單 鵬

（江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)）

本人在講周練卷的一道向量題：點(diǎn)O 在△ABC 的內(nèi)部，且滿足則△ABC 的面積與△AOC 的面積之比是__的時(shí)候?qū)W生想到了很多種解法，但是又不能把它完全解到底，所以我就利用這個(gè)題目與學(xué)生小結(jié)了向量題的常見解法：

方法一：利用三角形的重心的性質(zhì)去解

首先向同學(xué)們提問：重心有哪些性質(zhì)？

1.三角形的重心是三條高線的交點(diǎn)，它分中線所成的比為二比一；

2.連結(jié)重心與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，得到三個(gè)小三角形，那么這三個(gè)小三形的面積相等，且等于原三角形面積的三分之一；

同學(xué)們利用上面三個(gè)性質(zhì)，可以猜一下想如何解決這個(gè)問題呢？就有同學(xué)想到了構(gòu)造三角形，讓題設(shè)中的O 點(diǎn)成為新的三角形的重心，具體過程如下：

延長(zhǎng)OB 到B1使得OB1=2OB，延長(zhǎng)OC 到C1使得OC1=4OC，則三角形AB1C1的重心就是O 點(diǎn)了，設(shè)△AOC1的面積S，則△AOC 的面積為則△BOC 的面積為則△AOB 的面積為則△ABC 的面積為所以所求面積的比為

點(diǎn)評(píng)：該方法從三角形的重心的第三個(gè)性質(zhì)入手，運(yùn)用構(gòu)造法，使同學(xué)們的解題思路得以順利打開，從而順利地解決了問題。

方法二：利用三點(diǎn)共線的性質(zhì)來解題

點(diǎn)評(píng)：充分運(yùn)用三點(diǎn)共線找到過渡的點(diǎn)A1，這樣使得各邊的比例關(guān)系一目了然，從而順利地解決了該問題。

方法三：利用解析法來解

建立直角坐標(biāo)系如下圖所示，并設(shè)各點(diǎn)的坐標(biāo)：C（c，0），B（a，b），O（x，y），則將已知條件用坐標(biāo)表示，并根據(jù)縱坐標(biāo)相等，可得到此即為所求兩個(gè)三角形的高之比，而所求兩個(gè)三角形是同底的，所以所求兩個(gè)三角形的面積的比為

點(diǎn)評(píng)：由于所求兩個(gè)三角形共底，所以就以這個(gè)底所在直線為X 軸，建立坐標(biāo)系，這樣就把問題轉(zhuǎn)化成求B 點(diǎn)與O 點(diǎn)的縱坐標(biāo)之比了。

解法四：利用基底法來解題

由圖可知，B 點(diǎn)到AC 邊距離與O 點(diǎn)到AC 邊的距離的比為所求兩個(gè)三角形的面積的比為

黃智華.設(shè)置延伸拓展問題的幾種過程.數(shù)學(xué)通訊，2009（08）.