，

(軍械工程學(xué)院 導(dǎo)彈工程系， 河北 石家莊 050003)

引言

隨機(jī)共振(Stochastic Resonance, SR)自1981年由意大利學(xué)者Benzi. R提出以來，經(jīng)過30多年的發(fā)展，已成為檢測微弱信號的研究熱點(diǎn)之一。與其他去噪方法不同，隨機(jī)共振充分利用噪聲，將其部分能量轉(zhuǎn)化為信號能量，從而實(shí)現(xiàn)降噪的目的。自適應(yīng)隨機(jī)共振的出現(xiàn)是隨機(jī)共振發(fā)展的一個(gè)里程碑，它不需要信號和噪聲的先驗(yàn)知識，通過調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)，便可以使系統(tǒng)達(dá)到隨機(jī)共振，從而對微弱信號進(jìn)行檢測。

在以往的自適應(yīng)隨機(jī)共振研究中，常采用遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)[1]、粒子群算法[2]等對自適應(yīng)隨機(jī)共振的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而使系統(tǒng)達(dá)到最佳共振的狀態(tài)。但在優(yōu)化的過程中，若選擇、交叉和變異的方式不當(dāng)，遺傳算法常會(huì)出現(xiàn)迭代次數(shù)多，收斂速度慢、易陷入局部極值等現(xiàn)象。量子遺傳算法(Quantum Genentic Algorithm, QGA)是基于量子計(jì)算原理的一種遺傳算法，避免了遺傳算法的一些缺陷，實(shí)現(xiàn)了比常規(guī)遺傳算法更好的效果，目前已廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。量子遺傳算法將量子的態(tài)矢量表達(dá)引入遺傳編碼，利用量子邏輯門實(shí)現(xiàn)染色體的演化，但QGA的編碼方案和量子旋轉(zhuǎn)門的演化策略通常不具備通用性，特別是在所有的個(gè)體均向同一個(gè)目標(biāo)演化的情況下，沒有交叉操作的QGA極易陷入局部最優(yōu)[3]。

本研究針對上述情況提出了一種改進(jìn)的量子遺傳算法(Improved Quantum Genetic Algorithm, IQGA),在量子門更新的過程中適當(dāng)?shù)母淖冃D(zhuǎn)角，并加入了量子的交叉和變異操作。并將改進(jìn)的QGA應(yīng)用于隨機(jī)共振，從而實(shí)現(xiàn)對微弱信號的檢測。

1 改進(jìn)的量子遺傳算法

1.1 量子遺傳算法

量子遺傳算法是一種將量子計(jì)算原理和遺傳算法相結(jié)合的隨機(jī)搜索優(yōu)化算法。QGA與GA相比，保持了較好的種群多樣性，且具有良好的全局搜索能力。

量子遺傳算法的核心是量子比特編碼和量子門更新。在量子計(jì)算中，量子位是信息的載體，一個(gè)量子位的狀態(tài)可表示為：

|φ|=α|0|+β|1|

(1)

式中， |0|,|1|分別表示自旋向下和自旋向上；(α,β)表示相應(yīng)狀態(tài)出現(xiàn)概率幅的兩個(gè)復(fù)常數(shù)，滿足下列歸一化條件：

|α|2+|β|2=1

(2)

式中，|α|2,|β|2分別表示|0|,|1|的概率。

根據(jù)不同問題的特點(diǎn)，可以設(shè)計(jì)不同的進(jìn)化過程執(zhí)行機(jī)構(gòu)，即量子門。一般情況下，常選用量子旋轉(zhuǎn)門，其更新過程如下：

(3)

1.2 改進(jìn)的量子遺傳算法

量子遺傳算法在量子門的更新過程中常選用固定的旋轉(zhuǎn)角策略。旋轉(zhuǎn)角過小，不利于迅速找到最優(yōu)個(gè)體，影響尋優(yōu)速度，旋轉(zhuǎn)角過大則影響最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度值的精度。因此，旋轉(zhuǎn)角應(yīng)隨著進(jìn)化代數(shù)的增加而減小[4]。由于旋轉(zhuǎn)角的取值范圍通常為[0.001 π,0.05 π][5]，那么假設(shè)在進(jìn)化的第一代，使旋轉(zhuǎn)角為最大值0.05 π，隨著進(jìn)化代數(shù)的增加，旋轉(zhuǎn)角非線性減小，到最后一代時(shí)，使旋轉(zhuǎn)角達(dá)到最小值0.001 π，那么旋轉(zhuǎn)角可進(jìn)行如下改進(jìn)：

(4)

其中，θmin,θmax分別為旋轉(zhuǎn)角取值范圍的最小值與最大值，gen為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)，genmax為最大進(jìn)化代數(shù)。

與此同時(shí)，在量子門的更新過程中加入量子交叉和變異的操作。在量子遺傳算法中，進(jìn)化目標(biāo)是個(gè)體當(dāng)前最優(yōu)確定解和其對應(yīng)的適應(yīng)度值，這也最能體現(xiàn)個(gè)體的結(jié)構(gòu)信息，若將二者進(jìn)行互換，實(shí)現(xiàn)量子的交叉操作，進(jìn)化過程將受到其他個(gè)體的影響，從而獲得新的進(jìn)化信息。量子交叉操作的基本步驟是在進(jìn)化的過程中，在個(gè)體之間暫時(shí)的交換當(dāng)前最優(yōu)確定解和其對應(yīng)的適應(yīng)度值，接受交叉操作的個(gè)體的進(jìn)化方向?qū)⑹艿狡渌麄€(gè)體的影響，從而得到新的進(jìn)化信息。量子變異則是通過輕微的打亂某個(gè)個(gè)體當(dāng)前的進(jìn)化方向，以防止該進(jìn)化過程陷入局部最優(yōu)。量子變異操作的基本步驟是利用單點(diǎn)變異和多點(diǎn)變異相結(jié)合的方式，互換染色體編碼中量子比特概率幅(α,β)的值，徹底反轉(zhuǎn)個(gè)體的進(jìn)化方向，從而增強(qiáng)種群的多樣性，有效的避免算法陷入局部最優(yōu)。

1.3 標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)

采用Schafferl函數(shù)驗(yàn)證本研究提出的改進(jìn)的量子遺傳算法的有效性。

Schafferl函數(shù)的表達(dá)式如式(5)所示：

minf(x,y)=(x2+y2)0.25×[sin2(50×

(x2+y2)0.1)+0.1]-10≤x,y≤10

(5)

該函數(shù)只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極值點(diǎn)為(x,y)=(1,1)， 極小值為fmin=0，其三維函數(shù)圖像如圖1所示。

采用文獻(xiàn)[6]提出的改進(jìn)的遺傳算法、量子遺傳算法和文獻(xiàn)[7]中提出的改進(jìn)的量子遺傳算法對標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)Schafferl函數(shù)進(jìn)行求解，并與本研究方法進(jìn)行尋優(yōu)效果的對比。各算法的參數(shù)如下：四種方法的種群大小均為100，個(gè)體長度均為20，最大進(jìn)化代數(shù)均為350；IQGA的交叉概率為0.7，變異概率為0.05。分別計(jì)算10次求平均結(jié)果。對比結(jié)果如表1和圖2所示：

從表1和圖2可以看出，提出的IQGA的最優(yōu)尋優(yōu)結(jié)果比其他方法高出3個(gè)數(shù)量級以上，且收斂代數(shù)也大幅度的降低，說明其收斂速度快，效率高。

表1 算法性能比較

圖2 各算法進(jìn)化過程圖

2 基于IQGA的隨機(jī)共振

2.1 隨機(jī)共振簡介

在噪聲與周期信號的共同作用下，可引起隨機(jī)共振現(xiàn)象的發(fā)生。這種作用下的雙穩(wěn)系統(tǒng)可由朗之萬方程(Langevin Equation, LE)表示如下：

(6)

其中，均a,b為大于零的實(shí)數(shù)，驅(qū)動(dòng)信號Acos(2πf0t)的振幅為A，頻率為f0,ζ(t)是強(qiáng)度為D均值為零的高斯白噪聲，且有：

<ζ(t),ζ(0)>=2Dδ(t)

(7)

信噪比是衡量隨機(jī)共振的指標(biāo)之一，本研究利用信號的功率求系統(tǒng)的輸出信噪比：

SNRout=10lg(psignal/pnoise)

(8)

其中，psignal=|Y(k0)|2是信號的估計(jì)功率譜，Y(k)是輸出信號的傅里葉變換：

(9)

式中，N為數(shù)據(jù)長度，且：

n=0,1,…,N-1，k=0,1,…,N-1

在小噪聲強(qiáng)度下，|Y(k)|2得到的最大值在k0處。白噪聲的功率譜是常數(shù)，在信號中估計(jì)噪聲功率譜可以用下述方法：

其中，M=5，為接近信號頻率噪聲的帶寬。

2.2 IQGA與隨機(jī)共振

令經(jīng)隨機(jī)共振系統(tǒng)處理后信號的輸出信噪比為個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)，對系統(tǒng)參數(shù)a和b進(jìn)行同時(shí)優(yōu)化，根據(jù)式(6)、(8)、(10)和四階龍格-庫塔方程，可得目標(biāo)函數(shù)SNRout的表達(dá)式為：

(11)

式中，Sn代表驅(qū)動(dòng)信號和噪聲信號共同構(gòu)成的輸入信號，x代表隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信號，|X(z0)|2代表輸出信號的估計(jì)功率譜，h為四階龍格-庫塔方程的步長，取h=1/fs。

基于量子遺傳算法的自適應(yīng)隨機(jī)共振算法流程圖如圖3所示,其具體過程如下：

(2) 將各個(gè)參數(shù)輸入二階欠阻尼隨機(jī)共振系統(tǒng)，利用四階龍格庫塔解方程，并得到系統(tǒng)的輸出信噪比；

(4) 將輸出信噪比作為目標(biāo)函數(shù)，對p(t)中的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行評價(jià)，并記錄最優(yōu)個(gè)體和對應(yīng)的適應(yīng)度；

(5) 判斷優(yōu)化過程是否可以結(jié)束，滿足條件則退出，否則繼續(xù)計(jì)算；

(6) 重復(fù)步驟(2)～(4)，利用量子旋轉(zhuǎn)門對個(gè)體實(shí)施調(diào)整，得到新的種群；將Q(t+1)迭代次數(shù)t加1，返回步驟(5)。

圖3 基于量子遺傳算法的自適應(yīng)隨機(jī)共振流程圖

3 仿真信號分析

設(shè)信號的采樣頻率為5 Hz，采樣時(shí)間為500 s，采樣點(diǎn)數(shù)為2500點(diǎn)；驅(qū)動(dòng)信號Acos(2πf0t)的振幅A為0.03，頻率f0為0.05 Hz,ζ(t)的強(qiáng)度D為0.5，則信號的輸入信噪比為-23.0103 dB。利用四階龍格-庫塔進(jìn)行求解，步長h為0.02；為了保證隨機(jī)共振求解過程中的收斂性，參數(shù)a和步長h應(yīng)遵循以下關(guān)系[8]：a×h≤1。確定系統(tǒng)參數(shù)a和b的取值范圍分別為[0.01 5]和[0.01 10]。

設(shè)GA,QGA和IQGA的最大進(jìn)化代數(shù)為300，種群大小為100，GA的代溝、交叉概率及變異概率分別為0.95、0.7、0.05。運(yùn)用上述三種方法分別對隨機(jī)共振系統(tǒng)的參數(shù)a和b進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果及進(jìn)化過程分別如表2、圖4所示。

由表2可知，本研究提出的優(yōu)化算法可以得到最大信噪比。從圖4可以看出，QGA在第20代時(shí)可能陷入局部最優(yōu)；IQGA經(jīng)過交叉和變異的操作，避免了這種情況。雖然IQGA的最優(yōu)解終止代數(shù)與GA相近，但優(yōu)化結(jié)果較GA而言更為理想。將各算法優(yōu)化后參數(shù)代入隨機(jī)共振，得到的信號時(shí)域圖和頻譜圖分別如圖5、圖6所示。

表2 各算法優(yōu)化結(jié)果

圖4 各算法進(jìn)化過程圖

圖5 信號的時(shí)域圖

圖5所示的分別是系統(tǒng)含噪信號的時(shí)域圖和經(jīng)不同算法優(yōu)化后的參入代入隨機(jī)共振處理后的時(shí)域圖。在信號未經(jīng)過處理時(shí)，信號被湮沒在噪聲中，無法分辨；而經(jīng)過GA優(yōu)化參數(shù)的隨機(jī)共振處理后的信號失真較大；經(jīng)過IQGA優(yōu)化參數(shù)的隨機(jī)共振處理后的信號含噪成分最少。

圖6是圖5對應(yīng)的頻譜圖。含噪信號的頻譜圖不能分辨信號的頻率。參數(shù)經(jīng)過算法優(yōu)化后的隨機(jī)共振處理的信號頻譜圖可以清晰的將頻率0.05 Hz分辨出來。但經(jīng)GA優(yōu)化參數(shù)的隨機(jī)共振處理后輸出的信號頻譜譜值較低，經(jīng)QGA優(yōu)化參數(shù)的隨機(jī)共振處理后輸出的信號頻譜譜值雖有提高，但是2倍頻、3倍頻處譜峰較為明顯，影響工程上對故障的判斷。經(jīng)IQGA優(yōu)化參數(shù)的隨機(jī)共振處理后的輸出信號頻譜最為清晰，振幅最高，效果最好。

圖6 信號的頻譜圖

4 工程應(yīng)用

斜盤式軸向柱塞泵包含的多對摩擦副中，滑靴與斜盤之間的摩擦副最為復(fù)雜[9],故斜盤磨損是液壓泵最容易發(fā)生的故障之一，其振動(dòng)信號獲取方便且包含有豐富的故障信息。本研究采用試驗(yàn)器件名稱及型號如表3所示。

表3 試驗(yàn)器件名稱及型號

其中，驅(qū)動(dòng)電機(jī)的額定轉(zhuǎn)速為1480 r/min；液壓泵的柱塞數(shù)為7，理論排量為10 mL/r，額定轉(zhuǎn)速為1500 r/min，液壓泵主溢流閥壓力為10 MPa，采樣頻率為20 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為5000。由于泵軸的轉(zhuǎn)速為1500 r/min,單個(gè)柱塞附加沖擊的基頻為f=n/60 (n為電機(jī)的轉(zhuǎn)速)，則本試驗(yàn)的液壓泵的沖擊振動(dòng)基頻為7*f=175 Hz。替換正常部件的故障部件如圖7所示。

圖7 斜盤磨損故障件

采集信號的時(shí)域圖和頻域圖如圖8所示。

圖8 采集信號

傳統(tǒng)隨機(jī)共振因遵守絕熱近似理論，故只能檢測頻率遠(yuǎn)小于1 Hz的信號，但實(shí)際試驗(yàn)中，如本試驗(yàn)所檢測的頻率為175 Hz，遠(yuǎn)大于1，故采用變尺度隨機(jī)共振方法[10]先對采集到的信號進(jìn)行線性壓縮，再利用本研究提出的IQGA對隨機(jī)共振系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并對信號進(jìn)行處理，最后按壓縮尺度還原實(shí)測數(shù)據(jù)。設(shè)置壓縮倍數(shù)為250，系統(tǒng)參數(shù)a,b及IQGA的參數(shù)取值范圍與仿真信號相同。計(jì)算得出，經(jīng)過72次迭代，算法收斂，參數(shù)的a,b的最優(yōu)值分別為，a=1.032，b=4.936，其處理后的信號時(shí)域圖和頻譜圖如圖9所示。

經(jīng)處理后的信號在時(shí)域內(nèi)周期性明顯，在頻域內(nèi)，檢測到的頻率為172 Hz，與液壓泵的沖擊振動(dòng)基頻175 Hz相近。因此，提出的方法可以在工程上得到較好的應(yīng)用。

5 結(jié)論

提出了一種改進(jìn)的量子遺傳算法，通過調(diào)整旋轉(zhuǎn)角的大小，使整個(gè)進(jìn)化過程在初期時(shí)可以迅速尋優(yōu)，在后期時(shí)保證最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度值的精度；并在量子門更新的過程中加入了交叉和變異的操作，防止其陷入局部最優(yōu)， 保證了算法良好的全局搜索能力和種群的多樣性。將改進(jìn)的方法與隨機(jī)共振相結(jié)合，將信噪比作為個(gè)體適應(yīng)度目標(biāo)函數(shù)，對隨機(jī)共振的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而實(shí)現(xiàn)了強(qiáng)噪聲背景中微弱信號的提取。工程實(shí)踐證明，改進(jìn)的方法可取得較好的效果。

圖9 經(jīng)QGA和二階欠阻尼SR處理后的信號

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