☉江蘇省無錫市第一女子中學(xué) 項菲

知識形成中的過程走偏現(xiàn)象的分析

☉江蘇省無錫市第一女子中學(xué) 項菲

當(dāng)前的教學(xué)實踐中，廣大數(shù)學(xué)教師認識到，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程，是促進數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、提升數(shù)學(xué)能力和培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀念的一個重要途徑.近幾年筆者參加教研觀摩活動，發(fā)現(xiàn)許多的過程設(shè)計不合理，引導(dǎo)不得法，導(dǎo)致在知識形成過程中本應(yīng)該具有深刻理解知識、發(fā)展數(shù)學(xué)思維，促進數(shù)學(xué)認知發(fā)展的教育價值得不到充分體現(xiàn)，出現(xiàn)過程走偏現(xiàn)象.

一、與已有經(jīng)驗不對接，導(dǎo)致自主建構(gòu)障礙

案例1：去括號.

（1）由實際問題引出去括號問題.由時間、速度與路程的關(guān)系列出表示鐵路的全長（兩段路程的和）的式子100t+120（t-0.5），兩段路程的差的式子100t-120（t-0.5）.

（2）告知學(xué)生可以用分配率進行下述變形：+120（t-0.5）=+120t-60，-120（t-0.5）=-120t+60.

（3）比較去括號前后發(fā)生的變化，給出去括號法則.

評析：本過程是從實際問題中引出有括號的式子，再利用已有的經(jīng)驗分配率嘗試去括號，然后比較去括號前后發(fā)生的變化，給出去括號法則.從實際問題出發(fā)，利用學(xué)生已有經(jīng)驗進行問題探究，似乎有利于學(xué)生理解新知識，但是本過程并不能使學(xué)生的已有經(jīng)驗發(fā)揮作用，相反已有經(jīng)驗還阻撓了對新知識的理解.主要是以下兩個方面的問題.

一是對去括號的意義指向不明.為什么要去括號？實際問題背境并未為學(xué)生提供去括號的心理指向.

二是對括號法則的建構(gòu)不暢.本設(shè)計用分配率同化去括號法則的方式幫助學(xué)生建構(gòu)法則，但在一些學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中，分配率是為形如計算而使用的，-120（t-0.5）并不具備上述可簡化的結(jié)構(gòu).分配率的認識狹隘會形成同化的干擾，加上此時學(xué)生心理發(fā)展剛進入形式運算階段，脫離具體情境用假設(shè)推導(dǎo)結(jié)論的能力弱，部分學(xué)生可能達不到教師所期待的效果.

如果改為用下面兩個實例引出，則有助于化解難點.

李浩父親存折上原有a元人民幣、b元港幣，現(xiàn)再存入c元人民幣、d元港幣，問：存折里一共多少錢？設(shè)1港元=0.8元人民幣，這是a+b+0.8（c+d）=a+b+0.8c+0.8d的現(xiàn)實原型.

李浩父親存折上原有a元人民幣、b元港幣，現(xiàn)支出c元人民幣、d元港幣，問：存折里還有多少錢？設(shè)1港元= 0.8元人民幣，這是a+b-0.8（c+d）=a+b-0.8c-0.8d的現(xiàn)實原型.

經(jīng)驗告訴學(xué)生，同類項相減，所以去括號操作的指向是顯然的.讓學(xué)生知道為何要去括號，何時去括號；該現(xiàn)實原型能反映去括號“全變?nèi)蛔儭钡谋举|(zhì).有現(xiàn)實原型解決的經(jīng)驗支撐，去括號法則就能很自然地納入學(xué)生的認知體系里，而不是被動地記憶.本實例與學(xué)生的生活聯(lián)系密切，數(shù)量關(guān)系簡單，學(xué)生都能參與建構(gòu)法則.

“概念或命題、公式、法則等在學(xué)習(xí)者頭腦中的心理表征而言，并不僅僅是由相關(guān)的定義或邏輯關(guān)系所組成，恰恰相反，一些典型實例在其中也有了十分重要的地位”“只有借助具體的抽象過程，我們才能幫助學(xué)生很好地把握相關(guān)概念或命題、公式、法則等的本質(zhì)，并能順利實現(xiàn)由后者向具體情境的復(fù)歸”，所以“應(yīng)十分重視幫助學(xué)生認識概念或命題、公式、法則等的典型現(xiàn)實原型，以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)抽象過程”.因此，尤其是七年級學(xué)生，更需要現(xiàn)實原型幫助建構(gòu)與理解.

二、忽視知識的整體性，導(dǎo)致數(shù)學(xué)思維方式的缺失

案例2：兩條平行線間的距離.

師：一條河的兩岸可以看成平行的直線，某人在岸邊要駕船到對岸，請問：他應(yīng)該選擇哪個位置到對岸，才能以最短的路徑實現(xiàn)目的？

生：隨便哪個位置都可以，因為岸的一邊上任意點到對岸的距離都相等.

師：為什么？

生：感覺.

師：這種感覺很好，但我們應(yīng)該給予證明.今天，我們就來學(xué)習(xí)“什么是兩直線的距離”.

……

評析：憑心講，這位教師設(shè)計的現(xiàn)實背景非常實在，也是一種常識，學(xué)生通過教師的教學(xué)能夠知道現(xiàn)實生活需要研究兩直線間的距離，激發(fā)了學(xué)習(xí)動機.可是筆者認為，這種設(shè)計有缺陷：一是學(xué)生不知道教師今天為什么突然提出這么一個問題，只能機械地配合教師去探索；二是教師掐斷了學(xué)生對研究問題的策略的思考，是什么原因讓學(xué)生的注意力由“點到直線的距離”轉(zhuǎn)移到“兩直線間的距離”呢？

以下是另一個教師的教學(xué)過程，筆者認為或許教學(xué)效果更好.

師：前面我們學(xué)習(xí)了平面上兩線的位置關(guān)系：平行與相交，當(dāng)兩直線相交時，我們采用角來刻畫它們的“相交程度”.那么，如果兩條直線平行，今天我們采用什么方法來刻畫呢？（教師平行地拿著兩支筆進行遠近移動）

生：距離.

師：什么意思？

生：你剛才在比劃，給我們一個感覺，兩平行直線有遠和近的區(qū)別.

師：好，那么怎樣刻畫兩平行直線的距離呢？

生甲：作任意一條直線與兩條直線都垂直，被它們所截得的線段長度都相等，這個長度我們就定義為兩平行直線間的距離.

師：很好！但要說明怎么作任意一條直線與兩條直線都垂直，還有別的什么方法？

生乙：其實，兩平行直線中任意一條直線上的一點到另一條直線的距離相等，這個距離也可以定義為兩平行直線間的距離.

師：很好！為了研究兩平行直線間的距離，我們可以選擇甲和乙的辦法，大家看，該選擇哪種辦法？

生丙：選擇甲的，因為點到點的距離最原始.

生丁：選擇乙的，因為點到直線的距離也是通過點到點的距離來刻畫的，如果能夠得到點到直線的距離，可以少走彎路.

師：兩位同學(xué)的構(gòu)思都有道理，那么，我們就合二為一.

……

顯然，第二位教師能夠從數(shù)學(xué)本身的研究出發(fā)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)研究的策略，加強了數(shù)學(xué)的內(nèi)在知識結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己應(yīng)該研究的方向.這時第二位教師在教學(xué)過程中，只需再補充一道實際應(yīng)用性問題即可.事實上，數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)或提出很多是數(shù)學(xué)工作者由于研究數(shù)學(xué)的需要而提出的，并非緣于實際的需要.在一些數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的早期，有一些問題都是實際問題所導(dǎo)致的，可一旦“啟動”后，往往就是從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)的研究過程，我們應(yīng)該“尊重歷史現(xiàn)實”，同時也不應(yīng)該人為地制造一些所謂的實際背景將內(nèi)在思維聯(lián)系密切的數(shù)學(xué)問題搞得支離破碎，否則，就會淡化運用數(shù)學(xué)的方法研究問題的教育，把本身內(nèi)在聯(lián)系密切的數(shù)學(xué)知識搞得支離破碎，不利于學(xué)生系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)的思考方式！

三、問題間思維斷裂，導(dǎo)致抽象過程的缺失

案例3：絕對值概念.

（1）教師首先創(chuàng)設(shè)了這樣一個情境：小亮家的正東和正西方向各有一個公共汽車站，它們離小亮家分別為200米和450米，小亮想就近上車，你認為他會選擇從哪個公交汽車站上車？

（2）教師引導(dǎo)學(xué)生思考選擇車站的依據(jù)是車站到小亮家距離的大小，這個距離與方向無關(guān)，而且非負.

（3）教師畫一條沒有原點，只有方向和單位長度的直線，問學(xué)生這是不是數(shù)軸，引導(dǎo)學(xué)生補全數(shù)軸、回顧數(shù)軸三要素，再讓學(xué)生說出數(shù)軸上A（-6）、B（-4）、C（0）、D（3）、E（8）、F（10）各點距離原點幾個單位長度.在此基礎(chǔ)上指出：這些都是點到原點的距離，而數(shù)軸上點對應(yīng)著數(shù)，今天就學(xué)習(xí)與此有關(guān)的絕對值的概念，請大家分組討論，看能否得到絕對值的概念.

（4）在學(xué)生說出絕對值的概念后，讓學(xué)生根據(jù)定義通過畫圖寫出若干正數(shù)、負數(shù)的絕對值和零的絕對值，在此基礎(chǔ)上通過歸納得到絕對值的計算方法.

評析：本來，從情境問題出發(fā)，提出研究同一直線上不同點到同一基準點的距離問題后，很自然地想到用數(shù)軸來描述這種距離，即基點對應(yīng)原點，東、西方向?qū)?yīng)數(shù)軸的方向，位置對應(yīng)數(shù)軸上的點（數(shù)），直線上各點到基準點的距離對應(yīng)數(shù)軸上各點到原點的距離.但教師沒有這樣做，而是拋開情境問題，讓學(xué)生回憶數(shù)軸的概念，寫出數(shù)軸上各點到原點的距離，造成“用數(shù)軸上的點描述直線上點的位置”思維的缺失，另起爐灶，造成了學(xué)生思路剛產(chǎn)生就被打斷.

其實，絕對值概念的形成過程蘊含著從生活實例到數(shù)學(xué)概念的抽象過程：（1）從生活經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)研究同一直線上各點到同一基準點的距離是必要的；（2）把（1）中的距離問題抽象成數(shù)軸上各點到原點的距離問題；（3）以以數(shù)軸為中介，建立這個距離概念與數(shù)之間的聯(lián)系.

四、思想與活動不匹配，不利于知識自然合理地形成

案例4：相交線.

（1）提出問題：①能測量圖1中∠AOB的大小嗎？②能測量如圖2所示的墻角∠AOB的大小嗎？（學(xué)生不知道怎么辦，教師指出，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，就能解決這個問題）

圖1

圖3

圖2

（2）教師引導(dǎo)學(xué)生畫兩條相交的直線（教師在黑板上畫出如圖3所示的相交線，得到四個角）.

①引導(dǎo)學(xué)生思考：這四個角中有幾個小于平角的角？把這四個角兩兩組合，看有哪幾種可能.（學(xué)生分組討論）

②把得到的各對角進行分類.（結(jié)果學(xué)生有很多種分類方法，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生分類出現(xiàn)錯誤后要求學(xué)生從頂點和邊的位置關(guān)系角度進行分類，并與學(xué)生一起得到教材中的分類結(jié)果：∠1與∠2，∠2與∠3，∠3與∠4，∠4與∠1一類，∠1與∠3，∠2與∠4一類）

（3）引導(dǎo)學(xué)生觀察第一類角的位置關(guān)系的特點，得出鄰補角的概念.

（4）在進行鄰補角概念辨別后，教師引導(dǎo)學(xué)生討論圖3中∠1與∠3的位置關(guān)系并給出對頂角的概念.

（5）提出問題：互為對頂角的兩個角的大小關(guān)系是什么？（學(xué)生得到“對頂角相等”的結(jié)論.教師讓學(xué)生嘗試說明理由）

評析：教師把相交的兩條直線形成的角的關(guān)系分類作為教學(xué)的重點.本內(nèi)容知識形成過程包括鄰補角和對頂角概念的自然形成、性質(zhì)探究.思考活動包括：從生活中豐富的相交線現(xiàn)象中提出研究兩條直線相交的問題，其次需要自然、合理地想到角，因為形成的角有四個，需要思考用哪一個角描述兩條直線的相對位置關(guān)系，再去研究四個角之間的關(guān)系，得到鄰補角和對頂角的性質(zhì)，從而得到結(jié)論：只要有其中一個角的大小確定，則其余三個角的大小就唯一確定，這樣就解決了問題.在這一思考過程中，蘊含著的重要數(shù)學(xué)思想方法是：推理思想、化線為角的思想.分類討論并不是其中的核心思想方法，將本不是本課教學(xué)重點的數(shù)學(xué)思想作為重點活動來設(shè)計，既不利于知識的自然、合理形成，又忽視了本應(yīng)該重點達成的高階目標.

五、思維步驟不完整，導(dǎo)致不能形成完整的思維方式

案例5：蘇科版數(shù)學(xué)七年級上冊“§3.5去括號”，基本上是復(fù)制課本.

（1）填表：

a b c a+（-b+c）a-b+c a-（-b+c）a+b-c 5 2 -1 -6 -4 3 -9.5 5 -7

你發(fā)現(xiàn)了什么？再換幾個數(shù)試試.

能說明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確嗎？

評析：從表面上看，這個過程的確體現(xiàn)了尋找規(guī)律的一般方法，先從特殊的幾個數(shù)入手，找出可能存在的一般規(guī)律，再通過“換幾個數(shù)”，讓學(xué)生從中得到共同的結(jié)論，從而推廣到一般情形.但若深入思考一下，表格中為何只讓學(xué)生填a+（-b+c）與a-b+c，a-（-b+c）與a+b-c？其背后隱含著怎樣的思考過程？課堂教學(xué)中應(yīng)對這一思維過程有所體現(xiàn).要挖掘教學(xué)素材的內(nèi)涵，課本本身在編寫過程中要保持其簡約性，不可能將所有情形一一展開，在使用這樣的教學(xué)素材時就應(yīng)該有挖掘其內(nèi)涵的過程，如可以讓學(xué)生先去猜想a+（-b+c）和a-（-b+c）去括號后的可能結(jié)果，再讓學(xué)生算一算，通過計算驗證猜想結(jié)論的正確性，同時加深對“否定結(jié)論只需舉一個反例”的認識，最后利用乘法分配律進行證明，即經(jīng)歷完整的思維步驟：“觀察、猜想、驗證、證明”，真正讓學(xué)生學(xué)會探尋規(guī)律的一般方法.

六、思想與活動的不匹配，導(dǎo)致不能形成正確研究問題的方法

案例6：圖形的相似.

（1）教師先展示如下圖片（如圖4）.

師：同學(xué)們，請觀察圖4中的幾幅圖片，你能發(fā)現(xiàn)些什么？你能對觀察到的圖片的特點進行歸納嗎？

圖4

圖5

生1：它們的形狀一樣，大小不一樣.

師：生活中還有哪些形狀一樣的圖形？

生2：放大鏡中的圖形與實際圖形；鏡子中的像與實物.

然后，教師引入課題并直接給出定義：形狀相同的圖形叫做相似圖形.

（2）教師直接說明：相似圖形就是將一個圖形進行放大或縮小，并引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形放大和縮小的過程（動態(tài)展示變化過程），然后判斷鏡子是否與實物相似（如圖5）.

接著，教師讓學(xué)生判斷通過復(fù)制、粘貼得到的三角形與原三角形有什么關(guān)系.

（3）在完成了全等圖形的辨別練習(xí)后，教師動態(tài)展示用放大鏡放大三角形的過程，并提問：得到的三角形是否與原三角形相似？放大鏡放大后的角與原三角形的角有什么關(guān)系？在對放大前后的三角形進行檢驗后讓學(xué)生進行練習(xí).

（4）研究相似多邊形，分析教材中的思考題：如圖6，△A′B′C′是由正△ABC放大后得到的，觀察這兩個圖形，它們的對應(yīng)角有什么關(guān)系？對應(yīng)邊呢？

圖6

圖7

對于圖形7中的兩個相似的正六邊形，你是否也能得到類似的結(jié)論？

在發(fā)現(xiàn)相似的正三角形和相似的正六邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等后，教師引導(dǎo)學(xué)生探索一般的相似三角形是否具有類似的性質(zhì).在引導(dǎo)學(xué)生用測量的方法發(fā)現(xiàn)一般的相似三角形也具有類似性質(zhì)后，教師直接告訴學(xué)生相似四邊形同樣具有類似性質(zhì)，因為可以通過作對角線把四邊形分為兩個三角形（在這里，教師這樣講學(xué)生其實不理解），接下來講解相似比概念，在小結(jié)中，提到了全等三角形是特殊的相似三角形（相似比為1）.

評析：縱觀案例，盡管教師設(shè)計了生活中相似圖形的觀察活動，但沒有類比全等圖形進行，造成了本應(yīng)該著重體現(xiàn)、貫穿全課的類比推理活動的缺失及思考過程（1）中數(shù)學(xué)思考不自然；其次，教師雖然讓學(xué)生觀察了圖形的放縮過程，但沒有讓學(xué)生借助網(wǎng)格進行放縮操作，讓學(xué)生知道縮放的意義（在任何方向放縮相同倍數(shù)），這造成了思考過程（2）的不充分，學(xué)生只是記住而非理解了結(jié)論；第三，教師引導(dǎo)學(xué)生按照從特殊到一般分析了相似多邊形的特征，但沒有讓學(xué)生思考為什么這樣做，學(xué)生不知道這種研究思路是怎樣想到的.

從相似圖形到相似多邊形的研究是從粗略到精細、從定性到定量的發(fā)展過程.其研究過程是按照下列次序自然進行的.（1）類比全等圖形的概念，觀察生活中形狀相同的圖形，進行相似圖形概念的初步抽象；（2）通過操作實驗和觀察，引導(dǎo)學(xué)生從放縮變換角度理解相似圖形的概念（放縮后的圖形與原來的圖形相似，這可以與全等圖形中運動變換前后的兩個圖形全等相比較）；（3）類比全等三角形，提出研究相似多邊形的研究對象和方法：研究對應(yīng)的邊角關(guān)系，用實驗測量和推理計算的方法，從特殊情形（相似正多邊形）出發(fā)，進而推廣到一般多邊形；（4）比較相似三角形與全等三角形概念之間的區(qū)別與聯(lián)系.

總之，設(shè)計和實施合理有效的過程，使學(xué)生通過經(jīng)歷和體驗，挖掘內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想，同時進行數(shù)學(xué)化思考，這對學(xué)生獲得基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗的同時，學(xué)會用數(shù)學(xué)的觀點和思想方法自然、合理地思考問題，確實具有重要的現(xiàn)實意義.Z