周國勇

（西南財經(jīng)大學經(jīng)濟數(shù)學學院，四川 成都 611130）

一、引言

期權(quán)交易始于十八世紀后期的美國和歐洲市場，直到1973 年芝加哥期權(quán)交易所進行標準化期權(quán)合約的買賣，而后得到迅猛的發(fā)展。期權(quán)又被稱作為選擇權(quán)，是指在未來的一定時期內(nèi)可以買賣某種資產(chǎn)的權(quán)利，是期權(quán)的買方向期權(quán)的賣方支付一定數(shù)量的金額（指期權(quán)費）后擁有的在未來的一段時間內(nèi)（指美式期權(quán)）或未來某一特定日期（指歐式期權(quán)）以事先約定好的價格（指行權(quán)價格）向賣方買入或賣出一定數(shù)量的標的資產(chǎn)的權(quán)力，但同時沒有必須買入或賣出的義務(wù)。隨著期權(quán)的日益迅猛發(fā)展，其定價就顯得越來越重要，本文就其中主要的一些定價方法作簡要的介紹。

二、傳統(tǒng)的期權(quán)定價方法

最早的期權(quán)定價模型是由巴舍利耶提出的，他第一次以嚴格的數(shù)學描述給了Brown 運動。他假設(shè)了股票的價格過程是一個不帶漂移的純標準布朗運動，并且最終得到了期日看漲期權(quán)的預(yù)期價格。但巴舍利耶得到的期權(quán)定價模型缺陷嚴重，主要是標準布朗運動允許股票價格為負的假設(shè)脫離了實際情況，與現(xiàn)實存在嚴重的矛盾，另外在定價過程中沒有考慮到貨比的時間價值。

三、Black-Seholes 模型定價方法

Black-Seholes 模型基本假設(shè)條件：（1）無風險利率r 為已知的且為常數(shù)；（2）標的資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布；（3）市場交易連續(xù)，對賣空沒有任何限制；（4）標的資產(chǎn)不分紅；（5）整個交易無摩擦。

Black-Seholes 模型的基本思路是：影響標的資產(chǎn)價格的因素也會對基于標的資產(chǎn)的期權(quán)價格產(chǎn)生影響，通過構(gòu)造包含適當頭寸的標的資產(chǎn)和衍生資產(chǎn)組合的頭寸，可以消除隨機游走帶來的不確定性影響，則該資產(chǎn)組合為無風險資產(chǎn)組合，由無套利原則，該資產(chǎn)組合的收益率就等于無風險利率。

則根據(jù)假設(shè)和數(shù)學推斷，通過復(fù)制資產(chǎn)組合的方法，最后推得歐式看漲期權(quán)的計算公式為：

其中，C 表示期權(quán)價格，X 表示期權(quán)的執(zhí)行價格，S 表示標的資產(chǎn)價格，τ 表示期權(quán)的剩余期限，σ 代表資產(chǎn)的波動率，r 表示無風險利率，N () 表示正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù),

四、二叉樹定價方法

二叉樹期權(quán)定價模型則是將考察的整個存續(xù)期間劃分為若干足夠小的時間段，在每一個時間段內(nèi)都假定標的資產(chǎn)的價格有向上和向下的兩個方向，且向上為u 倍，向下為d 倍，（其中u=1/ d)，且假設(shè)在整個考察期內(nèi)，股價每次向上(或向下)波動的概率和幅度不變。根據(jù)股價的歷史波動率來模擬出股價在整個存續(xù)期內(nèi)所有可能的運動路徑，并對每一路徑上的每一時間節(jié)點都計算期權(quán)的收益，并且最后用貼現(xiàn)的方法計算出期權(quán)的價格。

而對于美式期權(quán)，由于期權(quán)的購買者可以在期權(quán)的存續(xù)期內(nèi)任何時刻行權(quán)，故每一時間節(jié)點上期權(quán)的理論價格應(yīng)為期權(quán)立即執(zhí)行的收益和貼現(xiàn)計算出的期權(quán)價格兩者中的較大者，反向遞推最后得到初始時刻的期權(quán)價格。

五、有限差分方法定價

有限差分方法定價主要是先求得資產(chǎn)價格所滿足的偏微分方程；把連續(xù)的定解區(qū)域用有限個離散點構(gòu)成的網(wǎng)格來代替，這些離散的點又被稱作網(wǎng)格節(jié)點；再將每一處導數(shù)由有限差分近似替代，從而把求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)換成求解代數(shù)方程的問題，即所謂的有限差分法。

有限差分求解步驟：

①求解區(qū)間的離散化，即把所給的求解區(qū)間劃分成由有限多個網(wǎng)格；②近似替代，即用差商代替微商，把偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程；③逼近求解，最后近似求得期權(quán)的價格。

六、蒙特卡洛模擬方法

蒙特卡羅方法又稱統(tǒng)計模擬法、隨機抽樣技術(shù)，是一種隨機模擬方法。它的基本思想是：原生資產(chǎn)價格在風險中性的基本假設(shè)前提下，已知標的資產(chǎn)價格的分布函數(shù)，然后把期權(quán)定價的有效期限分為若干個相等的小時間間隔，借助計算機的幫助，根據(jù)資產(chǎn)價格的分布，模擬出股價的可能的運行路徑，這樣就可以得出期權(quán)的最終價值。不斷地重復(fù)上述過程，經(jīng)過上千次的模擬，就能夠得到T 時刻期權(quán)價格的一個集合，經(jīng)過平均計算就可以得到期權(quán)的近似結(jié)果。

但是蒙特卡洛較二叉樹有一個明顯的缺陷，就是它不能用于路徑依賴型期權(quán)的定價，如美式期權(quán)，而且其計算的精度依賴運算的次數(shù)等。

七、區(qū)間定價方法

區(qū)間定價的基本思想是無套利定價原理。但由于在非完全金融市場上不存在完全的復(fù)制策略，故期權(quán)定價不能通過復(fù)制策略得到，因此期權(quán)價格不是一個確定性的數(shù)值，而是一個區(qū)間，只不過它通過買方和賣方無套利確定區(qū)間的兩個端點來作為期權(quán)價格的區(qū)間。期權(quán)的買方通過構(gòu)造強復(fù)制策略來對他的潛在的負債進行套期保值，所確定的價格就是期權(quán)的賣方的無套利價格，同樣的期權(quán)的賣方通過構(gòu)造強復(fù)制策略來對他的潛在的負債進行套期保值，所確定的期權(quán)的價格就是期權(quán)的買方的無套利價格，這樣就保障了雙方利益。

八、結(jié)束語

目前，隨著數(shù)學、統(tǒng)計學、心理學等學科的發(fā)展，更多其他專業(yè)的研究成果被應(yīng)用到期權(quán)定價問題的研究上，極大地豐富了期權(quán)定價領(lǐng)域的內(nèi)容。但是，現(xiàn)實中各個國家的金融市場受到本國國家發(fā)展的影響，有些國家的期權(quán)市場很難實現(xiàn)經(jīng)典模型中所要求的“復(fù)制”，從而造成使用風險中性假設(shè)、不存在無風險套利投資組合原則的經(jīng)典期權(quán)定價模型實用性降低。金融市場作為一個綜合性多層次的交易環(huán)境，市場中所有的組成要素都在隨時隨地發(fā)生變化，傳統(tǒng)的線性模型經(jīng)常無法滿足現(xiàn)實中金融市場的條件。在期權(quán)定價領(lǐng)域中，目前最為普遍使用的非線性模型就是基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的期權(quán)定價模型。無論哪種定價方法，無套利定價原理都是最基本的原則，由于期權(quán)的重要性會使得期權(quán)的種類不斷地發(fā)展壯大，以上關(guān)于期權(quán)的定價方法也會由于其他學科的發(fā)展而不斷的衍生出來的。在后續(xù)期權(quán)的發(fā)展過程中，也需要我們不斷地去探索，深入研究金融市場的特征，使得模型更加貼近實際，擴大方法的適用性，得到更好的結(jié)果。

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