陳鵬霏，劉海芳，賀宇新 ;柳虹亮

(1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)，吉林 長(zhǎng)春 130012;2.長(zhǎng)春職業(yè)技術(shù)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130033)

0 引言

液壓缸驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)相比傳統(tǒng)的機(jī)械傳動(dòng)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、傳動(dòng)平穩(wěn)、控制方便，且適用于大功率場(chǎng)合等顯著優(yōu)點(diǎn)。因此，在冶金、礦山、鑄鍛等重型機(jī)械上，液壓技術(shù)早已被廣泛應(yīng)用［1］。如今，隨著重機(jī)自動(dòng)化技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)液壓驅(qū)動(dòng)精度的要求也越來(lái)越高。然而，液壓缸等傳動(dòng)機(jī)構(gòu)在低速運(yùn)行時(shí)會(huì)出現(xiàn)時(shí)斷時(shí)續(xù)、時(shí)緩時(shí)急的爬行現(xiàn)象，嚴(yán)重影響了傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，有時(shí)甚至?xí)斐芍卮蟮慕?jīng)濟(jì)損失。因此，在深入揭示爬行現(xiàn)象本質(zhì)機(jī)理的基礎(chǔ)上，利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真研究，從而尋求有效的解決方案，是具有現(xiàn)實(shí)意義的。

目前，對(duì)于液壓伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的仿真研究，主要有兩種方法［2］:(1)依據(jù)經(jīng)典控制學(xué)理論建立傳遞函數(shù)模型，采用控制仿真軟件Matlab/Simulink、LabView 等進(jìn)行系統(tǒng)仿真;(2)通過(guò)圖形建模的方式，利用專業(yè)的液壓系統(tǒng)仿真軟件AMESim、SimulationX、20－ Sim 等進(jìn)行模擬仿真。然而，由于上述方法多采用小偏差理論對(duì)非線性因素進(jìn)行線性化處理，導(dǎo)致有時(shí)即使忽略微小的非線性因素，往往也會(huì)在實(shí)際分析中引起較大的誤差，甚至引發(fā)本質(zhì)性的錯(cuò)誤，使得液壓仿真分析的最終結(jié)果難以達(dá)到較為理想的效果。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)液壓缸的非線性運(yùn)動(dòng)特性，逐漸展開(kāi)了大量的研究工作。國(guó)外Hayashi S［3］以流體非線性動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)，深入闡述了液壓缸低速爬行實(shí)質(zhì)上是自激振動(dòng)、分岔和混沌等非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的一種表現(xiàn)形式。Misra A［4］和Licsko G［5］則以液壓控制閥為研究對(duì)象，從單一元件角度分析液壓缸非線性運(yùn)動(dòng)特性問(wèn)題，研究了當(dāng)控制閥相關(guān)參數(shù)改變時(shí)所引起的不同程度的液壓爬行現(xiàn)象。國(guó)內(nèi)王林鴻［6］教授通過(guò)理論分析和試驗(yàn)驗(yàn)證研究了液壓缸運(yùn)動(dòng)的非線性動(dòng)態(tài)特征，指出液壓缸低速爬行是在特定工況下的“跳躍現(xiàn)象”和自激振動(dòng)等多重原因作用的結(jié)果。姜萬(wàn)錄［2］教授提出將現(xiàn)代非線性動(dòng)力學(xué)理論引入液壓伺服系統(tǒng)，揭示伺服系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的本質(zhì)和機(jī)制，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測(cè)和智能故障診斷，具有十分重大的意義。然而，眾所周知，非線性問(wèn)題是伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中普遍存在但至今仍未能很好解決的難題。目前，已有學(xué)者采用較為成熟的非線性振動(dòng)學(xué)理論Duffing 方程和Van Der Pol 方程，來(lái)解決液壓缸運(yùn)動(dòng)的非線性特征，并取得了良好的效果。但是在模型轉(zhuǎn)化過(guò)程中仍不可避免地進(jìn)行相應(yīng)的簡(jiǎn)化，且Duffing方程和Van Der Pol 方程的數(shù)值求解過(guò)程較為復(fù)雜繁瑣。

因此，本文在深入研究液壓缸非線性運(yùn)動(dòng)特性基礎(chǔ)上，利用Taylor 展開(kāi)法將非線性微分方程簡(jiǎn)化為可解的線性微分方程形式，并采用分割時(shí)間步長(zhǎng)的策略來(lái)解決液壓缸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各特征參數(shù)的非線性和時(shí)變特性。力圖通過(guò)理論分析和數(shù)值仿真，深入揭示液壓非線性彈簧力和時(shí)變摩擦力的變化規(guī)律和作用機(jī)理，探索引起液壓缸低速爬行現(xiàn)象的本質(zhì)原因。

1 液壓缸驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

液壓缸作為液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的執(zhí)行元件，可將油液的壓力能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能輸出。按其結(jié)構(gòu)形式可分為活塞式、柱塞式、擺動(dòng)式及嵌套式液壓缸等。雖然液壓缸種類繁多，但其工作原理基本相同。雙作用單活塞桿液壓缸的工作原理簡(jiǎn)圖如圖1 所示。

圖1 單活塞桿液壓缸的工作原理圖Fig.1 Principle diagram of single rod hydraulic cylinder

根據(jù)牛頓第二定律，其動(dòng)力學(xué)方程可表達(dá)為

式中，m為活塞和負(fù)載的等效質(zhì)量;Fc為介質(zhì)粘性阻尼力;Ff為運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的摩擦力;Ft為彈性力;FL為外加負(fù)載;p1為進(jìn)油腔壓力;p2為回油腔壓力;A1為無(wú)桿腔有效面積;A2為有桿腔有效面積。

將活塞和負(fù)載質(zhì)量作為被驅(qū)動(dòng)的從動(dòng)件單獨(dú)進(jìn)行受力分析，如圖2 所示。假設(shè)液壓缸驅(qū)動(dòng)負(fù)載過(guò)程中驅(qū)動(dòng)力和負(fù)載力相等，即p1A1=p2A2+FL，于是可得液壓缸驅(qū)動(dòng)的活塞動(dòng)力學(xué)方程為

圖2 液壓缸運(yùn)動(dòng)的非線性力學(xué)模型Fig.2 Nonlinear mechanics model of hydraulic cylinder motion

2 非線性時(shí)變特性分析

2.1 非線性彈簧力

如圖1 所示的雙作用單活塞桿液壓缸，彈簧剛度k(x)由液壓油剛度和活塞負(fù)載質(zhì)量彈簧剛度串聯(lián)而成。由材料力學(xué)可知，鋼鐵彈性模量遠(yuǎn)大于液壓油液的體積彈性模量，故此可忽略活塞負(fù)載質(zhì)量產(chǎn)生彈簧剛度的影響，只考慮液壓油液在驅(qū)動(dòng)過(guò)程中形成的液體壓縮彈簧剛度。

液壓缸驅(qū)動(dòng)負(fù)載移動(dòng)時(shí)，缸的有桿腔和無(wú)桿腔均充滿了液壓油，且均處于壓縮狀態(tài)，所以產(chǎn)生的總彈簧剛度可以看作是兩腔液壓油液剛度并聯(lián)作用的結(jié)果。同時(shí)，液壓缸活塞的運(yùn)動(dòng)改變了液體彈簧的長(zhǎng)度，將引起彈簧剛度的改變，其隨活塞桿位移變化的規(guī)律為［6］

式中，K0表示液壓油液的體積彈性模量;L為液壓缸的總行程;x0表示活塞的初始位置;α 和γ為待定系數(shù)。

根據(jù)式(3)可以得到液壓缸的彈簧剛度隨活塞位移變化曲線，如圖3 所示。若α=1，γ=0時(shí)，即進(jìn)油節(jié)流回油路無(wú)背壓回路，此時(shí)液壓彈簧力表現(xiàn)出全程軟彈簧特性;若α=1，γ=1時(shí)，即進(jìn)油節(jié)流回油路有背壓回路，此時(shí)液壓彈簧力表現(xiàn)出半程軟彈簧半程硬彈簧特性;若α=0，γ=1 時(shí)，即回油節(jié)流回路，此時(shí)液壓彈簧力表現(xiàn)出全程硬彈簧特性。

由圖3 可知，液壓缸彈簧剛度隨活塞位移呈現(xiàn)出明顯的非線性時(shí)變特性，但相比時(shí)變特性，其在整個(gè)行程中的非線性特征更加明顯。

圖3 液壓缸彈簧剛度的非線性變化規(guī)律Fig.3 Nonlinear variation rule of hydraulic cylinder spring stiffness

2.2 時(shí)變摩擦力

根據(jù)經(jīng)典的Stribeck 摩擦理論，液體潤(rùn)滑狀態(tài)可劃分為三種主要類型:Ⅰ為邊界潤(rùn)滑狀態(tài);Ⅱ?yàn)榛旌蠞?rùn)滑狀態(tài);Ⅲ為流體動(dòng)壓潤(rùn)滑狀態(tài)，具體如圖4 所示。在圖4 中，縱坐標(biāo)f 表示摩擦因數(shù)，Stribeck 曲線與縱坐標(biāo)交點(diǎn)處f0表示靜摩擦因數(shù);橫坐標(biāo)其中，υ為潤(rùn)滑劑的運(yùn)動(dòng)粘度，v為相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度，p為接觸面法向作用載荷。

圖4 Stribeck 摩擦曲線Fig.4 Stribeck friction curve

根據(jù)經(jīng)典的Stribeck 摩擦理論，可以獲得的摩擦力與速度之間關(guān)系曲線如圖5 所示。當(dāng)工作點(diǎn)處于區(qū)域Ⅲ時(shí)，摩擦力隨速度發(fā)生線性變化，其自由振動(dòng)方程為形式較簡(jiǎn)單的線性微分方程。此時(shí)，摩擦力的作用增加了系統(tǒng)的阻尼，振動(dòng)隨時(shí)間很快地衰減，系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，不會(huì)發(fā)生爬行現(xiàn)象。然而，當(dāng)工作點(diǎn)處于區(qū)域Ⅰ或區(qū)域Ⅱ時(shí)摩擦力隨速度是非線性變化的。

圖5 摩擦力與速度關(guān)系曲線Fig.5 Curve of friction-velocity

為進(jìn)一步了解液壓缸活塞運(yùn)動(dòng)時(shí)所受摩擦力的時(shí)變特性，本文忽略液壓彈簧剛度非線性特性的影響，集中研究摩擦力對(duì)液壓缸運(yùn)動(dòng)特性的影響。令文獻(xiàn)［6，7］將液壓缸活塞運(yùn)動(dòng)時(shí)的自由振動(dòng)方程轉(zhuǎn)化成Van Der Pol 方程形式，即

求解Van Der Pol 方程，目前已有成熟的理論方法，如顯式Euler 法、改進(jìn)的Euler 法和四階Runge-Kutta 法等，但求解過(guò)程均比較復(fù)雜繁瑣［8］。這里利用matlab 中的simulink 對(duì)上述Van Der Pol 方程進(jìn)行仿真求解，得到其速度時(shí)域圖像，如圖6 所示。

圖6 基于Van Der Pol 方程的速度時(shí)域圖像Fig.6 Velocity time domain figure based on Van Der Pol

由圖6 可知，當(dāng)工作點(diǎn)處于區(qū)域Ⅰ或區(qū)域Ⅱ時(shí)，液壓缸活塞的運(yùn)動(dòng)速度呈現(xiàn)出明顯的非線性時(shí)變特性，且其在整個(gè)行程內(nèi)的時(shí)變特性尤其明顯。

3 液壓缸動(dòng)態(tài)數(shù)值仿真

3.1 液壓缸非線性動(dòng)力學(xué)分析

當(dāng)利用液壓油驅(qū)動(dòng)活塞運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)流入液壓缸內(nèi)的油液流量q 不變，根據(jù)流量連續(xù)性方程，理論上活塞有效作用面積A1處液流的流動(dòng)速度v=q/A1保持不變。但是，由于實(shí)際液體具有可壓縮性，將先蓄備油液以便形成液壓彈性力。若該工作點(diǎn)的液壓彈簧鋼度為k(x)，則產(chǎn)生的液壓彈性驅(qū)動(dòng)力Ft=k(x)·(x－x0－vt)≈－k(x)·x0(這里，x0為液壓彈簧壓縮量)。當(dāng)液壓驅(qū)動(dòng)力Ft小于活塞所受的靜摩擦力Ff0時(shí)，液壓缸活塞不運(yùn)動(dòng)，油液繼續(xù)流入，x0增加，導(dǎo)致液壓彈性力Ft不斷增加;當(dāng)液壓驅(qū)動(dòng)力Ft等于活塞所受的靜摩擦力Ff0時(shí)，即k(x)·x0=Ff0，液壓缸活塞開(kāi)始移動(dòng)，根據(jù)Stribeck 摩擦理論可知，靜摩擦力瞬間變?yōu)閯?dòng)摩擦力，在靜、動(dòng)摩擦力差的作用下活塞加速運(yùn)動(dòng)，由于動(dòng)摩擦力)在低速范圍內(nèi)隨速度˙x 增加而減小，故導(dǎo)致工作臺(tái)進(jìn)一步被加速;當(dāng)液壓等效彈簧的壓縮量逐漸恢復(fù)，即| x－x0－vt | 逐漸減小，驅(qū)動(dòng)力Ft減小到與動(dòng)摩擦力)相等時(shí)，由于慣性使活塞負(fù)載向前沖過(guò)一小段距離，導(dǎo)致彈簧驅(qū)動(dòng)力Ft進(jìn)一步減小;當(dāng)液壓等效彈簧驅(qū)動(dòng)力Ft小于動(dòng)摩擦力時(shí)，液壓缸活塞負(fù)載開(kāi)始減速，同時(shí)動(dòng)摩擦力進(jìn)一步增加，直至液壓缸活塞負(fù)載停止移動(dòng)。上述現(xiàn)象不斷重復(fù)，產(chǎn)生了液壓爬行。將此過(guò)程在活塞工作點(diǎn)處建立運(yùn)動(dòng)微分方程，得

式中，k(x)為液壓等效彈簧剛度，在工作點(diǎn)x處，k(x)可視為常數(shù);c0為系統(tǒng)阻尼系數(shù)。

由于液壓缸工作點(diǎn)僅處于區(qū)域Ⅰ或區(qū)域Ⅱ時(shí)摩擦力呈現(xiàn)出強(qiáng)時(shí)變特性。所以，根據(jù)Taylor 展開(kāi)法，將摩擦力在接近零處工作點(diǎn)附近，即=v0≈0，F(xiàn)f=Ffd(v0)=Ffd進(jìn)行泰勒展開(kāi)，于是

式中，ω為液壓缸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，且ω2=k(x)/m;ξ為阻尼比，

由于液壓彈簧剛度k(x)的時(shí)變特性并不明顯，因此在很小的時(shí)間間隔內(nèi)，即在活塞工作點(diǎn)附近，k(x)可近似表示成常數(shù)k。于是，式(7)為可解的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其全解由對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解和非齊次線性微分方程的特解構(gòu)成。

根據(jù)線性微分方程理論，可知式(7)對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程通解形式為

式(7)非齊次線性微分方程特解為

式中，A、B 和a、b 均為待定系數(shù)。

于是，得液壓缸活塞動(dòng)力學(xué)微分方程解

液壓缸活塞運(yùn)動(dòng)速度

3.2 數(shù)值仿真策略

根據(jù)上述分析可知，盡管造成液壓爬行現(xiàn)象的兩個(gè)主要因素:液壓彈簧剛度和摩擦力均具有非線性時(shí)變特性，然而液壓彈簧剛度主要體現(xiàn)的是非線性特性，而摩擦力則主要體現(xiàn)時(shí)變特性。因此，在對(duì)液壓缸一個(gè)伸出行程進(jìn)行仿真過(guò)程中，可以采取離散時(shí)間法的策略，將整個(gè)伸出行程時(shí)間t 離散成n 段。雖然整段行程內(nèi)液壓彈簧剛度是非線性的，但在每小段時(shí)間Δti=ti－ti－1(i=1，…，n)內(nèi)，可認(rèn)為液壓彈簧剛度為線性變化的，從而來(lái)解決液壓彈簧剛度的非線性特性。根據(jù)式(3)，可知液壓彈簧剛度的迭代公式為

對(duì)于摩擦力，由于其在整個(gè)行程中體現(xiàn)的是強(qiáng)時(shí)變的特性，因此每小段時(shí)間間隔Δti內(nèi)必須考慮到摩擦力的時(shí)變特性?？梢愿鶕?jù)Taylor 展開(kāi)法，將摩擦力在工作點(diǎn)處線性展開(kāi)，忽略高階微分量。摩擦力的線性展開(kāi)式近似為

于是，在每個(gè)時(shí)間間隔段內(nèi)，可將式(2)所示的不可解的非線性時(shí)變微分方程，轉(zhuǎn)化為式(7)可解的線性微分方程形式。解出相應(yīng)活塞桿的位移和速度，迭代到下一時(shí)間段內(nèi)，求出該段時(shí)間內(nèi)的液壓彈簧剛度，并列出此時(shí)的線性微分方程繼續(xù)求解。記錄出每一時(shí)間段內(nèi)活塞運(yùn)動(dòng)的速度和位移，做出整個(gè)行程內(nèi)活塞運(yùn)動(dòng)的仿真線圖，具體流程如圖7 所示。

圖7 仿真策略流程圖Fig.7 Simulation strategy flow diagram

4 仿真分析實(shí)例

某鐵合金電爐液壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)執(zhí)行元件如圖1所示。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為進(jìn)油節(jié)流且回油有背壓的回路。已知缸筒內(nèi)直徑100 mm，活塞桿直徑50 mm，總有效行程為150 mm;活塞負(fù)載總質(zhì)量370 kg;油液體積彈性模量為1.6 MPa，密度為900 kg/m3。當(dāng)液壓缸的預(yù)期驅(qū)動(dòng)速度分別為1.2 mm/s、3 mm/s 和5 mm/s 幾種不同情況時(shí)，采用上述數(shù)值仿真分析方法，比較液壓缸活塞桿在不同工況下的實(shí)際運(yùn)動(dòng)特性，并說(shuō)明原因。

首先，根據(jù)已知條件可得整個(gè)行程內(nèi)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)液壓彈簧剛度的非線性變化過(guò)程如圖3 中實(shí)線所示，將液壓缸一個(gè)行程內(nèi)所用的時(shí)間t 離散為等距的時(shí)間段Δt(Δt=1/104t);再依據(jù)經(jīng)典的Stribeck 摩擦理論，得到驅(qū)動(dòng)過(guò)程中活塞所受摩擦力與速度之間關(guān)系曲線如圖5 所示，于是可知不同速度工況下活塞運(yùn)動(dòng)時(shí)所處的摩擦狀態(tài);最后，在每一時(shí)間段Δt 內(nèi)根據(jù)圖7 所示的仿真策略流程輸出液壓缸活塞整個(gè)行程內(nèi)的速度變化線圖和位移變化線圖，分別如圖8 和圖9 所示。

圖8 不同潤(rùn)滑狀態(tài)下的速度時(shí)域圖像Fig.8 Velocity time domain figure on different lubrication condition

圖9 不同潤(rùn)滑狀態(tài)下的位移時(shí)域圖像Fig.9 Displacement time domain figure on different lubrication condition

當(dāng)液壓缸預(yù)期速度為1.2 mm/s 時(shí)，活塞運(yùn)動(dòng)處于邊界潤(rùn)滑區(qū)域(圖5)。此時(shí)，活塞運(yùn)動(dòng)體現(xiàn)出負(fù)阻尼特性，即隨活塞瞬時(shí)速度增大摩擦力減小，從而導(dǎo)致阻尼比ξ為負(fù)值(ξ ＜0)，故此液壓缸活塞在整個(gè)行程內(nèi)均會(huì)出現(xiàn)液壓爬行現(xiàn)象，且隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間增加停止時(shí)間會(huì)越來(lái)越長(zhǎng)。其瞬時(shí)速度的時(shí)域圖像如圖8a 所示;位移的時(shí)域圖像如圖9a、9b 所示。由圖9b 可見(jiàn)，隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的增加活塞的停留時(shí)間亦越來(lái)越長(zhǎng)。

當(dāng)液壓缸預(yù)期速度為3 mm/s 時(shí)，活塞運(yùn)動(dòng)處于混合潤(rùn)滑區(qū)域(圖5)。此時(shí)，活塞運(yùn)動(dòng)的負(fù)阻尼特性減弱，導(dǎo)致阻尼比ξ 很小(ξ→0)，故此液壓缸活塞在行程內(nèi)會(huì)出現(xiàn)時(shí)緩時(shí)急的液壓爬行現(xiàn)象，但隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間的增加，速度的時(shí)變幅度越來(lái)越小，如圖8b 所示;在接近行程終點(diǎn)時(shí)活塞桿逐步趨于等速運(yùn)動(dòng)，位移的時(shí)域圖像如圖9c所示。

當(dāng)液壓缸預(yù)期速度為5 mm/s 時(shí)，活塞運(yùn)動(dòng)處于流體動(dòng)壓潤(rùn)滑區(qū)域(圖5)，此時(shí)活塞運(yùn)動(dòng)體現(xiàn)出的是正阻尼特性，即隨活塞瞬時(shí)速度增大摩擦力增大，于是液壓缸活塞僅在行程初始處出現(xiàn)短暫的液壓爬行現(xiàn)象，隨即便迅速衰減為等速運(yùn)動(dòng)。且阻尼比ξ 越大，其衰減過(guò)程越快，速度時(shí)域圖像如圖8c 所示，位移時(shí)域圖像如圖9d所示。

由上述分析可知，相對(duì)于液壓彈簧剛度，液壓缸系統(tǒng)的潤(rùn)滑條件和摩擦性質(zhì)是影響其動(dòng)態(tài)特性的關(guān)鍵因素之一。

5 結(jié)論

(1)液壓缸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)整個(gè)行程內(nèi)液壓彈簧剛度主要體現(xiàn)出非線性特征，而摩擦力因隨速度變化頻繁，主要體現(xiàn)出明顯的時(shí)變特征。

(2)仿真結(jié)果表明，采用時(shí)間離散法和各時(shí)間段內(nèi)Taylor 展開(kāi)法相結(jié)合，進(jìn)行液壓缸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)數(shù)值仿真分析，與實(shí)際吻合效果良好。

(3)與液壓彈簧剛度相比，液壓缸系統(tǒng)的潤(rùn)滑條件和摩擦性質(zhì)是影響其動(dòng)態(tài)特性的關(guān)鍵因素之一。

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