=（0，1）∪（1，+∞）.

（iii）當a< 時，Δ>0，此時2x2-3（1+a）x+6a=0有兩根，設為x1，x2，且x1x2}.

①當00，x1x2=3a>0，所以x2>x1>0，此時D=（0，x1）∪（x2，+∞）；

②當a≤0時，x1x2=3a≤0，所以x1≤0，x2>0，此時D=（x2，+∞）.

綜上，當

x1= ，x2= .

（2）f ′（x）=6x2-6（1+a）x+6a. 令f ′（x）=0可得6（x-a）（x-1）=0. 因為a<1，所以f ′（x）=0有兩根m1=a和m2=1，且m1

①當

所以f（x）在D內(nèi)有極小值點1，極大值點a.

②當a= 時，D=（0，1）∪（1，+∞），此時f ′（x）=0在D內(nèi)只有一根m1=a= ，列表可得：

所以f（x）在D內(nèi)只有極大值點a，沒有極小值點.

③當00，g（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0，所以0

所以f（x）在D內(nèi)只有極大值點a，沒有極小值點.

④當a≤0時，D=（x2，+∞），此時x >1，于是f ′（x）在D內(nèi)恒大于0， f（x）在D內(nèi)沒有極值點.

綜上，當

1. 解不等式 >0a為常數(shù)，a≠- .

2. 已知函數(shù)f（x）=ax3- x2+1（x∈R），其中a>0.

（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（2）若在區(qū)間- ， 上， f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

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由圖形不定引起的分類討論

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當圖形的位置或形狀不確定時，需要進行分類討論，例如某些函數(shù)在不同的區(qū)間上有不同的圖象特征，某些立體幾何不同的展開方式，圓錐曲線的類型或焦點位置不確定，點、線、面的位置不確定等. 解決此類問題時，一定要分析所有可能的位置關系，避免漏解.

例5 如圖2，四邊形ABCD為矩形，且AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面ABCD，問：BC邊上是否存在一點Q，使得PQ⊥QD？說明理由.

圖2

思路點撥 BC邊的長短影響幾何圖形的形狀，從而影響PQ與QD的位置關系，對BC邊長a取值的分類討論，體現(xiàn)了轉化與化歸思想，把點的個數(shù)問題化歸為一元二次方程根的討論問題.

破解 連結AQ，由于PA⊥平面ABCD，若PQ⊥QD，則AQ⊥QD. 設BQ=x，則QC=a-x，AQ= ，DQ= . 在Rt△AQD中，x2+1+1+（a-x）2=a2，整理得x2-ax+1=0. 因為a>0，又Δ=a2-4.

（1）當a2-4=0，即a=2時，BC邊上有且只有一點，滿足PQ⊥QD，此時BQ=1，即Q為BC的中點.

（2）當a2-4>0，即a>2時，BC邊上存在兩點，使得PQ⊥QD，此時BQ= .

（3）當a2-4<0，即0

1. 已知線段AB在平面α外，A，B兩點到平面α的距離分別為1和3，則線段AB的中點到平面α的距離為_______.

2. 求圓錐曲線 + =1的焦距，其中m≠0，m≠1.

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由題設條件引起的分類討論

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問題中的條件是分類給出的，在求解過程中由于受題設條件的限制，統(tǒng)一表達不方便，而變換需要突破這些限制條件時，常引起分類討論.

例6 某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設備M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%.

（1）求第n年初M的價值的表達式；

（2）設An= ，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則需在第n年初對M更新，證明：需在第9年初對M更新.

思路點撥 本題限制條件明顯，而且條件是分類給出的，因此對變量n的分類討論是自然合理的，也是必要的.

破解 （1）當n≤6時，數(shù)列{an}是首項為120，公差為10的等差數(shù)列，an=120-10（n-1）=130-10n.

當n≥6時，數(shù)列{an}是以a6為首項，公比為 的等比數(shù)列，又a6=70，所以an=70× .

因此，第n年初，M的價值an的表達式為an=130-10n，n≤6，70× ？搖 ，n≥7？搖.

（2）設Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得：

當1≤n≤6時，Sn=120n-5n（n-1），An=120-5（n-1）=125-5n；當n≥7時，Sn=S6+（a7+a8+…+an）=570+ =780-210× ，An= .

顯然{An}是遞減數(shù)列，又

A8= =82 >80，A9= =76 <80，

所以需在第9年初對M更新.

1. 有4個標號為1，2，3，4的紅球和4個標號為1，2，3，4的白球，從這8個球中任取4個球排成一排. 若取出的4個球的數(shù)字之和為10，則不同的排法種數(shù)是________.

2. 2010年云南遭受歷史罕見的旱災后，本省各市紛紛采用價格調(diào)控等手段來達到節(jié)約用水的目的. 某城市用水收費方法是：水費=基本費+超額費+排污費，若每月水量不超過最低限量a m3時，只付基本費8元和每戶每月定額排污費c元；若用水量超過a m3時，除了付給同上的基本費和排污費外，超過部分每立方米付b元的超額費. 已知每戶每月的排污費不超過4元，該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費用如下表所示：

根據(jù)以上規(guī)定，解決如下問題：

（1）求每戶每月水費y（元）與月用水量x m3的函數(shù)關系式；

（2）試分析該家庭一、二、三各月份的用水量是否超過最低限量，并求a，b，c的值.

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參考答案

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1 由概念內(nèi)涵引起的分類討論

1. 若p為真，則04，從而解得

綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是

2. 設 = = =k（0≤k≤1），則E（2，4ak），G（-2，4a-4ak），F(xiàn)（2-4k，4a），直線GE：y-4ak=（2ak-a）（x-2），直線OF：y= x.令P（x，y），則由直線OF與GE的方程消去參數(shù)k，得點P的坐標滿足方程 + =1. 由于出現(xiàn)參數(shù)a，下面加以討論：

當a2= 時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.

當a2≠ 時，點P的軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長，

當a2< 時，點P到橢圓兩個焦點- ，a， ，a的距離之和為定值 ；

當a2> 時，點P到橢圓兩個焦點0，a- ，0，a+ 的距離之和為定值2a.

2 由公式限制引起的分類討論

1. 若a=0，則Sn=0.

若a=1，則Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2.

若a≠0且a≠1時，Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an ①；

兩邊同時乘以a，得：aSn=a2+3a3+5a4+…+（2n-1）a ②.

將①式減去②式可得：（1-a）Sn=a+2a2+2a3+2a4+…+2an-（2n-1）a = -（2n-1）a -a. 所以Sn= - .

綜上可得，當a=0時，Sn=0；當a=1時，Sn=n2；當a≠0且a≠1時，Sn= - . 即Sn=n2，a=1， - ，a≠1.

2. 因為an=2n+1，n為奇數(shù)，2n，n為偶數(shù)，所以S11=3+22+7+24…+（2×9+1）+210+（2×11+1）=（3+7+…+23）+（22+24+…+210）= + =78+1364=1442.

由上面的求解可知，數(shù)列{an}的奇數(shù)項構成公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項構成公比為4的等比數(shù)列.

所以當n為偶數(shù)時，Sn=（3+7+…+2n-1）+（22+24+…+2n）= + = + ；當n為奇數(shù)時，Sn=（3+7+…+2n+1）+（22+24+…+2 ）= + = + . 綜上可得：Sn= + ，n為奇數(shù)， + ，n為偶數(shù).

3 由參數(shù)變化引起的分類討論

1. 當2a+1>0時，a>- ；當-4a<6a時，a>0. 所以分以下四種情況討論：

當a>0時，（x+4a）（x-6a）>0，解得x<-4a或x>6a；

當a=0時，x2>0，解得x≠0；

當- 0，解得x<6a或x>-4a；

當a<- 時，（x+4a）（x-6a）<0，解得6a

綜上所述，當a>0時，x<-4a或x>6a；當a=0時，x≠0；當- -4a；當a<- 時，6a

2. （1）當a=1時， f（x）=x3- x2+1，所以f（2）=3且f ′（x）=3x2-3x，所以f ′（2）=6，所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-3= 6（x-2），即y=6x-9.

（2）f ′（x）=3ax2-3x=3axx- ，令f ′（x）=0，解得x=0或x= . 以下分兩種情況討論：

①若0

當x∈- ， 時， f（x）>0等價于 f- >0， f >0，解不等式組得-5

②若a>2，則0< < ，當x變化時， f ′（x）， f（x）的變化情況如下表：

當x∈- ， 時， f（x）>0等價于 f- >0， f >0，解不等式組得

綜合①和②，可知a的取值范圍為0

4 由圖形不定引起的分類討論

1. 分線段AB兩端點在平面同側和異側兩種情況解決. 答案為1或2.

2. 當m<0時，方程表示雙曲線 - =1，其中a2=m2，b2=-m，所以c2=m2-m. 故該圓錐曲線的焦距為2 .

當m>0時，該圓錐曲線表示橢圓，但有的同學直接就認為焦點在x軸上了，這其實是錯誤的. 因為m2和m的大小還沒有確定，所以焦點到底在哪個軸也不能確定，因此我們還得比較m2和m的大小，才能下結論.

當m>0且m≠1時，方程表示橢圓. 若m2m，即m∈（1，+∞）時，方程表示焦點在x軸的橢圓，此時a2=m2，b2=m，所以c2=m2-m. 故該圓錐曲線的焦距為2 .

5 由題設條件引起的分類討論

1. 若取出的球的標號為1，2，3， 4，則共有C12C12C12C12A44=384種不同的排法；若取出的球的標號為1，1，4， 4，則共有A44=24種不同的排法；若取出的球的標號為2，2，3，3，則共有A44=24種不同的排法. 由此可得取出的4個球數(shù)字之和為10的不同排法種數(shù)是384+24+24=432.

2. （1）根據(jù)題意可知水費與用水量是一個分段函數(shù)的關系式，設每月用水量為x m3，支付費用為y元，則y=8+c，0≤x≤a，8+b（x-a）+c，x>a.

（2）由題意知0a，將x=8，y=9代入y=8+2（x-a）+c中，得9=8+2（8-a）+c，得2a=c+15，顯然與前面的等式矛盾，所以一月份用水量不超過最低限量. 又因為y=8+c，所以9=8+c，c=1. 所以a=10，b=2，c=1.