張忠林，石皓尹，閆光輝

蘭州交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，蘭州 730070

1 引言

關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘是數(shù)據(jù)挖掘中重要的研究方法[1]，主要用于發(fā)現(xiàn)事物數(shù)據(jù)集中項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系。由于事務(wù)數(shù)據(jù)通常具有時(shí)間特性[2]，提出了考慮時(shí)間因素的序列模式挖掘；為了描述關(guān)聯(lián)規(guī)則隨時(shí)間變化的特點(diǎn)，提出了動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則的定義[3]；在以上基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)了動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則的定義及挖掘算法[4-5]；對動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則元規(guī)則進(jìn)行挖掘[6]，可以得到規(guī)則在基于時(shí)間序列上的變化情況[7]；為了提高動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則的挖掘質(zhì)量，文獻(xiàn)[8]提出了動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則趨勢度的概念，從而更好地反映規(guī)則隨時(shí)間變化的動態(tài)信息。本文在以上研究的基礎(chǔ)上提出了一種將灰色-Markov模型應(yīng)用在動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則趨勢度挖掘的方法。該方法在避免生成無用的動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則的基礎(chǔ)上，挖掘出滿足趨勢度閾值的規(guī)則，提高了挖掘的效率，使挖掘出的動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則更加全面可靠，并同時(shí)解決如何選取趨勢度閾值的問題。

2 動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則

動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則能描述自身特性隨時(shí)間的變化，而支持度和置信度在時(shí)間上構(gòu)成的向量可以反映關(guān)聯(lián)規(guī)則在時(shí)間上的變化趨勢。描述如下：

設(shè)I={i1，i2，…，in}是項(xiàng)集合，數(shù)據(jù)集D是在時(shí)間段t內(nèi)收集到的，t為相等不相交的長度為n的時(shí)間序列，即有t={t1，t2，…，tn}。根據(jù)時(shí)間段的劃分，將數(shù)據(jù)集D分為n個(gè)子數(shù)據(jù)集，其中數(shù)據(jù)子集Di(i∈{1，2，…，n})是在ti(i∈{1，2，…，n})時(shí)間段內(nèi)收集的項(xiàng)集T滿足T?I。若A和B為項(xiàng)集，A?I，B?I，并且A∩B=? 。關(guān)聯(lián)規(guī)則A?B在D中的支持度Support是事務(wù)集D中包含A∪B的百分比，有：Support(A?B)=P(A∪B)，關(guān)聯(lián)規(guī)則A?B在D中的置信度Confidence是事務(wù)集D中A事務(wù)發(fā)生的條件下B事務(wù)發(fā)生的百分比，有Confidence(A?B)=P(A|B)。有如下相關(guān)定義：

定義1支持度向量（SV）是動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則A?B（或者項(xiàng)集A∪B）的向量，有如下表示形式：

定義2設(shè)項(xiàng)集A∪B的支持度為s，則：

其中，M是D中的事務(wù)數(shù)。項(xiàng)集的支持度向量為SV=[f1，f2，…，fn]。

定義3動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則A?B的置信度向量具有以下的表示形式：

動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則可以表述為：具有支持度向量SV、置信度向量CV、支持度s、置信度c四個(gè)參數(shù)的關(guān)聯(lián)規(guī)則；表示形式為：A?B(SV，CV，s，c)。

動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則引入支持度向量以及置信度向量后，根據(jù)趨勢的變化可以得到動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則趨勢度的定義。關(guān)于動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則趨勢度的具體定義本文不再闡述和說明，參見文獻(xiàn)[8]中定義1至定義8。

3 灰色-Markov模型

3.1 GM（1，1）預(yù)測模型

鄧聚龍教授于1982年首次提出了灰色系統(tǒng)理論?；疑到y(tǒng)理論是建立系統(tǒng)運(yùn)行趨勢模型的有效理論方法[9-10]?；疑到y(tǒng)理論適用于動態(tài)預(yù)測，且只需少量已知信息就可建立預(yù)測模型[11]?；疑獹M（1，1）預(yù)測模型的具體步驟如下所示。

（2）按照GM（1，1）建模過程可得：

其中：

（4）把估計(jì)值a、b代入式（5）中得到時(shí)間影響方程：

當(dāng)t=1，2，…，n-1時(shí)，由式（9）得到的是擬合值，而當(dāng)k≥n時(shí)，得到的是預(yù)測值。

（5）對序列x^(1)(k+1)做累減還原處理可得原始數(shù)據(jù)預(yù)測。公式：

其中n為序列x(0)的長度。發(fā)展系數(shù) -a是GM（1，1）模型適用性范圍的標(biāo)準(zhǔn)，模型適用范圍與發(fā)展系數(shù) -a相關(guān)[12-13]，如表1所示。

表1 GM（1，1）模型適用范圍表

3.2 Markov鏈及其轉(zhuǎn)移概率矩陣

馬爾科夫鏈適用于波動較大的動態(tài)過程[14-15]，在這一點(diǎn)上恰恰可以彌補(bǔ)灰色預(yù)測的局限性。

設(shè){Xn，n∈T}為隨機(jī)過程，若對于任意的整數(shù)n∈T和任意的狀態(tài)i0，i1，…，in+1∈I，條件概率滿足：P(Xn+1=in+1|X0=i0，X1=i1，…，Xn=in)=P(Xn+1=in+1|Xn=in)，則 稱{Xn，n∈T}為馬爾科夫鏈。馬爾科夫鏈具有無后效性，它表示系統(tǒng)未來(t=n+1)所處的狀態(tài)僅與其現(xiàn)在(t=n)所處的狀態(tài)有關(guān)，而與其過去(t≤n-1)所處的狀態(tài)無關(guān)。設(shè)Ei是系統(tǒng)在時(shí)間t所處的狀態(tài)，Xn是與狀態(tài)空間相對應(yīng)，并形成了Markov鏈。對任意的n∈T和狀態(tài)i，j∈I，稱pij(n)=P(Xn+1=j|Xn=i)為馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率，表示系統(tǒng)在i狀態(tài)條件下向狀態(tài)j轉(zhuǎn)換的概率。由pij可得系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣：

4 算法過程描述

目前最常用到的不確定性系統(tǒng)的研究方法主要有：概率統(tǒng)計(jì)、模糊數(shù)學(xué)和灰色系統(tǒng)理論，這三種方法的共同點(diǎn)是研究對象都具有某種不確定性。但是正是研究對象在不確定性上的區(qū)別，才產(chǎn)生了這三種各有特色的不確定性科學(xué)：模糊數(shù)學(xué)著重研究“認(rèn)知不確定”的問題，主要通過借助于隸屬函數(shù)進(jìn)行處理；概率統(tǒng)計(jì)研究的是“隨即不確定”現(xiàn)象，著重于現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。其出發(fā)點(diǎn)是大樣本，并且要求對象服從某種典型的分布。而本文所采用的灰色系統(tǒng)理論著重研究以上兩種方法難以解決的“小樣本”、“貧信息”的不確定性問題。灰色系統(tǒng)理論最重要的特點(diǎn)也是它最大的優(yōu)點(diǎn)就是“少數(shù)據(jù)建?！?，因此在原始數(shù)據(jù)非常少的情況下，使用灰色系統(tǒng)理論進(jìn)行建模以及預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確度會高于其他方法，這正是本文采用灰色系統(tǒng)來建模的原因。

灰色系統(tǒng)理論中的GM（1，1）模型可以在原始數(shù)據(jù)非常少的情況下進(jìn)行建模，而且還可以得到精度較高的結(jié)果。但是通過對GM（1，1）模型研究發(fā)現(xiàn)，GM（1，1）模型只能得到原始數(shù)據(jù)的整體變化趨勢，對于數(shù)據(jù)的波動性變化則沒有顯現(xiàn)，因此利用Markov鏈的相關(guān)理論對其進(jìn)行補(bǔ)充是十分必要的。Markov鏈理論是基于概率統(tǒng)計(jì)的理論，適用于具有隨機(jī)變化的動態(tài)過程，通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以得到系統(tǒng)在下一個(gè)時(shí)刻所處狀態(tài)的概率，因此將兩者結(jié)合起來可以得到更加準(zhǔn)確的預(yù)測結(jié)果。利用灰色-Markov模型進(jìn)行挖掘比單純使用灰色G（1，1）模型預(yù)測一個(gè)值的結(jié)果要更加合理，本模型由于在灰色模型的基礎(chǔ)上使用了Markov知識，比灰色GM（1，1）模型的應(yīng)用范圍要廣，總體效果要優(yōu)于灰色GM（1，1）模型。

本文所提出的基于灰色-Markov模型的動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則趨勢度挖掘方法的重點(diǎn)是對灰色-Markov模型的運(yùn)用。在描述算法之前將算法中所用到的名詞進(jìn)行解釋，F(xiàn)P-Growth算法：文獻(xiàn)[16]提出的一種經(jīng)典的關(guān)聯(lián)規(guī)則的挖掘方法；ITS算法：文獻(xiàn)[4]提出的一種動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則的挖掘算法；DRI：Definition of Rule Index，趨勢度閾值；SRI：Support of Rule Index，趨勢度[8]。下面將本文所提出方法的具體過程以及建模的過程進(jìn)行詳細(xì)描述：

（1）調(diào)用FP-Growth算法挖掘出滿足支持度閾值的頻繁項(xiàng)集。

（2）再次掃描數(shù)據(jù)庫，得到每個(gè)頻繁項(xiàng)集的支持度計(jì)數(shù)。

（3）根據(jù)支持度向量的變化趨勢以及支持度向量的分類計(jì)算各頻繁項(xiàng)集的趨勢度SRI。

（4）判斷各頻繁項(xiàng)集的SRI是否大于趨勢度閾值DRI。

（5）將不滿足DRI要求的頻繁項(xiàng)集的支持度計(jì)數(shù)序列用GM（1，1）模型進(jìn)行建模，從而得到原始數(shù)據(jù)的預(yù)測公式。

（6）由預(yù)測公式得到原始數(shù)據(jù)的擬合值，進(jìn)一步得到殘差和殘差百分比。運(yùn)用Markov鏈分析方法，結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行狀態(tài)劃分。

（7）計(jì)算每一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到其他任何狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率pij，進(jìn)而得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 p和k步轉(zhuǎn)移概率矩陣 p(k)。

（8）通過一步轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測下一狀態(tài)，通過k步轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測當(dāng)前狀態(tài)下一狀態(tài)開始的第k個(gè)狀態(tài)，通過預(yù)測便可得知此支持度向量下一個(gè)或第k個(gè)值的取值的概率。

（9）確定預(yù)測對象未來的狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，即確定了預(yù)測值的變動灰色區(qū)間，取灰區(qū)間的中值作為最終的預(yù)測的支持度計(jì)數(shù)。

（10）將預(yù)測得到的支持度計(jì)數(shù)加入原頻繁項(xiàng)集支持度向量，判斷新的支持度序列是否滿足支持度閾值要求。

（11）判斷（10）中滿足支持度閾值的支持度序列的趨勢度是否大于DRI。

（12）將（4）和（11）中滿足要求的規(guī)則作為強(qiáng)趨勢度動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則進(jìn)行輸出。

算法流程圖如圖1所示。

圖1 算法流程圖

5 實(shí)例分析

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用SQL Server 2005自帶的某商場2004年的銷售數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。挖掘出形如{I1，I2}頻繁項(xiàng)集，其含義為消費(fèi)者購買I1產(chǎn)品之后購買I2產(chǎn)品在2004年每個(gè)月的支持度計(jì)數(shù)，其中I1、I2為商品的編號。設(shè)最小支持度為0.4，最小支持度數(shù)為40，最小置信度為0.4，趨勢度閾值DRI=0.55。

實(shí)例分析過程：

第一步 調(diào)用FP-Growth算法進(jìn)行挖掘，得到頻繁項(xiàng)集：{I1，I2}，{I2，I4}，{I2，I5}，{I4，I5}。

第二步 掃描數(shù)據(jù)庫，得到各頻繁項(xiàng)集支持度向量SV。SV{I1，I2}=[41，40，42，41，43，44，40，41] ；SV{I2，I4}=[37，39，40，40，41，42，43，45]；SV{I2，I5}=[43，39，39，42，40，43，42，40]；SV{I4，I5}=[43，38，38，42，41，39，42，40]。

第三步 根據(jù)趨勢度的定義[8]，計(jì)算各頻繁項(xiàng)集的趨勢度。{I1，I2}支持度向量中每個(gè)元素的支持度均大于最小支持度閾值，它屬于支持度穩(wěn)定型向量，SRI(I2，I4)=1；{I2，I4}支持度向量屬于支持度上升型頻繁向量，SRI(I2，I4)=1；{I2，I5}最大上升子時(shí)間序列長度為4，最大下降子時(shí)間序列向量長度為4，可得：SRI(I2，I5)=0.5 ；{I4，I5}最大上升子時(shí)間序列長度和最大下降子時(shí)間序列向量長度均為4，可得：SRI(I4，I5)=0.5。

第四步 根據(jù)趨勢度閾值{I1，I2}和{I2，I4}為強(qiáng)動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則，{I2，I5}和{I4，I5}為非強(qiáng)動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則。

第五步 對非強(qiáng)動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則{I2，I5}和{I4，I5}的支持度向量，運(yùn)用GM（1，1）模型進(jìn)行建模。

對規(guī)則{I2，I5}和{I4，I5}的支持度序列[43，39，39，42，40，43，42，40]和[43，38，38，42，41，39，42，40]分別作為原始序列：{x(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))，n=1，2，…，8}和 {y(0)=(y(0)(1)，y(0)(2)，…，y(0)(n))，n=1，2，…，8} 。按以下步驟進(jìn)行：

（1）首先根據(jù)公式（11）獲得級比序列。經(jīng)檢驗(yàn)級比σ(k)滿足：

（2）不再對原序列進(jìn)行預(yù)處理，直接對原始序列{x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，n=1,2,…,8}建立 GM（1，1）模型。分別得到兩個(gè)參數(shù)：a1=-0.008 618，b1=39.127 803；a2=-0.009 673，b2=38.245 032。根據(jù)表1可知，可以運(yùn)用GM（1，1）模型對其進(jìn)行中短期預(yù)測，分別得到兩序列的時(shí)間影響方程：

第六步 利用時(shí)間影響方程得到模擬序列，分析規(guī)則{I2，I5}和{I4，I5}支持度的模擬值、殘差和殘差百分比，如表2所示。

表2 模擬值分析表

通過計(jì)算表中數(shù)據(jù)可知：序列x(1)的變化趨勢是逐步減小的，根據(jù)這個(gè)灰色預(yù)測曲線方程得到的模擬值序列x的平均相對誤差為2.54%，而年度最大誤差為4.51%；序列y(1)的變化趨勢是逐步增大的，根據(jù)這個(gè)灰色預(yù)測曲線方程得到的模擬值序列y(1)的平均相對誤差為2.87%，而年度最大誤差為5.71%，故此灰色模型預(yù)測的結(jié)果是可以接受的。

根據(jù)規(guī)則的支持度計(jì)數(shù)擬合結(jié)果和殘差百分比劃分出五種狀態(tài)：E1、E2、E3、E4和E5。殘差百分比小于 -8%設(shè)為E1；殘差百分比大于 -8%且小于 -2%設(shè)為E2；殘差百分比大于 -2%且小于2%設(shè)為E3；殘差百分比大于2%且小于8%設(shè)為E4；殘差百分比大于8%設(shè)為E5。

第七步 計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。由上分析可知，規(guī)則{I2，I5}，{I4，I5}各狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況如表3所示。

表3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移表

進(jìn)一步得到一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣和兩步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

第八步 確定接下來兩個(gè)月支持度計(jì)數(shù)的狀態(tài)。規(guī)則{I2，I5}在第8個(gè)月處于狀態(tài)E2，根據(jù)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 P和兩步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 P(2)，可知規(guī)則{I2，I5}在接下來兩個(gè)月支持度計(jì)數(shù)分別處于E4和E2；規(guī)則{I4，I5}在第8個(gè)月處于狀態(tài)E2，根據(jù)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P′和兩步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 P′(2)，可知規(guī)則{I4，I5}在接下來兩個(gè)月支持度計(jì)數(shù)都將處于狀態(tài)E4。

第九步 分別預(yù)測兩規(guī)則在接下來兩個(gè)月的值。得到規(guī)則{I2，I5}和{I4，I5}接下來兩個(gè)月的支持度計(jì)數(shù)如表4所示。

第十步 將預(yù)測值添加到原規(guī)則支持度序列中。加入預(yù)測值后兩規(guī)則的支持度向量分別為：

表4 支持度預(yù)測

第十一步 對預(yù)測之后的規(guī)則支持度向量再次計(jì)算趨勢度。{I2，I5}最大上升子時(shí)間支持度序列長度為5，最大下降子時(shí)間支持度序列長度為4，根據(jù)公式（4）得：最大上升子時(shí)間支持度序列長度為6，最大下降子時(shí)間支持度序列長度為4，根據(jù)公式（4）得：SRI(I4，I5)=0.6 。

第十二步 生成規(guī)則階段。分析規(guī)則{I1，I2}和{I2，I4}，它的支持度和置信度都大于閾值，并且趨勢度為1，因此它們都是強(qiáng)動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則；頻繁項(xiàng)集{I2，I5}的支持度和置信度都滿足閾值要求，但是它的趨勢度0.5＜DRI=0.55，并且對支持度序列進(jìn)行預(yù)測之后仍然小于趨勢度閾值，因此它不是強(qiáng)動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則；頻繁項(xiàng)集{I4，I5}的支持度和置信度都滿足閾值，且對其支持度序列進(jìn)行預(yù)測之后滿足閾值要求0.6＞DRI=0.55，因此將{I4，I5}作為強(qiáng)動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則輸出。最終得到三組共6條高趨勢度的動態(tài) 關(guān) 聯(lián) 規(guī) 則 ：I1?I2，I2?I1，I2?I4，I4?I2，I4?I5，I5?I4。

結(jié)果對比：

為了說明算法的有效性，本文用傳統(tǒng)動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘算法ITS算法[4]以及文獻(xiàn)[8]中提出的基于趨勢度的動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘算法兩種算法作對比，研究三種挖掘算法產(chǎn)生的規(guī)則。結(jié)果如表5所示。

表5 三種方法結(jié)果對比表

用傳統(tǒng)的動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘算法得到的強(qiáng)動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則有8條，而用基于趨勢度的動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘算法可以得到4條高趨勢度的動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則，用本文所提出的方法可以得到6條高趨勢度的動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則。經(jīng)過分析可知，規(guī)則I2?I5和I5?I2其支持度計(jì)數(shù)變化隨機(jī)性比較大，決策者不能從中得到有效的決策信息；而對于規(guī)則I4?I5和I5?I4，研究其支持度向量序列可知，雖然現(xiàn)有的支持度計(jì)數(shù)變化隨機(jī)性比較大，但是通過對支持度計(jì)數(shù)進(jìn)行預(yù)測發(fā)現(xiàn)其支持度計(jì)數(shù)隨機(jī)性在逐漸降低，可以從中得到有效的信息，所以將其作為強(qiáng)趨勢度動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則進(jìn)行輸出。因此，新的動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘算法可以根據(jù)用戶設(shè)定的趨勢度閾值，針對動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則中有一定變化趨勢的規(guī)則進(jìn)行挖掘，充分考慮到規(guī)則隨時(shí)間而變化的特性，在一定程度上提高了規(guī)則挖掘的質(zhì)量，同時(shí)也為決策者提供了更加全面、有效的信息，從而使決策更有依據(jù)、更可靠。

6 結(jié)語

本文在GM（1，1）模型和馬爾科夫鏈理論相結(jié)合的基礎(chǔ)上，將其組成的組合模型運(yùn)用到動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則趨勢度的挖掘中。在動態(tài)關(guān)聯(lián)規(guī)則趨勢度的挖掘中運(yùn)用本方法，不僅能直觀了解到規(guī)則趨勢度的總體的變化情況，還可以對其進(jìn)行預(yù)測。結(jié)果表明本文方法能夠在一定程度上提高規(guī)則挖掘的效率，為決策提供更可靠的信息。今后的主要研究方向?qū)⒎旁诋?dāng)原始數(shù)列波動性過大且無明顯規(guī)律時(shí)如何保證預(yù)測的精度；對象為大數(shù)據(jù)庫或者海量數(shù)據(jù)時(shí)，如何提高挖掘算法的效率和準(zhǔn)確性[17]。

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