蘇學滿，孫麗麗

SU Xueman1，2,SUN Lili1

1.安徽工程大學 機械與汽車工程學院，安徽 蕪湖241000

2.安徽工程大學 機器人產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院，安徽 蕪湖241000

1.School of Mechanical and Automotive Engineering,Anhui Polytechnic University,Wuhu,Anhui 241000,China

2.Institute of Technology Robotics Industry,Anhui Polytechnic University,Wuhu,Anhui 241000,China

1 引言

機器人在工作或行走時，需要有可靠的能量供給，如何有效地使用有限的能源能量，延長機器人的運行時間變得至關(guān)重要[1]。分析、控制關(guān)節(jié)驅(qū)動系統(tǒng)的耗散能量并使之最小化，符合系統(tǒng)能量優(yōu)化工程和電機系統(tǒng)節(jié)能工程的實際需要。針對伺服電機和減速器為主體的驅(qū)動系統(tǒng)而言，電機的熱損耗和非線性摩擦損耗直接限制了系統(tǒng)對電能的有效利用。研究、分析電流熱效應、粘性阻尼摩擦、庫侖摩擦對系統(tǒng)能耗的影響，明確其作用關(guān)系，是能量優(yōu)化規(guī)劃得以實施的前提條件[2]。如何運用最優(yōu)控制理論和方法，動態(tài)規(guī)劃關(guān)節(jié)驅(qū)動系統(tǒng)的能耗使之最小化，已經(jīng)成為研究中的重點問題之一。

綜合國內(nèi)外研究，多數(shù)學者在機器人路徑規(guī)劃及步態(tài)等方面進行了能量消耗問題的研究，并提出了很多有價值的研究成果。文獻[3-6]從軌跡規(guī)劃方面研究機器人的能量最優(yōu)控制；文獻[7]通過優(yōu)化機器人步態(tài)參數(shù)使系統(tǒng)能量消耗最??；文獻[8]利用路徑規(guī)劃方法研究機器人局部區(qū)域能量最小化問題；文獻[9-11]通過力矩分配方法使系統(tǒng)能耗最小。對機器人運動控制方面的耗能研究，文獻[1]利用梯形升降速算法研究速度函數(shù)與伺服電機耗能之間的關(guān)系；文獻[12]研究機器人運動過程中的總動作時間和消耗能量在某種程度上達到綜合最優(yōu)；文獻[13]對不同加速控制算法下的最小能耗進行了研究。深入研究機器人最小能耗的影響因素是必要。

本文以六足礦井搜救探測機器人關(guān)節(jié)驅(qū)動系統(tǒng)（直流伺服電機＋齒輪減速器）為研究對象，分析在負載轉(zhuǎn)矩作用下，非線性摩擦和電流熱效應對系統(tǒng)能耗的影響，建立關(guān)節(jié)驅(qū)動系統(tǒng)動力學模型，并應用最優(yōu)控制相關(guān)理論和求解方法，建立最優(yōu)控制電流和角速度函數(shù)，以及驅(qū)動系統(tǒng)在點到點運動控制模式下的最小能耗模型。

2 關(guān)節(jié)驅(qū)動系統(tǒng)最小能耗模型

2.1 關(guān)節(jié)驅(qū)動系統(tǒng)數(shù)學模型

六足礦井搜救探測機器人結(jié)構(gòu)如圖1 所示。機器人每條腿具有單獨驅(qū)動系統(tǒng)，其驅(qū)動系統(tǒng)由直流伺服電機通過齒輪減速器驅(qū)動輪腿運動，如圖2 所示。

圖1 六足礦井搜救探測機器人結(jié)構(gòu)

圖2 機器人驅(qū)動系統(tǒng)原理圖

圖2 中Jm、JL為電機轉(zhuǎn)動慣量和負載的等效轉(zhuǎn)動慣量；Bm、BL為電機粘性阻尼系數(shù)和傳動裝置的等效粘性阻尼系數(shù)；Tm、TL為電機的電磁轉(zhuǎn)矩和負載轉(zhuǎn)矩；為電機和負載的轉(zhuǎn)速；N為減速比。則驅(qū)動系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩平衡方程：

式中ia為電樞電流，J為系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動慣量，Tcm電機庫侖摩擦力矩，Tc減速器的庫侖摩擦力矩。根據(jù)減速器的效率η計算公式：

由式（3）和（4）得驅(qū)動系統(tǒng)的動態(tài)方程為：

電機驅(qū)動的機器人關(guān)節(jié)驅(qū)動系統(tǒng)的能量消耗分為電機繞組產(chǎn)生的熱損耗和克服外力做功。則驅(qū)動系統(tǒng)在時間[0,tf]內(nèi)的能量消耗為：

式中第一項為電機繞組產(chǎn)生的熱量，第二項為克服電機庫侖摩擦力矩做功，第三項為克服電機粘性摩擦轉(zhuǎn)矩做功，第四項為克服減速器庫侖摩擦力矩和粘性摩擦轉(zhuǎn)矩做功，第五項為克服負載轉(zhuǎn)矩做功。

為了使驅(qū)動系統(tǒng)能量消耗E最小，需要求解能量最小條件下的最佳加減速速度輪廓[14]，即為尋找一個速度函數(shù)，在滿足的條件下，要求電動機單周期能量消耗E最小。下面利用最優(yōu)控制理論和最小值定理求解最佳的速度函數(shù)以及對應的電樞電流函數(shù)。建立驅(qū)動系統(tǒng)的最小能耗的模型。

2.2 最優(yōu)速度和最優(yōu)電流函數(shù)求解

當電機處于加速階段時，電機的電磁轉(zhuǎn)矩比摩擦轉(zhuǎn)矩（庫侖摩擦轉(zhuǎn)矩和粘性摩擦轉(zhuǎn)矩）大。當電機處于減速階段時，電機的電磁轉(zhuǎn)矩比摩擦轉(zhuǎn)矩小。加減速階段的速度記為，電流記為ia+(t)、ia-(t)。

若令x1(t)=θm(t)，，則系統(tǒng)加減速階段的狀態(tài)方程為：

利用最小定理和哈密頓函數(shù)[15]可求解出加減速階段的速度和的通解：

根據(jù)初始邊界條件x2+(0)=0，x2-(tf)=0，可求得式（6）中的s1+和s1-為：

式（6）變?yōu)椋?/p>

令tc為最佳角速度轉(zhuǎn)換時間，即當t=tc時，直流電機的加速度和減速度均為0。

再利用速度函數(shù)與電流函數(shù)之間的關(guān)系，可求得最優(yōu)電流ia+(t)和ia-(t)關(guān)于時間表達式為：

式（9）、（10）、（11）、（12）分別為考慮粘性摩擦和庫侖摩擦條件時，基于能耗最小的驅(qū)動系統(tǒng)最優(yōu)加減速速度和最優(yōu)電流關(guān)于時間的函數(shù)表達式。

2.3 最小能耗模型

同時考慮粘性摩擦損耗和庫侖摩擦損耗，伺服系統(tǒng)總能耗由四部分能耗組成：焦耳熱損耗ER、庫侖摩擦損耗EC、粘性摩擦損耗EB、負載損耗EL。根據(jù)所求的速度和電流函數(shù)表達式（9）、（10）、（11）、（12）代入式（5）可求出驅(qū)動系統(tǒng)的最小能耗函數(shù)表達式。

焦耳熱損耗ER的計算如下：

式（14）、（15）分別為加速階段和減速階段的焦耳熱損耗。

庫侖摩擦損耗EC計算如下：

式（17）、（18）為加速階段的庫侖摩擦損耗，式（19）、（20）為減速階段的庫侖摩擦損耗。

粘性摩擦損耗EB計算如下：

式（22）、（23）分別為加減速階段的粘性摩擦損耗。負載損耗EL計算如下：

式（25）、（26）分別為加減速階段的負載損耗。單個輪腿驅(qū)動系統(tǒng)的最小能量損耗為：

六足機器人的六條輪腿驅(qū)動系統(tǒng)的最小總能耗為：

式中EiR+、EiR-為第i條輪腿的焦耳熱損耗；EiC1、EiC2、EiC3、EiC4為第i條輪腿的庫侖摩擦損耗；EiB+、EiB-為第i條輪腿的粘性摩擦損耗；EiL+、EiL-為第i條輪腿的負載能耗。

驅(qū)動系統(tǒng)最小總能耗是關(guān)于加減速轉(zhuǎn)換時間的函數(shù)。

3 最小能耗的影響因素分析

根據(jù)驅(qū)動系統(tǒng)的最小能耗模型，驅(qū)動系統(tǒng)的最小能耗受減速器的效率η、負載轉(zhuǎn)矩TL、庫侖摩擦力矩Tcm、粘性摩擦系數(shù)Bm等因素的影響。機器人每條輪腿運行在支撐相和擺動相時，采用點對點（PTP）控制模式，假設(shè)支撐相和擺動相的運行周期均為T，角位移為π。下面利用MATLAB 分析各因素對最小能耗的影響。驅(qū)動系統(tǒng)的電機選擇maxon 公司生產(chǎn)的A-max32 直流電機+GS38A 型行星齒輪減速箱，參數(shù)如表1 所示。

表1 驅(qū)動系統(tǒng)參數(shù)

3.1 減速器效率對最小能耗的影響

圖3為TL=4.35 Nm、Tcm=0.003 Nm、Bm=0.000 000 01、tf=0.4，減速器的效率分別為1、0.9、0.8、0.7 時的能量隨加減速轉(zhuǎn)換時間tc的變化曲線及能耗最小時刻局部放大圖。驅(qū)動系統(tǒng)的最小能量消耗與最小能量消耗的加減速轉(zhuǎn)換時間tc如表2 所示。礦井搜救探測機器人驅(qū)動系統(tǒng)最小能耗隨減速器效率的減小而增大。加減速轉(zhuǎn)換時間隨著減速器效率的減小先減小后增大。

表2 不同效率下的最小能耗及轉(zhuǎn)換時間

3.2 負載轉(zhuǎn)矩對最小能耗的影響

圖4為η=0.9、Tcm=0.003 Nm、Bm=0.000 000 01、tf=0.4，負載轉(zhuǎn)矩分別為1 Nm、2 Nm、3 Nm、4 Nm 時的能量消耗隨加減速轉(zhuǎn)換時間tc的變化曲線及能耗最小時刻的局部放大圖。驅(qū)動系統(tǒng)的最小能量消耗與最小能量消耗的加減速轉(zhuǎn)換時間tc如表3 所示。礦井搜救探測機器人驅(qū)動系統(tǒng)最小能耗隨負載的增大而增大。而加減速轉(zhuǎn)換時間并不隨著負載的變化而變化。

圖3 不同效率的最小能量變化曲線

圖4 不同負載的最小能量變化曲線

表3 不同負載的最小能量消耗及轉(zhuǎn)換時間

3.3 庫侖摩擦力矩對最小能耗的影響

圖5為η=0.9、Bm=0.000 000 01、TL=3 Nm、tf=0.4，庫侖摩擦力分別為0 Nm、0.001 Nm、0.01 Nm、0.1 Nm、1 Nm 時，驅(qū)動系統(tǒng)的最小能耗變化曲線及能耗最小時刻局部放大圖。驅(qū)動系統(tǒng)的最小能量消耗與最小能量消耗的加減速轉(zhuǎn)換時間tc如表4 所示。驅(qū)動系數(shù)的最小能耗受庫侖摩擦力的影響較小，加減速轉(zhuǎn)換時刻不受庫侖摩擦力的影響。

3.4 粘性阻尼摩擦系數(shù)對最小能耗的影響

圖6為η=0.9、TL=3 Nm、Tcm=0.003 Nm、tf=0.4，粘性阻尼摩擦系數(shù)分別為0.000 01、0.000 000 1、0.000 000 01、0.000 000 001 時，驅(qū)動系統(tǒng)的最小能耗變化曲線及能耗最小時刻的局部放大圖。驅(qū)動系統(tǒng)的最小能量消耗與最小能量消耗的加減速轉(zhuǎn)換時間tc如表5 所示。最小能耗隨粘性摩擦系數(shù)的減小而增大，加減速轉(zhuǎn)換時刻在提前。

4 結(jié)束語

本文根據(jù)礦井搜救機器人關(guān)節(jié)驅(qū)動系統(tǒng)的數(shù)學模型，利用Hamiltonian 函數(shù)和最小值理論，求解出了非線性摩擦條件下速度和控制電流，并建立了驅(qū)動系統(tǒng)的最小能耗模型。通過MATLAB 仿真分析，確定了減速器效率η、負載TL、庫侖摩擦力Tcm和粘性摩擦系數(shù)Bm對驅(qū)動系統(tǒng)最小能耗的影響以及達到能量消耗最小的時間。為移動機器人驅(qū)動系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化配置提供理論上的支持，實現(xiàn)最小能耗的最優(yōu)控制，對機器人節(jié)能降耗具有現(xiàn)實的重要意義。

表4 不同庫侖摩擦力下的最小能耗及轉(zhuǎn)換時間

表5 不同粘性摩擦系數(shù)下最小能量及轉(zhuǎn)換時間

圖5 不同庫侖摩擦力下的最小能量變化曲線

圖6 不同粘性摩擦系數(shù)下驅(qū)動系統(tǒng)最小能量變化曲線

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