蘇志剛，聶 瑩，吳仁彪

SU Zhigang1，2,NIE Ying2,WU Renbiao2

1.中國民航大學 中歐航空工程師學院，天津300300

2.中國民航大學 智能信號與圖像處理天津市重點實驗室，天津300300

1.Sino-European Institute of Aviation Engineering,Civil Aviation University of China,Tianjin 300300,China

2.Tianjin Key Laboratory for Advanced Signal Processing,Civil Aviation University of China,Tianjin 300300,China

1 引言

民用航空運輸作為一種快捷安全的交通方式，得到世界各國的高度關注，世界各主要經(jīng)濟體的民用航空發(fā)展速度均高于其經(jīng)濟發(fā)展速度。為確保民航航空的安全性，地面管制人員需要全面掌握所關注空域內全部航班的動態(tài)信息及相應的管制信息，特別是在航班密集空域。為精細準確地確定飛行器在空間的位置，飛行器四維航跡（即用加入時間約束的三維空間坐標表示的飛行器航跡）的研究成為當前空中交通管理領域研究的熱點問題，這也是實現(xiàn)新一代空中交通管理系統(tǒng)（NextGen，SESAR）的關鍵技術[1]。國內外圍繞四維航跡的預測、規(guī)劃、顯示等技術展開了深入的研究[2-4]。2012 年2 月AirBus 公司完成從圖盧茲到哥本哈根的全球首次基于四維航跡技術的試驗飛行任務。

傳統(tǒng)空管自動化系統(tǒng)采用二維平面綜合顯示地圖輔助管制員了解空域內飛行器的動態(tài)信息，飛行器的高度信息由相應的標牌指示。然而，新一代空中交通管理系統(tǒng)中，為提高機場容量，采用持續(xù)下降進近或持續(xù)上升離場，傳統(tǒng)的二維平面綜合顯示地圖已經(jīng)無法滿足管理員對空域中飛行器高度變化的掌控[5]?；谌S地理信息的二維投影技術成為四維航跡的推薦顯示方式。飛行器四維航跡的動態(tài)顯示需利用三維地理信息搭建可投影到二維顯示屏上的三維場景，其支撐技術為透視投影。20世紀初，透視基礎理論的兩個重大成果，Kruppa定理和Beskin 定理，揭示了透視投影問題的基本規(guī)律[6]。文獻[7]給出Kruppa 定理的解析形式，隨后，在此基礎上從[7]射影幾何角度完善了透視投影理論[8-10]。隨著計算機圖形學的發(fā)展，透視投影衍衍生出以物體坐標系、視點坐標系以及畫面坐標系為基礎的透視投影技術[11-13]。

以物體坐標系、視點坐標系以及畫面坐標系為基礎的透視投影技術，需要建立三個坐標系并且實現(xiàn)相互之間的轉換，難以適用于空管自動化系統(tǒng)的顯示要求。因此本文在透視投影的規(guī)律下，利用計算機圖形基礎建立三維地理坐標系與投影坐標系，利用坐標的旋轉與幾何關系，分別得到方位角、傾角以及視點、投影平面與地圖基準面的相對位置對投影的影響因子，從而得到透視投影算法。并將所提出的透視投影算法應用于三維地圖軟件搭建的三維背景中，實現(xiàn)三維空間中飛行器標牌定位。

2 問題描述

空管自動化系統(tǒng)中飛行器的四維航跡顯示平臺利用三維地理信息數(shù)據(jù)，通過對三維空間的抽象描述，使系統(tǒng)平面位置綜合顯示器上的二維圖像呈現(xiàn)出景深、透視度等三維顯示特征[14-15]。通過三維空間觀測方位、傾角的變化形成對關注空域不同方位、不同傾角的二維多視角顯示[16]。空管自動化系統(tǒng)所采用的三維空間顯示通常是基于兩點透視投影形成的，即假設三維空間為一個長方體，投影平面與長方體的所有面相交，且至少與長方體的某一條邊平行[17]。

以空管自動化系統(tǒng)中心O點的水平面ABCD作為地圖基準面，并以此點為原點構建三維坐標系OXYZ，其中平面XOY與水平面ABCD重合。將基準面ABCD分別沿Z軸和X軸旋轉角度α和φ，形成如圖1 所示的三維投影結構。在圖1 中平面X′O′Y′為投影平面，其與平面XOY平行，點P(0,0,zp) 為視點，三維空間中點V(xV,yV,zV)是點隨基準面ABCD旋轉后的 位 置。點Vp(x′V,y′V) 是 點V(xV,yV,zV) 在 投 影 平 面X′O′Y′ 上的投影點，且(x′V,y′V) 是該點在投影平面的坐標。

圖1 三維地圖投影示意圖

基于上述假設，空管自動化系統(tǒng)中兩點透視投影問題可以描述為點經(jīng)過旋轉后的點V(xV,yV,zV)在投影平面上的投影點Vp(x′V,y′V)的坐標獲取問題。

3 旋轉變換

其中，Mz(α)為3×3 的方位旋轉矩陣：

用于反映基準面ABCD繞Z軸旋轉角度α的情況，Mx(φ)為3×3 的傾斜旋轉矩陣：

用于反映基準面ABCD繞X軸旋轉角度φ的情況。

4 投影變換

投影點Vp(x′V,y′V)與點V(xV,yV,zV)之間的關系如圖2 所示。

圖2 XOZ 平面投影點與像點位置關系圖

視點P(0,0,zp)經(jīng)點V(xV,yV,zV)在平面XOY上的投影點，根據(jù)幾何關系可得：

因為zp＞＞zv，式（4）可簡化為：

由于空間信息在平面X′O′Y′上的投影是在平面XOY上投影的等比例縮放，所以假設縮放因子為k，則

定義

為投影矩陣，其反映了相應的三維空間向二維平面的投影關系。

5 透視投影

如前所述，空管自動化系統(tǒng)的三維空間通過旋轉變換和投影變換形成二維圖像顯示，所獲得的二維圖像具有景深、透視度等三維特征。因此，當對空間進行旋轉或縮放操作時，原空間坐標變換為投影面上投影點Vp(x′V,y′V)的過程由式（1）與式（6）所確定，即

根據(jù)參數(shù)α、φ及k可以控制三維空間點的投影點位置。

6 實驗結果

本文利用三維地圖軟件Google Earth 構建三維空管自動化系統(tǒng)的顯示平臺，以天津空域飛機的位置信息作為投影映射的實驗數(shù)據(jù)，驗證本文提出的投影映射方法的有效性。

某一時刻天津空域內飛行器的分布情況如圖3所示，所呈現(xiàn)的是傳統(tǒng)空管自動化系統(tǒng)二維顯示模式。飛行器標識旁顯示內容為該飛行器對應的標牌，飛行器后的曲線為10 s內飛行器的歷史位置軌跡。圖中場景信息與飛行器位置信息由Google Earth 形成，而標牌位置由外掛系統(tǒng)根據(jù)飛行器三維位置信息變換的投影坐標決定。由圖可見，標牌與相應飛行器的位置對應關系一致。

圖3 傳統(tǒng)顯示模式下飛行器分布圖

圖4（a）與（b）為同一空域內，不同方位角及傾角下的飛行器顯示情況。與圖3 相比，圖4（a）與（b）明顯地呈現(xiàn)出透視度和景深等三維顯示特征。由圖4（a）與（b）可見，在非傳統(tǒng)顯示模式下利用本文算法所求得的標牌位置仍能與相應飛行器位置相匹配，說明本文方法可以有效解決三維場景的透視投影問題。

圖4 不同視角下飛行器分布圖

7 結論

依據(jù)空管自動化系統(tǒng)四維航跡有效顯示的需求，針對三維空間向二維平面透視投影問題，給出適用于空管自動化系統(tǒng)三維顯示特點的方位旋轉矩陣、傾斜矩陣及投影矩陣。在基于三維地圖軟件Google Earth 構建的三維顯示平臺中，隨著場景旋轉與縮放，標牌與空域飛行器顯示位置變化一致，表明本文所提出的透視投影算法可以有效地與第三方地圖系統(tǒng)結合，實現(xiàn)三維透射投影的操控顯示。

[1] van Marwijk B J A，Borst C，Mulder M，et al.Supporting 4D trajectory revisions on the flight deck：design of a human-machine interface[J].The International Journal of Aviation Psychology，2011，21（1）：35-61.

[2] 張險峰，周其忠，王長青.基于航跡片段樹的快速四維航跡規(guī)劃方法[J].北京航空航天大學學報，2013，39（3）：310-314.

[3] Porretta M，Dupuy M D，Schuster W，et al.Performance evaluation of a novel 4D trajectory prediction model for civil aircraft[J].The Journal of Navigation，2008，33（3）：393-420.

[4] 曲玉玲，韓松臣.四維航跡同一進場航線碰撞風險模型[J].南京航空航天大學學報，2010，42（5）：601-606.

[5] 呂小平.基于GNSS 的終端區(qū)精密進近系統(tǒng)應用分析[J].中國民用航空，2010，118：70-74.

[6] 陳谷新.論別斯金定理[J].北京農(nóng)業(yè)工程大學學報，1990，10（3）：89-95.

[7] Odaka S.Fundamental equation of perspective projeetion and its application[C]//Proceedings International Conference on Descriptive Geometry，1978：95-97.

[8] 趙正魁.三維到二維的射影變換與透視投影[J].工程圖學學報，1991（2）：8-14.

[9] 陳自強.透視投影研究[J].華東理工大學學報，2000，26（2）：201-205.

[10] Guo Yang.A note on the number of solutions of the coplanar P4P problem[C]//Proceedings of the 12th International Conference on Control，Automation，Robotics& Vision，Guangzhou，China，5-7 December，2012.

[11] 吳迪，黃文騫，王瑩.3維地形景觀模擬中的透視投影變換[J].測繪通報，2003，49（6）：27-28.

[12] 王淵，龍華，邵玉斌，等.一種圖形透視投影矩陣的推導及編程實現(xiàn)[J].甘肅科學學報，2011，23（4）：127-129.

[13] Hearn D，Baker M P，Carithers W R.Computer graphics with OpenGL[M].4th ed.Beijing：Publishing House of Electronics Industry，2005：303-382.

[14] Singh S P，Jain P K，Mandla Dr V R.Design and calibration of multi camera setup for virtual 3D city modeling[J].International Journal of Engineering Research & Technology，2013，2（5）：1373-1376.

[15] Qulasvirta A，Estlander S，Nurminen A.Embodied Interaction with a 3D versus 2D mobile map[J].Personal and Ubiquitous Computing，2009，13（4）：303-320.

[16] 任鵬，向南平，胡金星.多視角三維仿真城市地圖的實現(xiàn)方法[J].地理與地理信息科學，2011，27（3）：34-37.

[17] 楊燕燕，茍秉宸，于隋懷，等.基于透視反求的基本體素三維重構關鍵技術研究[J].計算機應用研究，2006，12（11）：21-24.