問題發(fā)現(xiàn)，推敲問題

文獻(xiàn)[1]原文摘錄如下：已知a，b和角B，常?？蓪荁應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若該方程無解或只有負(fù)數(shù)解，則該三角形無解；若方程有一個正數(shù)解，則該三角形有一解；若方程有兩個不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解，這樣的觀念是錯誤的.

筆者認(rèn)為以上論斷不正確，其實這種觀念是正確的，文獻(xiàn)[1]通過例2，例3兩個具體題目，利用余弦定理都求出兩個正解，例2得出三角形有兩個解，而例3意在說明雖然有兩個正解但是三角形卻只有一個解，由此還應(yīng)該結(jié)合條件利用三角形內(nèi)角和定理，大邊對大角等進(jìn)行檢驗.筆者產(chǎn)生疑問，利用余弦定理判斷三角形解的個數(shù)時，需要給定兩邊及其中一邊的對角，而例2和例3所給的條件并不相同，例3中的“A=2B”并不等價于例2中的一個給定角度“B=60°”，若例3中的“A=2B”用此題求出的“cosB=35”替換后，才與例2題目類型相同，A=2B看似一個條件，實際上潛在蘊含了A，B之間的關(guān)系，一但求出B，A也就成已知了，無形中多了一個條件，由此通過例3的方程求解中有兩個正根，三角形并非有兩個解的推斷是不合適的.

結(jié)論證明，續(xù)談問題

結(jié)論：已知a，b和角B（強(qiáng)調(diào)條件是其中一邊的對角，不能是其他的不等價條件），對角B應(yīng)用余弦定理，并將其整理為關(guān)于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0（*）.

判別式Δ=（2acosB）2-4（a2-b2）化簡得Δ=4（b2-a2sin2B），而三角形中sinB>0恒成立.

ⅰ若方程（*）有兩個不等的正數(shù)解，則該三角形有兩解；

ⅱ若方程（*）有一個正數(shù)解，則該三角形有一解；

ⅲ若該方程（*）無解或只有負(fù)數(shù)解，則該三角形無解；

證明：對于ⅰ，若方程有兩個不等的正數(shù)解，則Δ>0得b>asinB，

設(shè)兩個正根c1，c2，c1+c2=2acosB>0，c1·c2=a2-b2>0.

得B為銳角，且asinB

對于ⅱ，若方程有一個正數(shù)根，包括①方程有兩個相等的正數(shù)根；②方程有一個正數(shù)根和一個負(fù)數(shù)根

①當(dāng)方程有兩個相等的正數(shù)根時，則Δ=0得b=asinBc1+c1=2acosB>0，c21=a2-b2>0，得B為銳角，且asinB=b

②當(dāng)方程有一個正數(shù)根和一個負(fù)數(shù)根時，則Δ>0，得b>asinB，c1+c2=2acosB，c1·c2=a2-b2<0（a

對于ⅲ，當(dāng)方程無解時，則Δ<0得b

當(dāng)只有負(fù)數(shù)根時，則Δ>0得b>asinB，c1+c1=2acosB<0，c21=a2-b2>0，得B為鈍角且a>b，三角形無解.

綜上可知，結(jié)論是正確的，用方程的正數(shù)解來判斷三角形解的個數(shù)勿庸置疑.

方程增根的幾何解釋

對于方程（*）有兩個正根；無正根情況，對三角形解的個數(shù)而言，都能較易理解，而方程有一個正根，一個負(fù)根，三角形有一個解，這個負(fù)根（增根）的幾何意義是什么？下面通過具體實例作幾何解釋，以便較好地理解.

實例一：在△ABC中，a=2，b=22，B=45°，求c.

解：由b2=a2+c2-2accosB，得c=2±6，如圖1所示：作CH⊥BA于點H，作DH=HA，其中BH=2，HA=6，AB=2+6符合題意，而2-6=

-|DB|（增根）.

實例二：在△ABC中，a=2，b=22，B=135°，求c.

解：由b2=a2+c2-2accosB，得c=-2±6.作CH⊥BA于點H，作DH=HB，其中BH=2，HA=6，AB=-2+6符合題意，而-2-6=-|DA|（增根）.

結(jié)語

只要甄別好具體條件，運用余弦定理來辨別三角形解的個數(shù)，不存在任何爭議，由此，可消除學(xué)生判斷三角形解的個數(shù)的苦惱.對于給定兩邊及其中一邊的對角，當(dāng)角的余弦值已知時，用此法確實簡便易行，但對于角的余弦值未知或不好求解時，筆者認(rèn)為仍要用《解討論》辨別三角形解的個數(shù)相對更適宜.

參考文獻(xiàn)

[1]施元蘭.運用余弦定理解三角形的一類錯誤認(rèn)識[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（11）：60-61.

作者簡介孔德泉.男.1978年7月生，教育碩士，黑龍江省優(yōu)秀教師，牡丹江市名優(yōu)工程骨干教師，牡丹江市專家資源庫中心成員，牡丹江市高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)能手，牡丹江市百強(qiáng)崗位能手，致力于高考數(shù)學(xué)試題命制與解法研究.