徐至晨，陳愛珍，周宗福

(安徽大學 數(shù)學科學學院，安徽 合肥230601)

故系統(tǒng)(1)是α－指數(shù)穩(wěn)定的.定理2 證畢.

0 引 言

在過去的幾十年里，已經(jīng)注意到非自治神經(jīng)網(wǎng)絡已經(jīng)在越來越多的領域得到應用，如影像信號傳輸、圖像識別等.關于非自治神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的研究成果也層出不窮(見文獻［1 ～4］).文獻［4］討論了一類混合時滯非自治神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性，利用Lyapunov－Krasovskii 泛函和黎卡提方程等分析方法，給出了這類系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件.在文獻［4］所研究的系統(tǒng)中，引入了新的控制函數(shù)，研究了更為一般的含混合時滯的非自治神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)，獲得這一新系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性的若干結論.

本文討論如下非自治神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng):

其中x(t)∈Rn，A(t)∈Rn×n，W0(t)，W1(t)，W2(t)∈Rn×n，這里B(t)∈Rn×m為控制輸入矩陣，f，g，c，F(xiàn):Rn→Rn，且

假設:(D1)0 ≤h(t)≤h0，˙h(t)≤u(u ＜1)，0 ≤k(t)≤k0，?t ≥0;(D2)0 ≤h(t)≤h0，0 ≤k(t)≤k0，?t ≥0

在系統(tǒng)(1)中，初始函數(shù)φ(t)∈C(［－d，0］，Rn)，其中，d=max{h0，hk}.

1 有關定義及引理

假定:

(H1)矩陣函數(shù)A(t)，W0(t)，W1(t)，W2(t)，B(t)在［0，+∞)上是連續(xù)的;

(H2)存在非負常數(shù)ai，bi，ci，di(i =1，2，3，…，n)，使得:

(H3)令Y(t)=A(t)+AT(t)+λB(t)BT(t)，，使得，其中，λmin(Y(t))表示Y(t)的最小特征值.

定義1 設α ＞0，稱系統(tǒng)(1)是α－指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在一個狀態(tài)反饋控制函數(shù)u(t)使得系統(tǒng)(1)的 解 x(t，φ)滿 足 ‖x(t，φ)‖ ≤β‖φ‖e－αt，(t ≥0)，其中β ＞0 為常數(shù).

引理1 (Cauchy 矩陣不等式)對于x，y ∈Rn及正定陣N ∈Rn×n，有

引理2 (Jesen－based interal 不等式)對于任一給定的正定陣M，v ∈R，且v ＞0，向量函數(shù)w:［0，v］→Rn，有下列不等式成立:

2 主要結果

引入下列符號:

對于α ＞0，P(t)為［0，+∞)上的半正定矩陣，令:

定理1 假設(H1)～(H3)，(D1)成立且存在α ＞0 及半正定陣P(t)，滿足黎卡提方程

且設:u(t)=K1(t)x(t)+K2(t)x(t－h(huán)(t))，其中連續(xù)，則系統(tǒng)(1)是α－指數(shù)穩(wěn)定的.

證明: 作Lyapunov 泛函

其中，

易知:

由引理1 和引理2 可以得到:

同樣地，對V2(t，xt)，V3(t，xt)關于t 求導得到:

由(5)～(7)得到:

由假設條件，得:

從而，V(t，xt)≤V(0，x0)e－2αt，?t ≥0，又由于:

結合(3)即得:‖x(t，φ)‖≤β‖φ‖e－αt，?t≥0，其中，

所以，系統(tǒng)(1)是α－指數(shù)穩(wěn)定的.定理1 證畢.

設P(t)為有界半正定矩陣，λ ＞0，ε ＞0 引入記號:

定理2 在(H1)～(H3)以及(D2)成立的條件下，若存在一個半正定的有界矩陣P(t)，滿足黎卡提方程:

且設

證明: 構造V 函數(shù)如下:

則

由泛函微分方程的Razumihkin 定理的假設條件，并利用引理1 和引理2 可得:

當V(t+s，x(t+s))＜qV(t，x(t))，q ＞1，?s∈［－d，0］，q=1+ε，t ＞0 時，

即有

由Razumihkin 定理可知系統(tǒng)(1)的零解是一致漸近穩(wěn)定的.

再由(8)和(10)可知:

故

綜合前面可得:

故系統(tǒng)(1)是α－指數(shù)穩(wěn)定的.定理2 證畢.

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