□陳博 □譚亮

蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院 蘭州 730050

近年來隨著納機電技術(shù)的發(fā)展，作為納機電系統(tǒng)基礎(chǔ)元器件的納米開關(guān)，受到了眾多研究學(xué)者的青睞。納米開關(guān)主要有兩種類型，分別是懸臂納米開關(guān)和固支納米開關(guān)。這種納米開關(guān)是一種類梁結(jié)構(gòu)，它可以看作是由中間被電解質(zhì)隔開的可移動臂和固定臂組成，當(dāng)在可移動臂和固定臂之間施加外加電壓時，靜電力會使可移動臂和固定臂之間發(fā)生吸附行為［1］。

在宏觀理論下，分子間的作用力，如范德華力和克什米爾力等，這些微小力都是忽略不計的。但當(dāng)納米開關(guān)的尺寸和分子處于同一數(shù)量級時，小尺度效應(yīng)對于其機械性能的影響就顯得非常重要［2］。曹共柏等［3］采用經(jīng)典的分子動力學(xué)方法，分析了兩端固支的納米梁的力學(xué)行為特征，結(jié)果顯示發(fā)熱是納米梁耗散機制的重要方式，即諧振能量轉(zhuǎn)化為梁中原子的熱運動動能。許科峰等［4］提出了幾種基于MEMS（微機電系統(tǒng)）各向異性腐蝕技術(shù)的納米梁制作方法，通過利用MEMS技術(shù)中材料與工藝的特性實現(xiàn)單晶硅納米梁的制作。徐臨燕等［5］基于原子力顯微鏡（AFM）測量了納米梁的楊氏模量。近年來，由于需要合適的模型和理論來分析小尺度的機械器件和設(shè)備的機械性能，這就使連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的尺寸依賴理論受到了持續(xù)的關(guān)注［6］。嚴格來說，經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)并不適用于納米級的納機電系統(tǒng)元器件的分析，但是由于納米級別的對照試驗和分子動力學(xué)模擬不僅實施起來比較困難，而且成本昂貴［7］，所以一些研究學(xué)者建立了若干非經(jīng)典的連續(xù)理論，如非局部彈性理論［8］和偶應(yīng)力理論［9］，來解釋納結(jié)構(gòu)的尺寸依賴行為。Beni Y T等［10］利用修正的偶應(yīng)力理論和修正的Adomian分解方法，研究了納機電系統(tǒng)中吸附行為的尺寸依賴特性，他們的研究結(jié)果顯示，小尺度效應(yīng)使納米梁的臨界吸附電壓增大了。為了更為客觀地反映小尺度效應(yīng)對納機電器件的影響，Yang J等［11］基于非局部理論對受外加電壓和分子間作用力共同作用的納米開關(guān)的吸附行為進行了研究，他們提出了一個線性分布載荷（LDL）模型，以獲得懸臂和固支納米開關(guān)封閉形式的解決方案，同時還發(fā)現(xiàn)，小尺度效應(yīng)使懸臂納米開關(guān)的吸合電壓增大了，納米開關(guān)固支納米開關(guān)的拉入電壓減小了。 Peng J S等［12］用一個適合邊界條件的線性負載模型替代了LDL模型，并且基于Eringen的非局部彈性理論對納米促動器的吸附行為重新進行了穩(wěn)定性研究。此外，Wang B L等［13］提出使用應(yīng)變梯度彈性理論來研究電驅(qū)動納米梁的尺寸依賴性。Mousavi T等［14］基于Eringen的非局部彈性理論對納米開關(guān)的吸合行為進行了分析。Wang K F等［15］通過差分正交方法研究了受靜電力和分子間作用力作用的納米開關(guān)的吸合穩(wěn)定性。

▲圖1 納米開關(guān)模型

為了進一步研究小尺度效應(yīng)對納米開關(guān)的影響，筆者引進了基于傳統(tǒng)非局部理論和精確的能量變分法而獲得的等效非局部理論，此理論建立在Eringen［16］的非局部彈性理論基礎(chǔ)之上。筆者研究的主要內(nèi)容是在得到受靜電力和分子間作用力共同作用的納米開關(guān)的控制方程后，利用解析法求解控制方程。

1 納米開關(guān)模型

懸臂納米開關(guān)和固支納米開關(guān)都由一個可移動臂和一個固定臂組成，不同的是懸臂納米開關(guān)可移動臂是類懸臂梁結(jié)構(gòu)，而固支納米開關(guān)可移動臂是類簡支梁結(jié)構(gòu)。在臨界吸合電壓作用下，可移動臂失穩(wěn)而吸附在固定臂上，完成吸合行為。為研究納米級結(jié)構(gòu)的吸合行為，需要考慮范德華力、克什米爾力和靜電力等微小力對其的影響。圖1是納米開關(guān)的模型。

在圖1中，L為納米開關(guān)的長度；U為外加電壓；X和 Z為坐標軸；g為納米開關(guān)固定臂 （The fied electrode）與可移動臂（The movable electrode）之間的初始距離；w為可移動臂變形后的撓度。

2 等效非局部理論模型

根據(jù)歐拉伯努利梁理論可知，沿坐標軸X方向的位移與應(yīng)變之間的關(guān)系可表示為：

式中：εxx表示沿X軸向的正應(yīng)變；t表示時間；z為沿Z軸方向的值。

為簡化計算并更好地表達非局部納米效應(yīng)，引入非局部納米參數(shù)τ：

式中：e0a是通過匹配實驗和分子動力學(xué)模擬實驗獲得的材料常數(shù)。

在二維的情形下，通過格林公式得到的納米開關(guān)的非局部應(yīng)力與經(jīng)典應(yīng)力之間的關(guān)系為：

式中：σij為非局部應(yīng)力；σij′為經(jīng)典應(yīng)力；▽為哈密爾頓算子。

當(dāng)二維非局部理論問題過渡到一維問題時，式（3）可表示為：

式中：σxx為軸向非局部正應(yīng)力；E為彈性模量。

為了簡化運算過程，對一些參數(shù)進行無量綱化：

進行無量綱化后，式（4）可表示為：

上式為二階常微分方程，其通解可以表示為：

聯(lián)立式（6）、式（7），可得積分常數(shù) An的表達式：

一般當(dāng)非局部參數(shù)τ逐漸趨于零時，非局部應(yīng)力σxx就逐漸趨于宏觀應(yīng)力 σxx′，即所以，通解中的積分常數(shù)就必須為零，即 B1（z）=B2（z）=0。 進而，非局部應(yīng)力的通解簡化為：

有了非局部應(yīng)力的表達式，就可以用它來表示可移動臂的應(yīng)變能密度。在納米開關(guān)變形后，單位體積內(nèi)的能量密度μ為：

聯(lián)立式（9）、式（10），單位體積內(nèi)應(yīng)變能的能量密度為：

為了便于積分，把單位體積內(nèi)應(yīng)變能的能量密度分為三部分：

納米開關(guān)的總應(yīng)變能：

式中：U2為總應(yīng)變能；V為總體積。

單位長度內(nèi)所受到的克什米爾力［14］為：

式中：h=1.055×10-34Js，是普拉克常數(shù)除以2π所得；c=2.998×108m·s-1，為光速；b是可移動臂橫截面的寬度。

可移動臂單位長度內(nèi)受到的范德華力［15］為：

式中：A為哈莫克常數(shù)。

可移動臂單位長度上受到的靜電力為：

式中：ε0=8.854×10-12F·m-1，是真空介電常數(shù)。

綜上所述，可移動臂上所受到的均布載荷為：

由此均布載荷做的功W為：

等效非局部理論的理論基礎(chǔ)是能量變分原理，通過這個過程可以得到等效非局部應(yīng)變能、等效非局部彎矩和高階的幾何邊界條件。為了能夠應(yīng)用能量變分原理，需要引入函數(shù)Z：

聯(lián)立上述幾個式子，可以得到：

式中：I為慣性矩。

由能量變分原理可知，能量函數(shù)的變分應(yīng)為零，且在邊界上的變分也為零，所以納米開關(guān)的控制方程為：

上式的通解為：

式中：Ci為待定常數(shù)，i=1～6。

高階邊界條件由自然邊界條件和幾何邊界條件組成，其中自然邊界條件也稱為位移邊界條件，是強約束的邊界條件，必須在推導(dǎo)之前滿足；幾何邊界條件也稱為力的邊界條件，是弱的邊界條件，是在推導(dǎo)控制方程的過程中獲得的。懸臂納米開關(guān)的邊界條件為：

▲圖2 不同條件下納米開關(guān)的撓度

固支納米開關(guān)的邊界條件：

3 數(shù)值計算

如圖2所示，描述了在不同條件下懸臂納米開關(guān)和固支納米開關(guān)可移動臂的吸合行為。圖2（a）中，隨著軸向坐標x值的增大，可移動臂上對應(yīng)點的撓度也隨之增大；圖2（b）中隨著x值的增大，可移動臂的撓度先達到一個峰值，而后逐漸減小到零。在圖2（a）中，考慮非局部效應(yīng)時的撓度要小于經(jīng)典理論下的撓度，并且當(dāng)非局部參數(shù)τ趨于零時，非局部理論的撓度曲線就與經(jīng)典理論下的撓度曲線重合，這說明，非局部效應(yīng)使懸臂納米開關(guān)的撓度減小了，即懸臂納米開關(guān)的彎曲剛度增大了。在圖2（b）中，非局部效應(yīng)使可移動臂的撓度較之于經(jīng)典理論下有所增大。當(dāng)非局部參數(shù)τ趨于零時，也回歸經(jīng)典理論，這說明，非局部效應(yīng)使固支納米開關(guān)的彎曲剛度減小了。

給定一個外加電壓值，如u=1V，通過連續(xù)改變非局部參數(shù)τ的值，來獲得相應(yīng)的最大撓度。由圖3可知，當(dāng)非局部參數(shù)τ趨于零時，可移動臂的最大撓度就回歸到經(jīng)典理論，即始終保持為一定值。若非局部參數(shù)不為零，隨著非局部參數(shù)的增大，懸臂納米開關(guān)的最大撓度逐漸減小，而固支納米開關(guān)的最大撓度則逐漸增大。

4 結(jié)論

綜上所述，筆者基于等效非局部理論，研究了小尺度效應(yīng)對懸臂納米開關(guān)和固支納米開關(guān)吸合行為的影響，即對兩種納米開關(guān)彎曲剛度的影響。為了更直觀表達小尺度效應(yīng)對納米開關(guān)的影響，引入了非局部納米參數(shù)，其值越大表示非局部效應(yīng)越大，當(dāng)其值趨于零時，非局部理論就回歸到了經(jīng)典理論。

研究結(jié)果顯示，懸臂納米開關(guān)和固支納米開關(guān)的可移動臂越長，它們的吸合電壓越小。對于同一長度的可移動臂，非局部參數(shù)越大，懸臂納米開關(guān)的吸合電壓越大，而固支納米開關(guān)的吸合電壓越小，但不會改變兩種開關(guān)的吸合位移。而且，非局部效應(yīng)對固支納米開關(guān)的影響比對懸臂納米開關(guān)的影響要大。兩種納米開關(guān)的計算結(jié)果，都是通過與經(jīng)典理論的計算結(jié)果進行比較來判斷其結(jié)論的準確性和合理性的。非局部效應(yīng)使懸臂納米開關(guān)的最大撓度和吸合電壓比經(jīng)典理論下的最大撓度和吸合電壓減小了，卻使固支納米開關(guān)的最大撓度和吸合電壓比經(jīng)典理論下的最大撓度和吸合電壓增大了，也就是說，非局部效應(yīng)使懸臂納米開關(guān)的彎曲剛度變大了，卻使固支納米開關(guān)的彎曲剛度變小了。

▲圖3 非局部效應(yīng)對納米開關(guān)最大撓度的影響

［1］ Taghavi N,Nahvi H.Pull-in Instability of Cantilever and Fixed-fixed Nano-switches ［J］.European Journal of Mechanics A/Solids,2013,41:123-133.

［2］ Wang G F,Yang F.Postbucking Analysis of Nanowires with SurfaceEffect［J］.JournalofAppliedLetters,2011,109（2）:1-3.

［3］ 曹共柏,焦繼偉,陳云飛，等.單晶硅納米梁的分子動力學(xué)模擬［J］.傳感技術(shù)學(xué)報,2006,19（5）:1686-1688.

［4］ 許科峰,于海濤,楊永亮，等.幾種基于MEMS的納米梁制作方法研究［J］.傳感技術(shù)學(xué)報,2007,20（9）:1971-1976.

［5］ 徐臨燕,栗大超,胡小唐，等.基于原子力顯微鏡的納米梁楊氏模量的測量［J］.天津大學(xué)學(xué)報,2007,40（7）:816-820.

［6］ Ou Z Y,Pang S D.Fundamental Solutions to Hertzian Contact Problems at Nanoscale ［J］.Acta Mechanics,2013,224（4）:109-121.

［7］ Murmu T,Pradhan S C.Small-scale Effect on the Free Inplane Vibration of Nanoplates by Nonlocal Continuum Model［J］.Physica E,2009,41（6）:1628-1633.

［8］ Eringen A C.On Differential-equations of Nonlocal Elasticity and Solutions of Screw Dislocation and Surface-waves［J］.Journal of Applied Physics,1983,54（3）:4703-4710.

［9］ Ejike Uwadiegwu B C O.The Plane Circular Crack Problem in the Linearized Couple-stress Theory ［J］.International Journal of Engineering Science,1969,7（1）:947-961.

［10］ BeniY T,Abadyan M R,NoghrehabadiA,etal.Investigation of Size Effect on the Pull-in Instability of Beamtype NEMS underVanderWaalsAttraction ［J］.Procedia Engineering,2011,10（1）:1718-1723.

［11］ Yang J,Jia X L,Kitipornchai S,et al.Pull-in Instability of Nano-switches Using Nonlocal Elasticity Theory［J］.Journal of Physics D:Applied Physics,2008,41（3）:295-302.

［12］ Peng J S,Luo G B,Yang L,et al.Pull-in Instability Behaviour of Nanoscale Actuators Using Nonlocal Elasticity Theory ［J］.Advanced Materials Research,2012,468 （1）:2755-2758.

［13］ Wang B L,Zhou S J,Zhao J F,et al.A Size-dependent Kirchhoff Micro-plate Model Based on Strain Gradient Elasticity Theory ［J］.European Journal of Mechanics A/Solids,2011,30（4）:517-524.

［14］ Mousavi T,Bornassi S,Haddadpour H,et al.The Effect of Small Scale on the Pull-in Instability of Nano-switches Using DQM ［J］.InternationalJournalofSolids and Structures,2013,50（2）:1193-1202.

［15］ Wang K F,Wang B L.Influence of Surface Energy on the Non-linear Pull-in InstabilityofNano-switches ［J］.International Journal of Non-Linear Mechanics,2014,59（1）:69-75.

［16］ Eringen A C.Nonlocal Continuum Field Theories ［M］.New York:Springer-Verlag,2002.

［17］ Lamoreax,S K.The Casimir force:Background,ExperimEnts,and Applications ［J］.Reports on Progress in Physics,2005,68（1）:201-236.

［18］ Israelachcili,Jacob N.Intermolecular and Surface Forces［M］.3rd ed,Amsterdam:Elsevier Inc,2011.