王 偉，倪計民，李玉琦，金 暉

(1.奇瑞汽車有限公司發(fā)動機工程研究院，蕪湖 241009； 2.同濟大學(xué)汽車學(xué)院，上海 201804)

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2015202

基于聲學(xué)模態(tài)的橢圓截面擴張腔聲學(xué)分析*

王 偉1，倪計民2，李玉琦1，金 暉1

(1.奇瑞汽車有限公司發(fā)動機工程研究院，蕪湖 241009； 2.同濟大學(xué)汽車學(xué)院，上海 201804)

利用馬丟函數(shù)來求解橢圓雙曲柱坐標(biāo)系下的聲波方程，獲得聲壓的解析解，進而求得橢圓柱腔的聲學(xué)模態(tài)，并利用聲源激勵法分析橢圓截面擴張腔的傳遞損失。與同截面積圓型擴張腔相比，橢圓截面擴張腔的傳遞損失在(2,1,n)偶階模態(tài)處產(chǎn)生通過頻率。將進、出口偏移至長軸(2,1,0)偶階模態(tài)的波節(jié)線處，可消除(2,1,n)偶階模態(tài)的影響；將進、出口偏移至短軸(0,2,0)偶階模態(tài)的波節(jié)線處，可消除(0,2,n)偶階模態(tài)的影響。

橢圓截面擴張腔；聲學(xué)模態(tài)；傳遞損失；通過頻率

前言

汽車消聲器一般布置在汽車下方，它不僅要滿足汽車動力性的要求，也要滿足通過性的要求，在布置空間上受到限制，因此往往采用橢圓截面。對橢圓柱腔體的研究，最早源于電磁波的傳播[1-3]。文獻[4]中用有限元來分析橢圓截面擴張腔的聲學(xué)性能。國內(nèi)也有人利用有限元來研究進、出口位置對橢圓消聲器傳遞損失的影響[5-6]。

本文中建立基于橢圓雙曲柱坐標(biāo)系的聲波方程，利用初始條件和邊界條件求解三維聲學(xué)模態(tài)與頻率，然后利用聲源激勵和模態(tài)疊加法，研究離心率和進、出口位置對傳遞損失的影響。

1 橢圓柱腔聲學(xué)模態(tài)與傳遞損失

1.1 橢圓柱腔的聲波方程和聲學(xué)模態(tài)

為求解橢圓柱腔聲波方程，引入橢圓雙曲柱坐標(biāo)系，如圖1所示。基于橢圓雙曲柱坐標(biāo)系的聲波方程[7]可描述為

(1)

式中：p為聲壓；h為半焦距；k0為波數(shù)；z為軸向變量；ξ為徑向坐標(biāo)，代表共焦橢圓族，0≤ξ≤∞；η為角坐標(biāo)，代表共焦雙曲線族，0≤η≤2π。ξ坐標(biāo)與η坐標(biāo)正交。定義橢圓的離心率e=h/a，a為橢圓長軸半徑，而經(jīng)推演得e=sech(ξ)。

利用分離變量法，聲壓變量可表示為

p(ξ,η,z,t)=Φ(ξ,η)Z(z)T(t)

(2)

式中：t為時間變量；Φ(ξ,η)是ξ和η的函數(shù)；Z(z)是軸向變量z的函數(shù)；T(t)是時間變量t的函數(shù)。

將式(2)代入式(1)，聲波方程變?yōu)?/p>

(3)

假定Φ(ξ,η)=Ξ(ξ)Η(η)，其中Ξ(ξ)是ξ的函數(shù)，H(η)是η的函數(shù)。將Φ(ξ,η)代入式(3)，通過分離時間t和z軸變量后，可以得到：

d2H/dη2+(λ-q2cos2η)H=0

(4)

d2Ξ/dξ2-(λ-q2cosh2ξ)Ξ=0

(5)

式中：λ和q是本征值。式(4)稱為馬丟(Mathieu)方程，式(5)稱為虛宗量馬丟方程。

利用馬丟方程，結(jié)合剛性壁面條件，可以得到周期方程(或稱角頻率方程)：

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：c0為聲速；L為柱腔的z軸向長度；n為對應(yīng)z軸方向的模態(tài)階數(shù)。

下面計算一具體橢圓截面柱腔的聲學(xué)模態(tài)。橢圓截面長軸半徑a=107.5mm，短軸半徑b=70mm，離心率e=0.76，z軸長度L=150mm。利用式(6)和式(7)計算出偶模態(tài)和奇模態(tài)本征值，如表1所示。受篇幅所限，表1中最高本征值僅顯示到(2,2)階。在表1的基礎(chǔ)上，利用式(8)和式(9)，計算出偶模態(tài)頻率和奇模態(tài)頻率，如表2所示。

表1 本征值

表2 模態(tài)頻率

為理解橢圓截面的聲學(xué)模態(tài)，利用聲學(xué)有限元計算出偶、奇模態(tài)云圖(振型)，分別如圖2和圖3所示。

1.2 基于聲源激勵法的傳遞損失

所謂點源激勵就是在入口設(shè)置聲源作為激勵源，經(jīng)過特定的聲學(xué)空間，在出口獲得聲壓值，利用出口聲壓和入口聲源強度來計算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。一旦獲得橢圓消聲器的外形尺寸，那么利用模態(tài)疊加法，就可以獲得橢圓腔的聲學(xué)響應(yīng)。根據(jù)諧波的特性，聲腔入口與出口的聲學(xué)變量之間的關(guān)系可以用四極子來表示：

(10)

式中：p和u分別表示聲壓和質(zhì)點速度，下標(biāo)1和2分別表示入口和出口。式(10)還可以轉(zhuǎn)化為

(11)

式中Hij表示坐標(biāo)i點的聲壓對坐標(biāo)j點體積速度的頻率響應(yīng)函數(shù)。式(10)和式(11)中四極子參數(shù)的關(guān)系為

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

橢圓截面擴張腔的傳遞損失表達(dá)式為

(17)

2 橢圓截面擴張腔消聲特性分析

2.1 通過頻率

將1.1節(jié)提到的橢圓柱腔連接半徑為20mm的進出口管后，變成橢圓截面擴張腔。利用聲源激勵法計算它的傳遞損失，結(jié)果如圖4所示。為了便于分析，圖4上標(biāo)注了聲學(xué)模態(tài)階數(shù)，其中模態(tài)標(biāo)簽中的“E”指偶模態(tài)，“O”指奇模態(tài)。E(0,1,2)階模態(tài)頻率與O(2,1,1)階模態(tài)頻率重合，頻率越高，這種模態(tài)頻率重合現(xiàn)象越多，因此本文中主要研究低價模態(tài)對消聲性能的影響。從圖4中可以看出，E(0,1,1)階、E(2,1,0)階、E(2,1,1)階和E(0,1,2)階模態(tài)頻率成為傳遞損失的通過頻率。(1,1,0)階和(1,1,1)階不管偶模態(tài)還是奇模態(tài)，都未產(chǎn)生通過頻率；(2,1,1)階和(2,1,2)階的奇模態(tài)也未產(chǎn)生通過頻率。E(0,1,1)階和E(0,1,2)階是兩個典型的軸向模態(tài)，它由腔體軸向長度決定。對照圖2和圖3，未產(chǎn)生通過頻率的模態(tài)云圖原點都是波節(jié)區(qū)，而(2,1,n)偶階模態(tài)位于波腹區(qū)。結(jié)合模態(tài)理論，當(dāng)擴張腔入口位于某階模態(tài)的波節(jié)區(qū)時，該階模態(tài)無法被激發(fā)；如果擴張腔出口位于某階模態(tài)的波節(jié)區(qū)，則該階模態(tài)的影響被極大衰減。

2.2 離心率對傳遞損失的影響

離心率是橢圓本征的一個重要參數(shù)。本節(jié)對截面積相等，離心率不同的橢圓擴張腔進行傳遞損失的研究。圓是橢圓的一種特殊形式，它的離心率是0，加入0.5離心率的方案，結(jié)合前文中已有0.76離心率的方案，共有3種離心率方案，詳見表3。

表3 離心率方案

圖5對比3種不同離心率擴張腔的傳遞損失。E(0,1,n)模態(tài)作為軸向模態(tài)，對應(yīng)的通過頻率不受離心率的影響。隨著離心率的降低，同階模態(tài)頻率升高，同階偶模態(tài)和奇模態(tài)頻率也越來越接近。對于e3方案，E(2,1,0)階模態(tài)通過頻率影響周圍頻率的傳遞損失；但對于e2方案，偶模態(tài)和奇模態(tài)頻率由于比較接近，較窄的頻率范圍受E(2,1,0)階通過頻率的影響。而對于圓形截面方案，偶模態(tài)和奇模態(tài)頻率完全一致，此時(2,1,0)階模態(tài)原點完全變?yōu)椴ü?jié)區(qū)，此模態(tài)不會產(chǎn)生通過頻率。如果用圓形截面代替橢圓截面進行擴張腔傳遞損失計算，會漏掉一些通過頻率。同等截面積條件下，圓形截面擴張腔的消聲性能最好。

2.3 進出口位置對傳遞損失的影響

根據(jù)模態(tài)理論，如果將入口或出口放置在E(2,1,0)階或E(0,2,0)階的波節(jié)線上，則可消除這些模態(tài)產(chǎn)生的通過頻率。對于E(2,1,0)階模態(tài)，位于長軸上的波節(jié)點與原點距離約為45mm；對于(0，2，0)階模態(tài)，位于短軸上的波節(jié)點與原點的距離約為36mm[8]。圖6顯示4種不同的進、出口布置方式，方案1與2.2節(jié)方案e3相同。

圖7對比了出口偏置對傳遞損失的影響。方案2的出口偏置到E(2,1,0)階模態(tài)的波節(jié)線上，不但消除E(2,1,n)低階模態(tài)通過頻率的影響，還在E(1,1,n)低階模態(tài)處產(chǎn)生共振峰值，增強消聲效果。方案3的出口偏置到E(0,2,0)階模態(tài)的波節(jié)線上，它消除了E(0,2,n)低階通過頻率的影響，同時還增強O(1,1,n)低階模態(tài)處的消聲效果。方案2對低頻通過頻率的消除作用明顯。

圖8顯示了進、出口同時偏置對傳遞損失的影響。方案4進口偏移到(2,1,0)階模態(tài)的波節(jié)線上，出口偏移到(0,2,0)階模態(tài)的波節(jié)線上。它兼顧了方案2和方案3的優(yōu)點，在3 000Hz范圍內(nèi)，消除了除E(0,1,n)軸向低階模態(tài)之外其他模態(tài)產(chǎn)生的通過頻率。而E(0,1,n)軸向低階模態(tài)產(chǎn)生的通過頻率，可通過采用內(nèi)插管的方式來消除。

3 試驗分析

利用消聲器插入損失試驗對前面的模擬結(jié)果進行分析。試驗臺架系統(tǒng)如圖9所示，噪聲測試儀器為ND2型精密聲級計。

試驗僅對2.2節(jié)的方案e1和2.3節(jié)的方案1和方案4進行對比，如圖10所示。3個消聲器在1 250Hz以前的中心頻率帶，插入損失相同。方案1中，消聲器受E(2,1,0)和E(2,1,1)階模態(tài)影響，1 600和2 000Hz中心頻率處消聲量降低。方案4中，提高1 600和2 000Hz中心頻率的消聲量，達(dá)到圓形截面消聲器的水平。另外，方案4消除了傳遞損失在2 300～3 000Hz內(nèi)的通過頻率，其插入損失在2 500Hz的消聲量得到提升。

4 結(jié)論

相比圓形截面，基于橢圓截面的擴張腔會產(chǎn)生更多的通過頻率，降低消聲性能。但是通過研究聲學(xué)模態(tài)，如果將進、出口設(shè)置在低價通過模態(tài)頻率的波節(jié)線上，則可消除該模態(tài)通過頻率的影響。

[1] Wang B K, Lam K Y, et al. Elliptical Waveguide Analysis Using Improved Polynomial Approximation[J]. IEEE Proceedings, Microwaves, Antennas and Propagation,1994,141(7):483-488.

[2] Caorsi S, Pastorino M, Rafetto M. Electromagnetic Scattering by a Multilayer Elliptic Cylinder Under Transverse-magnetic Illumination: Series Solution in Terms of Mathieu Functions[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation,1997,45(2):926-935.

[3] Hussein A M, Wurjaranta W. Analysis of Elliptic Conductors Using the Point Matching Method with Mathieu Functions[J]. IEEE Transactions of Magnetics,1997,33(5):4125-4127.

[4] Denia F D, Alberlda J, Fuenmayor F J, et al. Acoustic Behavior of Elliptical Chamber Mufflers[J]. Journal of Sound and Vibration,2000,241(10):401-421.

[5] 方智,季振林.進出口位置對不同形狀膨脹腔消聲特性的影響[J].噪聲與振動控制,2011(4):160-164.

[6] 江小亮,李以農(nóng).橢圓截面擴張式消聲器消聲特性的有限元分析[J].汽車工程師,2013(1):27-28.

[7] Hong K, Kim J. Natural Mode Analysis of Hollow and Annular Elliptical Cylindrical Cavities[J]. Journal of Sound and Vibration,1995,183(2):327-351.

[8] 王偉.排氣系統(tǒng)聲學(xué)性能與流動性能的理論研究[D].上海:同濟大學(xué),2007.

Acoustic Analysis on the Expansion Chambers withElliptical Cross-section Based on Acoustic Modes

Wang Wei1, Ni Jimin2, Li Yuqi1& Jin Hui1

1.EngineEngineeringResearchInstitute,CheryAutomobileCompany,Wuhu241009;2.SchoolofAutomotiveStudies,TongjiUniversity,Shanghai201804

Mathieu function is used to solve the sound wave equation under elliptic-hyperbolic cylindrical coordinate with the analytical solutions of sound pressure obtained. The acoustic modes of cylindrical chambers with elliptical cross section are further acquired and sound source excitation method is employed to analyze the transmission loss of expansion chamber. Compared with expansion chamber with round cross section of same area, the transmission loss of expansion chamber with elliptical cross section generates passing frequency at even mode (2,1,n). With its inlet and outlet moving onto the nodal line of even mode (2,1,0) on the major axis of expansion chamber, the effects of even mode (2,1,n) can be eliminated; while with its inlet and outlet moving onto the nodal line of even mode (0,2,0) on the minor axis of expansion chamber, the effects of even mode (0,2,n) can be eliminated.

expansion chamber with elliptical section; acoustic modes; transmission loss; passing frequency

*國家863計劃項目(2008AA11A148)資助。

原稿收到日期為2013年8月29日，修改稿收到日期為2013年12月9日。