馮佳 祝錦波

【摘要】統(tǒng)計(jì)套利是基于統(tǒng)計(jì)方法，構(gòu)造金融資產(chǎn)投資組合，挖掘套利機(jī)會(huì)以求獲得投資組合的市場(chǎng)回報(bào)。把協(xié)整統(tǒng)計(jì)套利方法引入分級(jí)基金和股指期貨的期現(xiàn)套利交易中，分析分級(jí)基金組合（SFS）和滬深300股指期貨的高頻數(shù)據(jù)之間的協(xié)整關(guān)系，利用價(jià)差模型配對(duì)套利的損益發(fā)掘分級(jí)基金和股指期貨的套利機(jī)會(huì)，結(jié)果表明分級(jí)基金和股指期貨之間存在統(tǒng)計(jì)套利空間。

【關(guān)鍵詞】統(tǒng)計(jì)套利 協(xié)整模型 高頻數(shù)據(jù)

一、引言

統(tǒng)計(jì)套利是利用相關(guān)性非常高的證券合約，當(dāng)價(jià)格出現(xiàn)不均衡時(shí)的機(jī)會(huì)，通過對(duì)沖將相關(guān)的或者同品種不同時(shí)期的合約的波動(dòng)對(duì)沖掉，只關(guān)注合約的價(jià)差波動(dòng)，利用匹配交易機(jī)制獲得利潤(rùn)。本文利用Wind數(shù)據(jù)庫(kù)滬深300股指期貨和指數(shù)型分級(jí)基金進(jìn)取份額組合（SFS）的1分鐘高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利實(shí)證分析，通過高頻數(shù)據(jù)的分析尋找套利交易的機(jī)會(huì)，有利于期現(xiàn)價(jià)格回歸。

關(guān)于統(tǒng)計(jì)套利的研究主要有Andrew Pole（2011）在其著作中追溯了統(tǒng)計(jì)套利策略的起源—配對(duì)交易的基本原理并闡述了其主要特性[1]。Brian Jacobsen（2008）基于日內(nèi)高頻交易數(shù)據(jù)的協(xié)整關(guān)系將誤差修正模型應(yīng)用到統(tǒng)計(jì)策略，交易方法簡(jiǎn)單并取得了不錯(cuò)的收益，有利于投資者實(shí)施套利[2]。仇中群、程希駿（2008）實(shí)證研究后發(fā)現(xiàn)基于協(xié)整的統(tǒng)計(jì)套利效果顯著優(yōu)于其他的跟蹤誤差方差方法，套利機(jī)會(huì)增多且風(fēng)險(xiǎn)可控[3]。陳怡（2012）首次嘗試嘗試將統(tǒng)計(jì)套利的方法引入分級(jí)基金交易采用成對(duì)交易策略，實(shí)證表明該策略都可以獲得超額收益以及高于大盤的夏普比率[4]。雷井生，林莎（2013）改進(jìn)統(tǒng)計(jì)套利策略，并驗(yàn)證該策略運(yùn)用各頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行套利的交易次數(shù)都顯著減少，達(dá)到了獲取最大單次收益及降低交易頻率的目的[5]。

二、數(shù)據(jù)選取和無套利區(qū)間

（一）交易對(duì)象選擇

為了更好的擬合滬深300指數(shù)，我們從基金的穩(wěn)定性和流通性等方面進(jìn)行考慮，共選出和滬深300相關(guān)性最好的瑞福進(jìn)取（150001）、雙禧B（150013）和信誠(chéng)300B（150052）共3只成立2年以上，市值在1億以上B份額的指數(shù)型分級(jí)基金。

利用分級(jí)基金組合和股指期貨進(jìn)行套利需要盡可能地?cái)M合滬深300指數(shù)，衡量指數(shù)擬合的好壞一般采用跟蹤誤差來表示，為了使跟蹤誤差最小化，減少SFS套利風(fēng)險(xiǎn)，通過使用最優(yōu)化模型求出現(xiàn)貨在現(xiàn)貨組合中所占的權(quán)重，建立跟蹤誤差最小的現(xiàn)貨組合。跟蹤誤差為：

其中T為樣本周期，It代表股指期貨數(shù)在t時(shí)期的收益率，n為分級(jí)基金數(shù)量，αi為第i只分級(jí)基金在組合中的權(quán)重，Ii，t代表現(xiàn)貨組合中的第i只分級(jí)基金在t時(shí)期的收益率，約束條件為各成分基金的權(quán)重之和等于1。利用Matlab數(shù)學(xué)軟件計(jì)算出各個(gè)分級(jí)基金在組合中的權(quán)重，得到3只分級(jí)基金在組合中的權(quán)重各位0.3333時(shí)，跟蹤誤差最小為0.0007676。

目前我國(guó)上市的股指期貨合約共有4個(gè)，當(dāng)月合約、下月合約、當(dāng)季合約以及隔季合約。由于現(xiàn)在當(dāng)季合約和隔季合約的交易清淡，考慮到成交量和市場(chǎng)流動(dòng)性，本文選取了股指期貨當(dāng)月合約與SFS進(jìn)行匹配套利。

（二）無套利區(qū)間的確定

股指期貨最經(jīng)典的定價(jià)方法是持有成本定價(jià)法，它是其股指期貨其他定價(jià)方法的基礎(chǔ)。假設(shè)以F（t）的價(jià)格賣出股指期貨，同時(shí)以S（t）的價(jià)格買入現(xiàn)貨，r代表無風(fēng)險(xiǎn)利率；D（t，T）代表T-t的現(xiàn)金股利。在無市場(chǎng)摩擦假設(shè)條件下，股指期貨的基本定價(jià)模型為：

F（t）=S（t）er（T-t）-D（t，T）

在實(shí)際的交易市場(chǎng)中，由于交易成本和融資成本等的存在，為了得到股指期貨的無套利定價(jià)區(qū)間，需要把它們等成本計(jì)算進(jìn)去。

套利策略不能獲利的區(qū)間的上、下限為：總的凈收益=現(xiàn)貨頭寸的凈收益+股指期貨頭寸的凈收益≤0。

整理可得到股指期貨期現(xiàn)套利的無套利區(qū)間為：

三、協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證股指期貨和SFS的期現(xiàn)套利有效性，先對(duì)股指期貨9月當(dāng)月合約IF（1409）與SFS價(jià)格的原始序列、對(duì)數(shù)序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，如果序列通過平穩(wěn)性檢驗(yàn)則進(jìn)行協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)，在協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)通過的基礎(chǔ)上建立誤差修正模型。

（一）平穩(wěn)性檢驗(yàn)

對(duì)IF（1409）與SFS的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證IF（1409）、SFS、Ln（IF（1409））和Ln（SFS）均存在單位根，無法通過平穩(wěn)性檢驗(yàn)，序列不平穩(wěn)。D（IF（1409））、D（SFS）、D（Ln（IF（1409））和D（Ln（SFS））不存在單位根，一階差分序列是平穩(wěn)性序列，屬于一階單整序列。

（二）Engle-Granger檢驗(yàn)

通過兩變量的Engle-Granger檢驗(yàn)法分兩步對(duì)價(jià)格序列和價(jià)格對(duì)序列進(jìn)行協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)。

對(duì)IF（1409）與SFS價(jià)格序列及對(duì)數(shù)序列進(jìn)行OLS估計(jì)回歸分析，回歸方程如下：

IF（1409）=2301.935SFS+536.7925

T值 158.9757 45.43869

R2=0.937496

Ln（IF（1409））=0.775423Ln（SFS）+7.947228

T值 160.2419 8012.629

R2=0.938419

我們可以看出，IF（1409）與SFS價(jià)格序列及對(duì)數(shù)序列回歸方程均通過t檢驗(yàn)，具有較好的擬合優(yōu)度?？梢哉J(rèn)為IF（1409）與SFS及對(duì)數(shù)序列是協(xié)整關(guān)系。

（三）誤差修正模型

通過實(shí)證我們發(fā)現(xiàn)IF（1409）與SFS價(jià)格序列、IF（1409）與SFS價(jià)格對(duì)數(shù)序列存在著協(xié)整關(guān)系。由于對(duì)數(shù)序列在計(jì)算收益率等方面的優(yōu)越性，所以本文在后續(xù)的研究中采用對(duì)數(shù)序列進(jìn)行研究。為了反映Ln（SFS）與Ln（IF（1409））之間的短期波動(dòng)情況，我們建立誤差修正模型：

ΔLn（IF1409t）=β+β1ΔLn（SFSt）+γecmt+εt

其中ecmt是誤差修正項(xiàng)：

ecmt=Ln（IF1409t-1）-β1Ln（SFSt-1）-β

可以得到Ln（SFS）與Ln（IF（1409））殘差序列，也就是誤差修正項(xiàng)ecmt。

ecmt=Ln（IF1409t-1）-0.775423Ln（SFSt-1）-7.947228

以ecmt為誤差修正項(xiàng)，利用最小二乘估計(jì)法對(duì)誤差修正模型進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果為：

ΔLn（IF1409t）=-0.000016+0.283725ΔLn（SFSt）-0.006617ecmt +εt

從Eviews分析結(jié)果中我們得到DW檢驗(yàn)2.309675，F(xiàn)檢驗(yàn)為198.44，都顯著通過檢驗(yàn)，可以認(rèn)為該方差通過檢驗(yàn)，誤差修正項(xiàng)ecmt-1前面的系數(shù)為-0.006617，且通過t統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)。Ln（IF（1409））的變化會(huì)受到Ln（SFS）與他們的前一期的偏離影響，當(dāng)二個(gè)合約之間出現(xiàn)偏離時(shí)，Ln（SFS）與他們的前一期的修正關(guān)系促使他們恢復(fù)協(xié)整關(guān)系。

四、套利檢驗(yàn)

由于套利交易是基于套期保值和投機(jī)之間的一種交易策略，其核心在于將匹配資產(chǎn)的波動(dòng)性完全規(guī)避，通過預(yù)測(cè)二者價(jià)差的波動(dòng)性來交易，我們定義價(jià)差為SP=Ln（IF（1409））-0.775423Ln（SFS）-7.947228，在套利檢驗(yàn)過程中SFS合約與IF（1409）合約采用1：1的資產(chǎn)配置比例。

（一）確定套利成本

由于通過股指期貨和基金套利一般都是大戶或者是機(jī)構(gòu)投資者，只需要付出更低的成本，假設(shè)買賣現(xiàn)貨分級(jí)基金只需要0.03%的手續(xù)費(fèi)，買賣股指期貨只需要0.006%的手續(xù)費(fèi)。為了保證套利交易的安全我們假定現(xiàn)貨保證金和期貨保證金的比例都為50%，對(duì)股指期貨及分級(jí)基金的買入和賣空交易的市場(chǎng)沖擊成本假定為0.1%，SFS收益率和IF（1409）收益率之間的誤差為0.0007676。

根據(jù)以上所討論得出的各項(xiàng)參數(shù)的取值，得出：

買入現(xiàn)貨組合的交易成本率Csb=0.03%+0.1%+0.08%=0.21%；

賣出現(xiàn)貨組合的交易成本率Css=0.21%；

買入股指期貨合約的交易成本率Cfb=0.006%+0.1%=0.106%；

賣出股指期貨合約的交易成本率SFS=0.106%。

（二）交易閥值設(shè)計(jì)

實(shí)際交易過程中，閥值的選擇是統(tǒng)計(jì)套利盈利的關(guān)鍵，因此建立套利策略需要根據(jù)價(jià)差序列的分布情況，確定無套利區(qū)間、套利區(qū)間和止損區(qū)間。由樣本價(jià)差序列均值μ=2.52E-15，標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.004093，設(shè)閾值θ3>θ2>θ1>0，通過對(duì)歷史數(shù)據(jù)優(yōu)化得到θ1=0.68，θ2=1.25，θ3=2.3。則有無套利區(qū)間為[μ-0.68σ，μ+0.68σ]，套利期間為[μ-2.3σ，μ-1.25σ]和[μ+1.25σ，μ+2.3σ]，止損區(qū)間為[-∞，μ-2.3σ]和[μ+2.3σ，+∞]。

我們交易策略如下：

（1）sp>μ+1.25σ時(shí)，賣出1張SFS合約的同時(shí)買入1張IF（1409）合約，當(dāng)sp<μ-1.25σ時(shí)，買入1張SFS合約的同時(shí)賣出1張IF（1409）合約；

（2）當(dāng)賣出1張SFS合約的同時(shí)買入1張IF（1409）合約以后，價(jià)差回復(fù)到均值μ以下平倉(cāng)，當(dāng)買入1張SFS合約的同時(shí)賣出1張IF（1409）合約以后，價(jià)差回復(fù)到均值μ以上平倉(cāng)；

（3）買入后，如果價(jià)差沒有回到下一個(gè)交易點(diǎn)，當(dāng)sp>μ+1.25σ交易后，價(jià)差并沒有回歸而是繼續(xù)擴(kuò)大，當(dāng)sp>μ+2.3σ時(shí)，平倉(cāng)止損；當(dāng)sp<μ-1.25σ交易后，價(jià)差并沒有回歸而是繼續(xù)擴(kuò)大，當(dāng)sp<μ-2.3σ時(shí)，平倉(cāng)止損。

（三）交易結(jié)果

我們?cè)谔桌^程中采用的是價(jià)格指數(shù)序列進(jìn)行套利分析，假設(shè)在套利過程中只交易1張合約，并且用對(duì)數(shù)收益率套利的實(shí)際收益。在整個(gè)交易時(shí)期內(nèi)，自2014年9月1日～9月10日共計(jì)一共有7交易日，共有1687分鐘，正向套利次數(shù)為230次，成功230次，正向套利累計(jì)對(duì)數(shù)收益率為0.86%，反向套利次數(shù)為241次，失敗20次，期間對(duì)數(shù)損失率為0.26%，成功221次，期間對(duì)數(shù)收益率為0.77%，反向套利累計(jì)對(duì)數(shù)收益率為0.51%；共獲得對(duì)數(shù)收益率為1.37%。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：馮佳（1963-），女，陜西西安人，副教授，碩士生導(dǎo)師， 研究方向：金融工程；祝錦波（1985-），男，廣東恩平人，碩士研究生，研究方向：金融工程。