羅 黎 孫蓓蓓 周易達(dá)

(東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 211189)

數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床是一種加工多孔薄板的沖裁設(shè)備，橫梁是數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床的送料機(jī)構(gòu)，其剛度與模態(tài)頻率對(duì)沖床的穩(wěn)定性、加工精度等性能影響顯著。隨著數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床工作速度的提高，橫梁的靜動(dòng)態(tài)特性尤為重要，而結(jié)構(gòu)優(yōu)化是提高橫梁靜動(dòng)態(tài)特性最有效的途徑之一。

拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)是目前機(jī)床企業(yè)廣泛應(yīng)用的一種結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，相較于尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化，拓?fù)鋬?yōu)化［1-2］具有更多的設(shè)計(jì)自由度和更大的設(shè)計(jì)空間，可以在均勻分布材料的設(shè)計(jì)空間內(nèi)找到最佳分布方案，縮短結(jié)構(gòu)改進(jìn)設(shè)計(jì)周期，提高機(jī)床性能。

目前，國(guó)內(nèi)外拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)主要集中在采用傳統(tǒng)的單目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化問題上，例如以剛度最大化為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題［3-4］，或是以頻率最大化為目標(biāo)函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)［5］，然后再對(duì)新的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析、靜力分析等，這樣可能會(huì)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)剛度和頻率之間的不一致性和不可協(xié)調(diào)性，因而很難得到最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

為避免傳統(tǒng)的單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法無(wú)法同時(shí)考慮多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的缺點(diǎn)，本文以數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床橫梁為對(duì)象，采用多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。首先建立橫梁準(zhǔn)確的有限元模型，基于加權(quán)歐氏距離法，建立橫梁多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)用變密度法進(jìn)行多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算，并根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果對(duì)橫梁進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)設(shè)計(jì)，在保持橫梁質(zhì)量不變前提下，提高剛度與固有頻率。

1 加權(quán)歐氏距離法

任何一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的目標(biāo)值都可以轉(zhuǎn)化為最小值問題，因此所有的多目標(biāo)函數(shù)都可以表示為:

式中:m≥2，f1(x)，f2(x)，f3(x)，…，fm(x)分別為每個(gè)單目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化的目的是使全部單目標(biāo)函數(shù)同時(shí)最小化。單目標(biāo)優(yōu)化問題往往只存在一個(gè)最優(yōu)值，而多目標(biāo)優(yōu)化至少有兩個(gè)或兩個(gè)以上的目標(biāo)函數(shù)，其解通常是一組Pareto 解。假設(shè)一個(gè)多目標(biāo)問題，y1、y2、…、ym分別為每一個(gè)單目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，記為y=(y1，y2，…，ym)，x1、x2、…、xm為多目標(biāo)問題的Pareto 解，記為x=(x1，x2，…，xm)，那么多目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto解即為與最優(yōu)解距離最小的矢量，因此該多目標(biāo)優(yōu)化問題可以簡(jiǎn)化為單目標(biāo)的優(yōu)化問題，可以表示為:

式中:P≥1;wj為每個(gè)目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重，=1，wj＞0。

P 取值不同時(shí)，目標(biāo)函數(shù)意義具有不同的意義，當(dāng)P=2 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)表示Pareto 解與最優(yōu)解向量之間的最小化加權(quán)歐氏距離，故本文取P=2 建立拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，由于每個(gè)目標(biāo)函數(shù)的單位、量度不一樣，因此需要將目標(biāo)函數(shù)的Pareto 解與其最優(yōu)解的距離相對(duì)化，將目標(biāo)函數(shù)無(wú)量綱化，所以式(2)中的目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為下面的單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題:

2 多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)

2.1 靜態(tài)多剛度拓?fù)鋬?yōu)化模型

靜態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)為結(jié)構(gòu)剛度最大化，對(duì)結(jié)構(gòu)剛度最大化拓?fù)鋬?yōu)化是研究在設(shè)計(jì)域內(nèi)得到使結(jié)構(gòu)剛度最大的材料分布形式的問題。橫梁在不同的工況下具有不同的靜態(tài)特性，多工況下的剛度拓?fù)鋬?yōu)化問題通常稱為多剛度拓?fù)鋬?yōu)化問題。橫梁在每一個(gè)工況下對(duì)應(yīng)著一個(gè)剛度的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，所以不同的工況將得到不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。因此，多剛度拓?fù)鋬?yōu)化問題實(shí)際上是屬于多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題。

在處理該類問題時(shí)，通常把剛度最大問題等效為柔度最小問題來研究，由加權(quán)歐氏距離法可以得到拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為:

式中:n 為載荷工況總數(shù);wj為第j 個(gè)工況的權(quán)值;Cj(ρ)為第j 個(gè)工況的柔度目標(biāo)函數(shù);Cminj 分別為第j 個(gè)工況柔度目標(biāo)函數(shù)的最小值。

2.2 模態(tài)頻率拓?fù)鋬?yōu)化模型

結(jié)構(gòu)在振動(dòng)時(shí)，低階模態(tài)反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，而高階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)影響較小，因此動(dòng)態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)將低階的幾階模態(tài)頻率最大化作為目標(biāo)函數(shù)，以結(jié)構(gòu)體積做為設(shè)計(jì)約束。但是在優(yōu)化過程中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況:當(dāng)其中一個(gè)階次的頻率達(dá)到最大時(shí)，其他階次頻率可能降到一個(gè)較低的值，而且?guī)纂A頻率之間可能會(huì)相互調(diào)換次序。這樣就會(huì)出現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)振蕩問題。為了避免幾階頻率目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)振蕩的現(xiàn)象，此處采用上述方式定義模態(tài)頻率拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù):

式中:n 為載荷工況總數(shù);wj為第j 階模態(tài)頻率的權(quán)重值;Λj(ρ)為第j 階模態(tài)頻率目標(biāo)函數(shù)為第j 階模態(tài)頻率的最大值。

該方法定義了一個(gè)光滑的目標(biāo)函數(shù)。在優(yōu)化過程中，當(dāng)公式中的幾個(gè)低階模態(tài)的頻率發(fā)生交替時(shí)，目標(biāo)函數(shù)仍然保持光滑，這是因?yàn)檫@幾個(gè)低階模態(tài)的貢獻(xiàn)在公式中已經(jīng)被考慮了。

2.3 同時(shí)考慮靜動(dòng)態(tài)性能的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)

結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化是以體積分?jǐn)?shù)作為設(shè)計(jì)約束，同時(shí)考慮靜態(tài)多剛度和振動(dòng)頻率目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以表示為:

式中:F(ρ)表示優(yōu)化目標(biāo)函數(shù);w 為柔度系數(shù)權(quán)重。

3 橫梁結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化

3.1 有限元模型的建立與驗(yàn)證

如圖1 所示，數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床橫梁主要由滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)、3 根并聯(lián)方管、軸溜板、電動(dòng)機(jī)、護(hù)罩、底下支架等組成，橫梁通過電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)滾珠絲杠實(shí)現(xiàn)加工板材沿X、Y 方向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)。

橫梁屬于大型復(fù)雜裝配件結(jié)構(gòu)，在建立有限元模型時(shí)應(yīng)考慮各部件間的連接方式。機(jī)床上比較典型的連接方式有焊接、附加質(zhì)量、滾動(dòng)導(dǎo)軌結(jié)合面、剛性連接等，本文所研究的對(duì)象各部件間的連接方式在hyperworks 軟件中分別通過CWELD 單元、CONM2 單元、CELAS1 彈簧單元、RBE2 單元來實(shí)現(xiàn)，橫梁各部件連接方式如表1 所示。

表1 橫梁各部件間連接方式

利用CAD 軟件Solidworks 對(duì)幾何模型進(jìn)行簡(jiǎn)化處理:忽略工藝上的倒角和倒圓以及連接用的小直徑孔;由于拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)需要消耗大量的計(jì)算空間與時(shí)間，并且機(jī)床橫梁整體結(jié)構(gòu)較大，為了提高有限元模型的計(jì)算精度，節(jié)省計(jì)算時(shí)間與空間，將實(shí)體結(jié)構(gòu)劃分為六面體網(wǎng)格，薄板結(jié)構(gòu)劃分為四邊形面網(wǎng)格;在hypermesh 中對(duì)零部件進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并建立相應(yīng)的連接關(guān)系;橫梁主要通過Y 方向?qū)к壒潭ㄔ跈C(jī)身上，約束其底部六個(gè)方向的自由度。最終建立的有限元模型如圖2 所示，網(wǎng)格總數(shù)為274042，計(jì)算X 軸溜板位于中間時(shí)橫梁的約束模態(tài);模態(tài)實(shí)驗(yàn)采用單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)響應(yīng)的方法，錘擊激勵(lì)頻率范圍為0～1000 Hz。表2 所示為橫梁模態(tài)測(cè)試與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，固有頻率最大誤差為6.8%，在誤差允許范圍內(nèi)，前四階振型如圖3 所示(模態(tài)實(shí)驗(yàn)的第二階振型未激勵(lì)出來)，可以看出實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型與有限元計(jì)算的模態(tài)振型一致，因此驗(yàn)證了本文所建有限元模型的正確性。

表2 橫梁模態(tài)測(cè)試與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3.2 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果分析

由于X 軸溜板在左右運(yùn)動(dòng)過程中，對(duì)橫梁的動(dòng)態(tài)性能影響較大，尤其是在兩個(gè)極限位置(最左側(cè)與最右側(cè))，對(duì)橫梁的動(dòng)態(tài)性能影響最大。現(xiàn)選取X 軸溜板位于最左側(cè)時(shí)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，通過指定拓?fù)鋬?yōu)化模型中的設(shè)計(jì)域和非設(shè)計(jì)域來控制結(jié)構(gòu)中的優(yōu)化和不需要優(yōu)化的部分，如滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)、滾動(dòng)導(dǎo)軌等將其設(shè)為非設(shè)計(jì)區(qū)域，而橫梁方管、底下支架、軸溜板、隔板等設(shè)為設(shè)計(jì)區(qū)域。

在以下2 中工況下對(duì)橫梁進(jìn)行多剛度拓?fù)鋬?yōu)化:

(1)Y 進(jìn)給方向最大加速度1.2g 時(shí)，橫梁的變形。

(2)橫梁端部施加2000 N力時(shí)橫梁的變形，并計(jì)算橫梁的靜剛度()。

在目標(biāo)函數(shù)中將兩種工況權(quán)重取為相等;同樣，也將橫梁結(jié)構(gòu)前三階固有頻率的權(quán)重值取為相同;在多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的綜合目標(biāo)函數(shù)中，取柔度的權(quán)重值為0.4，固有頻率權(quán)重值為0.6。

在結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分后，將設(shè)計(jì)域每個(gè)單元的密度作為設(shè)計(jì)變量，設(shè)置相應(yīng)的邊界條件與工況，并用optistruct 軟件中提供的自定義函數(shù)來定義多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，利用SIMP 插值方法作為材料模型，結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)作為設(shè)計(jì)約束。目標(biāo)函數(shù)迭代曲線如圖4，體積分?jǐn)?shù)迭代值曲線如圖5，經(jīng)過30 步優(yōu)化迭代后，最終趨向穩(wěn)定，拓?fù)鋬?yōu)化得到收斂。最終拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖6 所示，拓?fù)鋬?yōu)化后結(jié)果是以單元密度0～1 來顯示，圖中深色單元的密度趨近于1，而淺色單元密度趨近于0，單元密度越大表明該構(gòu)件需要設(shè)置加強(qiáng)筋，相反單元密度越小則表明該處的材料可以去掉。因此，橫梁方管剛度需要加強(qiáng)，而底下支架材料有盈余，根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果對(duì)橫梁進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.3 結(jié)構(gòu)改進(jìn)設(shè)計(jì)及分析

根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，對(duì)橫梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行以下改進(jìn):在橫梁兩三角座中間設(shè)置加強(qiáng)筋，厚度為5 mm，減小底下支架厚度，由3 mm 變?yōu)?.5 mm，優(yōu)化前后橫梁性能參數(shù)如表3 所示，在質(zhì)量基本保持不變的情況下，橫梁Y 方向靜剛度提高了17.8%，一階固有頻率增加了4.98%，優(yōu)化效果顯著。

表3 拓?fù)鋬?yōu)化前后橫梁性能參數(shù)對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

本文以數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床橫梁為研究對(duì)象，通過加權(quán)歐氏距離法把柔度最小化和模態(tài)頻率最大化兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為橫梁多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題，并采用變密度法進(jìn)行優(yōu)化求解，基于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果對(duì)橫梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)，提高了橫梁靜剛度與固有頻率，主要結(jié)論如下:

(1)針對(duì)數(shù)控轉(zhuǎn)塔沖床橫梁結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，建立了準(zhǔn)確的有限元模型，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了有限元模型的正確性，為后續(xù)優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

(2)針對(duì)單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化無(wú)法同時(shí)考慮多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的缺陷，利用加權(quán)歐氏距離法將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)，并建立了多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。

(3)對(duì)橫梁進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)設(shè)計(jì)，改進(jìn)后的橫梁在質(zhì)量基本保持不變的情況下，橫梁靜剛度提高了17.8%，一階固有頻率增加了4.9%，優(yōu)化效果顯著。

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