趙 凱 孫 帥 朱貫彪 李福樂 郭丙君

（華東理工大學信息科學與工程學院，中國 上海200237）

0 前言

二級倒立擺系統(tǒng)是一個典型的多變量、非線性、強耦合和快速運動的高階不穩(wěn)定系統(tǒng)，是檢驗各種新的控制理論和方法有效性的典型理想模型。 在其控制過程中，能有效地反映諸如鎮(zhèn)定性、魯棒性、隨動性以及跟蹤等許多關鍵問題。 針對二級倒立擺系統(tǒng)，應用Lie 導數(shù)概念對于廣義通用模型控制器[1]進行設計，它可以將被控對象的模型嵌入到控制器中，使得閉環(huán)系統(tǒng)是一個線性系統(tǒng)，難點是由于被控對象是高階系統(tǒng)，應用Lie 導數(shù)設計時，系統(tǒng)的階有可能大于1，這樣系統(tǒng)的調(diào)節(jié)參數(shù)比較多，這對于調(diào)節(jié)器參數(shù)的選擇帶來困難，需要在實踐中根據(jù)具體的被控對象進行探索， 找到一組比較好的控制調(diào)節(jié)器參數(shù)，使得系統(tǒng)獲得良好的動態(tài)響應，同時也能兼顧穩(wěn)定性和魯棒性。

1 廣義通用模型控制原理[3]

通用模型控制(CMC)則是將過程模型直接嵌入到控制器中，在沒有控制約束以及模型精確的情況下，可以使得閉環(huán)系統(tǒng)是一個標準的二階系統(tǒng)，控制器參數(shù)具有明顯的物理意義，而且參數(shù)整定方便[4]。

所有這些非線性通用模型控制策略均有一個缺點，它只適用于過程相對階為1 的情況，應用微分幾何非線性控制方法中Lie 導數(shù)的概念，把通用模型控制方法推廣至相對階大于1 的情形，提出了一種廣義通用模型控制的方法， 在沒有控制約束以及模型精確的情況下，可以使得閉環(huán)系統(tǒng)是一個高階線性系統(tǒng)，該控制器參數(shù)具有明顯的物理意義，可應用主導極點法來整定控制器參數(shù)，而且參數(shù)整定方便。

考慮如下多輸入多輸出非線性系統(tǒng)：

我們稱在x0的相對階為， 再考慮非線性多輸入多輸出系統(tǒng)式(2)、(3)，假設其相對階，則考慮標稱軌跡

兩邊分別對t 求導，則有

圖1 廣義通用模型控制策略

應該指出，廣義通用模型控制器將被控過程輸入與輸出之間的相對階推廣到大于1 的情形，被控過程仍要求具有可逆的動態(tài)(如最小相位系統(tǒng))以及的逆存在。

2 倒立擺廣義通用模型控制器的設計

2.1 系統(tǒng)建模[2]

二級倒立擺的運動分析示意圖如圖2

圖2 二級倒立擺運動分析示意圖

倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下：小車系統(tǒng)的等效質(zhì)量M=1.32Kg，擺桿1 質(zhì)量m1=0.04Kg， 擺桿1 轉動中心到桿質(zhì)心距離l1=0.09m， 擺桿2 質(zhì)量m2=0.132Kg，擺桿2 轉動中心到桿質(zhì)心距離l2=0.27m，質(zhì)量塊質(zhì)量m3=0.208Kg，F(xiàn)：作用在系統(tǒng)上的外力，θ1：擺桿1 與垂直向上方向的夾角，θ2：擺桿2 與垂直向上方向的夾角。

利用拉格朗日方程得出二級倒立擺數(shù)學模型，， 并經(jīng)線性化處理可得：

其中

3 仿真實驗

倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下：小車系統(tǒng)的等效質(zhì)量M=1.32Kg，擺桿1 質(zhì)量m1=0.04Kg， 擺桿1 轉動中心到桿質(zhì)心距離l1=0.09m， 擺桿2 質(zhì)量m2=0.132Kg，擺桿2 轉動中心到桿質(zhì)心距離l2=0.27m，質(zhì)量塊質(zhì)量m3=0.208Kg。 系統(tǒng)仿真模型圖如圖3 所示：

圖3 系統(tǒng)仿真模型圖

仿真結果如圖4、圖5 所示：

圖4 擺桿角度的仿真結果

圖5 小車位置的仿真結果

觀察圖4、圖5 可發(fā)現(xiàn)，采用通用模型能夠更好地抗干擾，具有更好的跟隨性。

4 結束語

本文研究了直線二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型，使用Simulink 對系統(tǒng)進行了仿真，經(jīng)仿真實驗表明，應用Lie 導數(shù)概念結合廣義通用模型控制器原理對于二級倒立擺系統(tǒng)的控制器進行設計，可以將被控對象的模型嵌入到控制器中，實驗結果表明了設計的有效性，推廣了廣義通用模型控制器的應用范圍，具有一定的參考價值。

［1］李志剛. 廣義通用模型控制器研究[D]. 華東理工大學,2006.

［2］王海英,袁麗英,吳勃. 控制系統(tǒng)的MATLAB 仿真與設計[M]. 北京：高等教育與出版社，2009：332-335.

［3］姚黎婷,楊浩,孫雅麗,等. 直流調(diào)速系統(tǒng)廣義通用模型控制器的設計及應用[J]. 自動化與儀器儀表, 2014(8)：90-92.

［4］郭丙君,俞金壽,基于神經(jīng)網(wǎng)絡的通用模型自適應控制[J]. 工業(yè)儀表與自動化裝置,2006,2,10-13,32.