楊 洋，肖凱旋，周 蘇，2*

(1.同濟大學 汽車學院，上海201804;2.同濟大學中德學院，上海201804)

0 引 言

電池模型反應了電池工作特性與其影響因素之間的關系，需考慮電流、電壓、內阻、溫度、工作循環(huán)次數(shù)和SOC 等因素，在電池管理系統(tǒng)仿真和開發(fā)中十分關鍵.

研究和建立準確的電池模型對電池研究具有重要意義.在電池管理系統(tǒng)的設計過程中，準確的電池模型是系統(tǒng)建模仿真、電池需求分析、充放電控制策略設計、SOC 估計算法研究以及電動汽車仿真試驗等的重要依托和必要前提.另外，電池模型可以減少電池管理系統(tǒng)的開發(fā)時間，使整個開發(fā)過程更加安全且成本更低廉.

當今已經(jīng)有很多電池模型，不同模型有各自的特點，在適用范圍、仿真精度、使用條件以及模型辨識方法等方面都有很大的不同，不同種類和原理的電池模型帶來了在具體應用中，電池模型應該如何選取的問題，有必要從模型原理上進行詳細分析.

本文將重點介紹三類鋰電池模型的建立過程和模型辨識方法.選用的三類模型分別為Thevenin電池模型、Gassing 電池模型以及AVL 電池模型.

1 Thevinin 電池模型

Thevenin 電池模型是一種常用的一階電池模型，是在最簡單的Rint 模型基礎上，加一個RC 阻容環(huán)節(jié)模擬電池極化效應，是一種較為典型的電池等效電路模型.

圖1 Thevenin 模型結構

本文所使用的Thevenin 電池模型結構如圖1所示，模型中用理想電壓源Uocv 來表示電池的開路電壓(open circuit voltage，OCV)，磷酸鐵鋰電池OCV 與SOC 存在著一一對應的關系;用電阻R0表示電池的歐姆內阻，描述電池突變的特性;用Cp 和Rp 組成的阻容環(huán)節(jié)來模擬電池電壓漸變的極化效應;電壓U 表示電池的工作電壓，I 和Ip 分別表示電池的總電流和電池極化內阻Rp 上的電流.

通過電路相關原理，可以得到Thevenin 電池模型的數(shù)學模型如下式(1)所示:

式中，Uocv為開路電壓;R0為歐姆內阻;Rp為極化內阻;Cp為極化電容;U 為工作電壓;I 為負載電流;Ip為通過極化內阻Rp上的電流.

其中Uocv，R0，Rp，Cp都是根據(jù)SOC 查表得到的，Thevenin 模型的Simulink 的結構圖如圖2 所示.

圖2 Thevenin 模型Simulink 結構圖

圖3 模型結構示意圖

2 Gassing 模型

Gassing 模型是以鋰電池工作的熱力學特性和電化學機理等為建?；A，由相應的物理特性所建立的多子模塊模型.其子模塊可分為SOC，溫度，開路電壓，內阻以及工作電壓.在其眾多子模塊中，荷電狀態(tài)SOC、溫度T、內阻Ri、開路電壓U0和工作電壓Ui是模型的狀態(tài)變量，整個模型的結構框圖如圖3 所示［1］.整個模型的各個子模塊都是在Matlab/Simulink 中實現(xiàn)的.

從這里可以看出整個模型能夠得到的輸入和輸出變量為:

2.1 SOC 子模塊

荷電狀態(tài)(SOC，State of Charge)是電池管理系統(tǒng)傳送給整車管理系統(tǒng)的重要信息之一，整車管理系統(tǒng)根據(jù)SOC 的值來決定從電池獲取以及反饋多少能量，同時，SOC 直接影響到電池工作電壓，開路電壓，內阻等物理量，對電池安全性和壽命有著密切的關系.

圖4 析氣系數(shù)示意圖

圖5 Gassing 模型SOC 子模塊

當電極電位超過某特定值從而導致電解液的負極發(fā)生析氫，正極發(fā)生析氧的化學變化，我們稱之為析氣現(xiàn)象.析氣電壓則定義為上句中所表述的特定電壓.發(fā)生析氣現(xiàn)象時，電流損失增加，利用率降低，同時由于析氣現(xiàn)象的發(fā)生溫度變化明顯，出現(xiàn)溫度升高的現(xiàn)象，溫度作為鋰電池系統(tǒng)的一個狀態(tài)變量，它的變化也就影響到這個系統(tǒng)的各個變量.再者，由于析氣現(xiàn)象的發(fā)生，使電池性能有所下降，這也是研究析氣現(xiàn)象對鋰電池影響的最終目的.

鉛酸電池的析氣現(xiàn)象表現(xiàn)的很明顯，鋰電池在放電和充電的非臨界情況時(SOC ＜85%)并沒有發(fā)生析氣現(xiàn)象，因此在一般的鋰電池模型中，人們也很少考慮電流的加權系數(shù)，所以析氣現(xiàn)象對于鋰電池臨界狀態(tài)研究有著重要意義.Gassing 模型在SOC 子模塊中考慮了析氣現(xiàn)象對SOC 值的影響.為了更好地表述析氣現(xiàn)象所帶來的影響，η 被引入且定義為析氣系數(shù).此析氣系數(shù)用來描述充電電流對充電狀態(tài)變化的影響因子.在下圖中(圖4)體現(xiàn)了η，SOC 和T 三者關系的示意圖［1］.這里將析氣系數(shù)定義為SOC 和溫度的函數(shù):

結合圖中的關系以及安時法，得到以下SOC動態(tài)方程:

在上式中，正電流為充電時所用的電流，反之，放電電流為負電流.

Simulink 仿真模型結構如下圖5 所示.

圖6 溫度(熱力學)子模塊

2.2 溫度(熱力學)子模塊

從熱力學的角度上，溫度對很多物理力量都有非常重要的影響，這其中包括電池的充電狀態(tài)SOC，內阻Ri以及開路電壓U0.然而在大多數(shù)的情況下，溫度在模型中通常不會被做為一個動態(tài)變量來考慮，而只是一個修正系數(shù).以下是基于熱力學第一定律的鋰電池溫度方程:

其中，α 為散熱系數(shù)，S 為電池散熱表面積，δs 為熵變系數(shù)，Cbatt 為電池的比熱容，而其他參數(shù)同上.

當鋰電池進入臨界狀態(tài)時，電池內部的析氣現(xiàn)象開始越發(fā)嚴重，產(chǎn)生的熱量進而導致電池內部溫度升高.在上式中考慮了這一因素并且在Gassing 模型中溫度是一個動態(tài)變量，從而可以得出溫度對其他變量的影響.

圖6 為Gassing 模型溫度子模塊的Simulink 仿真結構圖.

圖7 開路電壓子模塊

圖8 內阻子模塊

圖9 輸出工作電壓子模塊

2.3 開路電壓子模塊

開路電壓(Open Circuit Voltage，OCV)是指在電池外電路沒有電流流過時電極之間的電位差.其在數(shù)值上接近電池的電動勢，并且與鋰電池荷電狀態(tài)值有著穩(wěn)定的對應關系.下式表述了在特定溫度下的開路電壓穩(wěn)態(tài)值U'0，std:

開路電壓的變化是一個緩慢變化的動態(tài)過程，需要一段時間來達到穩(wěn)定值.Gassing 模型中用一階慣性環(huán)節(jié)來近似地模擬這一動態(tài)過程，其數(shù)學表達式為:

在上式中，開路電壓的時間常數(shù)表示為τ1 而標溫開路電壓由U0，std表示

吉布斯自由能的表達式為:

并且在dp=0 時，即定壓的條件下有此單位摩爾反應量:

再通過吉布斯自由能的變化量與電動勢的關系:

可得:

所以，從上述的關系式中可以得到結論:溫度與電動勢隨溫度的變化率成比例關系.同時，電動勢與開路電壓在數(shù)值上是一樣的，從而進一步得到結論:溫度與開路電壓隨溫度的變化率成比例關系.開路電壓的表達式則可以總結為:

其中，KT=Δs/nF.

圖7 為開路電壓子模塊的Simulink 結構示意圖.

圖10 Simulink 中Gassing 模型的仿真結構圖

圖11 AVL 電池模型

2.4 內阻子模塊

內阻指的是當電流流過時電池內部所受到的阻力，并分為兩大部分，即歐姆內阻與極化內阻.其中由活化極化以及濃差極化現(xiàn)象所組成的極化內阻很難解析表達.從極化現(xiàn)象的角度出發(fā)，作為一個典型的濃差電池，鋰電池中的鋰離子在電池充放電時，在正負電極之間脫出和嵌入.鋰離子的濃度差是與電池的SOC 值相關的，被電荷狀態(tài)所影響到的濃度差會導致電池內部的極化內阻出現(xiàn)不同的反應.在Gassing 模型中，定值溫度下，可得以下表達式:

其中Ri，std′是內阻的穩(wěn)態(tài)值，f3(SOC)為SOC函數(shù).

這里也將內阻的變化視為緩慢變化的動態(tài)過程，與開路電壓子模塊類似，用一階慣性環(huán)節(jié)來反映這一動態(tài)過程:

其中，τ2為內阻時間常數(shù)Ri，std為標準溫度下的內阻值.

圖12 Simulink 中AVL 模型結構圖

除極化內阻以外，溫度同樣影響著歐姆內阻，由相關文獻可知，其解析表達的公式中，溫度因子的影響作用比較復雜，電導率的表達式為:

其中，B 為常數(shù)，K 為平衡常數(shù)，k 為波爾茲曼常數(shù).但考慮到其在工程中并不實用，因此關于溫度對內阻的影響，我們引入了溫度補償系數(shù)ηT，可以得到內阻表達式為:

在simulink 中建立仿真模型，結構如圖8 所示.

2.5 工作電壓輸出模塊

根據(jù)歐姆定律，利用內阻子模塊計算得到的Ri、開路電壓子模塊計算得到的U0以及系統(tǒng)輸入量I:

Simulink 仿真模型結構如圖9 所示.

最后，連接各個上述子模塊，并把在產(chǎn)品說明書中所獲取的參數(shù)輸入模型中，可得到整體的系統(tǒng)鋰電池Gassing 模型來進行仿真研究.其Simulink仿真模型結構如圖10 所示.

3 AVL Model－DSB

AVL 公司的電池模型為一個三階的模型，如圖11 所示，在一階模型的基礎上增加了兩個RC環(huán)節(jié)，模型中用理想電壓源Uocv 來表示電池的開路電壓;用電阻R0表示電池的歐姆內阻;R1，R2，R3為極化內阻;C1，C2，C3為極化電容;電壓U 表示電池的工作電壓，I 表示電池的總電流.

通過電路相關原理，可以得到AVL 電池的數(shù)學模型如式:

其中Uocv，R0，C1，C2，C3，R1，R2，R3都與SOC有一定關系，根據(jù)SOC 查表獲得，AVL 模型的Simulink 結構如圖12 所示.

4 結 論

本文主要從建模原理角度詳細介紹了Thevenin 模型、Gassing 模型和AVL 電池模型的建立過程，其中Thevenin 模型和AVL 電池模型原理上是等效電路模型，而Gassing 模型則是一個半機理半經(jīng)驗模型.

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