☉江蘇省連云港市海州實驗中學 王磊

☉江蘇省連云港市海州實驗中學安娜

中考閱卷后，回溯數(shù)學“微”實驗的立本原初

☉江蘇省連云港市海州實驗中學 王磊

☉江蘇省連云港市海州實驗中學安娜

近些年，初中數(shù)學實驗的教學研究，正逐步受到重視.筆者曾于2013年以本年級的學生為研究對象，開展了一系列數(shù)學實驗的教學研究活動，總結了在數(shù)學實驗教學中要注意的一些問題，并將這些經(jīng)驗整理成文，以《數(shù)學實驗離本趣末現(xiàn)象的反思與啟發(fā)》為題，在《中學數(shù)學》2013年第6期上發(fā)表.一年后，該屆學生參加了中考，恰好筆者有幸參加了本次中考閱卷，并負責一道解答題的批閱工作.閱卷中，老師們發(fā)現(xiàn)學生審題的精準度、思維的靈活度、問題的探究能力，差別較大.閱卷結束后，筆者回憶所改的題目，結合之前的研究，感悟頗深.下面，筆者就針對學生在中考中出現(xiàn)的一些典型問題，從數(shù)學實驗對學生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)和教師發(fā)展的角度，理論結合實際，談談自己的反思和感悟，并借此機會與各位同仁分享，敬請批評指正.

一、數(shù)學“微”實驗的概念

1.數(shù)學實驗的概念

通過研究資料和上網(wǎng)查詢，筆者發(fā)現(xiàn)對數(shù)學實驗的定義大概有10多種，這里引用江蘇省教研室董林偉主任2007年發(fā)表在《中學數(shù)學月刊》上的闡述：“數(shù)學實驗是為了探索數(shù)學知識、檢驗教學結論（或假設）而進行的某種操作或思維活動.數(shù)學實驗一般具有可操作性和實踐性，……，使學生在活動中認識并改造自己的數(shù)學知識結構.”在蘇科版《數(shù)學實驗手冊》這本書中，有很多對此概念的案例解釋，這里不再贅述.筆者認為，數(shù)學實驗其實是幫助人們理解數(shù)學知識、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律、培養(yǎng)數(shù)學思維的一種途徑.

2.數(shù)學“微”實驗的概念

相對于平時常說的數(shù)學實驗，數(shù)學“微”實驗重點突出小、快、靈的特點，主要出現(xiàn)在各種應激環(huán)境中，例如，一次測試的題目中，一次交流的辯論中等.小是指實驗對象的切入點小，觀察一個圖形，推理一種情況，展示一種現(xiàn)象，經(jīng)歷一種過程，以便得到對應結論.快是指時間短，指在說理過程中，應對動態(tài)問題、數(shù)形結合問題、軌跡問題等，在相對有限的時間內(nèi)，采用數(shù)學實驗的方法操作、驗證，輔助思考.靈是指實驗形式靈巧，借助的工具往往來自身邊的物體，比如打印紙、橡皮、皮筋等，采用的實驗形式靈活，可以是直觀演示，也可以是思維抽象.

二、中考題展示

題目如下所示（以下簡稱“連中2014，24”）.

（2014年連云港）在一次科技活動中，小明進行了模擬雷達掃描實驗.如圖1，表盤是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°.在點A處有一束紅外光線AP，從AB開始，繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)15°，到達AC后立即以相同旋轉(zhuǎn)速度返回AB，到達后立即重復上述旋轉(zhuǎn)過程.小明通過實驗發(fā)現(xiàn)，光線從AB處旋轉(zhuǎn)開始計時，旋轉(zhuǎn)1秒，此時光線AP交BC邊于點M，BM的長為20）.

圖1

（1）求AB的長；

（2）從AB處旋轉(zhuǎn)開始計時，若旋轉(zhuǎn)6秒，此時光線AP與BC邊的交點在什么位置？若旋轉(zhuǎn)2014秒，交點又在什么位置？請說明理由.

圖2

參考答案如下所示.

解：（1）如圖2，過A點作AD⊥BC，垂足為D.因為∠BAC= 120°，AB=AC，所以∠ABC=∠C= 30°.令AB=2t.在Rt△ABD中，

在Rt△AMD中，因為∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，所以MD=AD=t.

（2）如圖3，過A點作AD⊥BC，垂足為D.當光線旋轉(zhuǎn)6秒時，設AP交BC于N點，且∠BAN=15° ×6=90°.

圖3

圖4

如圖4，設光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后光線與BC的交點為Q.由題意可知：光線從邊AB開始到第一次回到AB處需8× 2=16秒，而2014=125×16+14，即AP旋轉(zhuǎn)2014秒與旋轉(zhuǎn)14秒時和BC的交點是同一個點光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后，與BC的

【基于數(shù)學“微”實驗角度的分析】

圖5

本題注重考查學生的幾何直觀、用數(shù)學方法解決問題的能力和分類的數(shù)學思想，另外，考查了學生的數(shù)學表述能力.本題的解答思路主要分3個方向，一是數(shù)量關系答題法，二是圖形關系答題法，三是數(shù)形結合答題法.但無論采用哪種方法，只要能準確地描述交點的位置，即可判定為正確答案.圖5是筆者對1000份試卷進行的量化統(tǒng)計，這里我們忽略答案的正確與否，只看學生解題時選用的解題方法.從圖中我們可以清楚地看出，用數(shù)字表示交點位置的學生占了大多數(shù)，數(shù)形結合與圖形解答的學生基本持平，少部分學生用其他辦法解答.從眾多學生的答題紙上，筆者發(fā)現(xiàn)：好多學生都在使用數(shù)學“微”實驗幫助審題，在答題卡上，學生用鉛筆探究數(shù)學模型的痕跡明顯.例如，利用分類思想，將旋轉(zhuǎn)方向分類并作圖；利用數(shù)學的邏輯推理，思考8個點的相對位置，并根據(jù)題意分析點的最終位置；數(shù)形結合，推想射線的移動過程等.

通過上述分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學微實驗確實在解題中發(fā)揮了有效的輔助作用，不過本題的得分率只有大約0.43，可見，還是有部分學生在解題中，沒有掌握比較好的分析方法，解答上出現(xiàn)了一些問題.生物學家達爾文說：“最有價值的知識是關于方法的知識.”下面，我們一起看幾個典型錯例，以學生的失誤為鏡子，回視課堂教學，幫助以后的學生找到更好的學習方法，豐富自身的MPCK（數(shù)學學科教學知識）.

錯誤一：解直角三角形思路不暢.

錯例1：如圖6，過A作AD⊥BC.

由AB=AC，∠BAC= 120°，得∠C=∠ABC=30°.又∠BAM=15°，則∠AMD=45°，則AD=MD.設AD=x，則BD=x+

圖6

【分析】在解這一問的時候，有部分學生不會利用已知條件作等腰三角形的高.回溯課堂教學，在學習等腰三角形時，學生學習了“三線合一”的證明，學習了尺規(guī)作圖.教材上不僅安排了推理驗證，還設計了折紙驗證的數(shù)學實驗.出現(xiàn)該問題，說明有關“三線合一”的學習，沒能夠給學生留下深刻的印象.這可能與學生在學習“三線合一”時，沒能經(jīng)歷數(shù)學實驗，教師教學中忽視了動手做的過程有關系.

錯誤二：審題不透徹.

錯例2：學生在讀“……在點A處有一束紅外光線AP，從AB開始，繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)15°，到達AC后立即以相同旋轉(zhuǎn)速度返回AB……”時，搞不明白速度和角度的對應關系.再比如，在閱讀“每秒鐘旋轉(zhuǎn)15°”“……若旋轉(zhuǎn)6……”“若旋轉(zhuǎn)2014秒”時，有部分學生沒理解題意，不知道旋轉(zhuǎn)是什么意思，幅度有多大，搞不清順時針和逆時針在圖上的運動方向.

【分析】學生需要具備一定的建模能力，才能順利解決此處的問題.筆者發(fā)現(xiàn)，這里學生的主要錯誤是不會利用15°去求∠AMD的度數(shù).類似問題在第二問中也有出現(xiàn).學生搞不清6秒后射線轉(zhuǎn)了多少度，2014秒后，數(shù)學模型是什么樣的（這是學生解題中出現(xiàn)最多的錯誤）.其實，旋轉(zhuǎn)6秒就是旋轉(zhuǎn)了90°，旋轉(zhuǎn)了2014秒，也就是旋轉(zhuǎn)了15°×2014=30210°，但是要考慮到來回，所以要除以120°.如果學生能在平時多接觸一些與數(shù)學建模有關的數(shù)學實驗，比如“棋盤上馬的行蹤”“用坐標系表示點的位置”“反轉(zhuǎn)茶杯”等，就能很好地提高學生的建模能力，理清這里的邏輯關系，這樣就不會出現(xiàn)大問題了.

錯誤三：錯誤的圖形操作.

錯例3：學生畫出了如下圖形.

圖7

學生的錯誤回答是：AD⊥BC，而正確的答案是：AD⊥AB.

錯例4：如圖8所示：

圖8

很多學生錯誤地將底邊分成了8份，造成答題錯誤，而其實應該是按照角度把∠BAC分成8份.

【分析】很多成年人認為簡單的知識，但學生受到思維水平的限制，理解起來卻很困難，上述兩種錯誤充分說明了這一點.對學生讀圖、作圖能力的培養(yǎng)，一直很受教師們的關注，有些教師喜歡用機械式的方法，讓學生反復畫，但收效甚微.其原因就在于，探索過程死板乏味，不能調(diào)動學生的學習情緒，忽視了學生學習的內(nèi)驅(qū)力.而數(shù)學試驗中，常用“分割、拼合、反轉(zhuǎn)、平移”等探究手段，這些探究過程，可以提高學生觀察、想象、推理等思維能力，可以大大降低圖形構建、變換問題中的錯誤率.

錯誤四：弄錯射線方向.

錯例5：帶余除法不會用，例如：30210÷120=251.75，學生不知0.75代表什么意思，所以也就算不出答案.

【分析】按照上述解答過程，0.75×120=90，很多學生以為光線是從AB出發(fā)，轉(zhuǎn)了90度，這就搞錯了旋轉(zhuǎn)方向.其實，251是奇數(shù)，所以此時的射線AP應該從AC處向AB處旋轉(zhuǎn)，若忽略了這一點，就容易丟分.還有些學生，給出了相對模糊的答案，點P在BC的，其實這樣的點，在線段BC上有兩個，說不清楚，當然不能得分了.初中的數(shù)學教學中，滲透分類思想的途徑有很多，數(shù)學實驗是一個比較好的承載平臺，例如，“分割三角形”“拼正方形”“數(shù)格點算面積”等，通過這些數(shù)學實驗的訓練，學生不容易出現(xiàn)思維遺漏的情況.

三、啟發(fā)

1.數(shù)學實驗中數(shù)學核心知識的學習和展開，有利于拓展學生的思維

近幾年，國內(nèi)的報刊、雜志上，常能見到有關數(shù)學實驗的文章，例如，董林偉在《中學數(shù)學月刊》2007年第12期上發(fā)表文章《論開展“數(shù)學實驗”研究與實踐的意義與方法》，魏玉華教授在《中國數(shù)學教育》2013年第9期上發(fā)表文章《淺析初中數(shù)學實驗的基本特征》，姜曉剛老師在《中學數(shù)學雜志》2013年第10期上發(fā)表文章《初中數(shù)學實驗教學設計的研究與實踐》，筆者也在《中學數(shù)學教與學（人大復?。?013年第9期上發(fā)表文章《數(shù)學實驗離本趨末現(xiàn)象的反思與啟發(fā)》.這些文章，從不同的角度闡述了同一觀點：要關注數(shù)學實驗的核心數(shù)學知識.數(shù)學實驗不能流于形式，不能因為需要數(shù)學實驗而數(shù)學實驗，要關注數(shù)學方法的運用，關注數(shù)學思想的滲透.從“連中2014，24”這道題中，可以感悟到：教師在教授三角形高的有關知識時，應該讓學生多看、多畫、多比、多說、多做.通過將三角形分類，自己動手畫出它們的高，并與正確的畫法進行對比的過程，闡述自己的觀點和建議，在互動中，充分咀嚼三角形高的定義，關注數(shù)學知識的本質(zhì)屬性，同時，可以適當拓展，比如在學習三角形高的基本概念后，可以讓學生在幾何畫板上，用計算機畫出可以任意形變的三角形的高，觀察哪些圖形的高在三角形內(nèi)部，哪些圖形的高在三角形外部，哪些圖形的高在邊上，并思考為什么.通過這樣的學習，學生的數(shù)學思維將越發(fā)成熟，考慮問題日趨縝密，解題能力隨之提高.

2.關注數(shù)學實驗對基本概念的理解、建構數(shù)學模型能力的培養(yǎng)功能

“新課標（2011年版）”中有這樣的描述：“數(shù)學教學應根據(jù)具體的教學內(nèi)容，注意使學生在獲得間接經(jīng)驗的同時也能夠有機會獲得直接經(jīng)驗，即從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.”而“連中2014，24”，對學生的考查方式，與新課標的要求相吻合.一方面，要求學生能夠建構合適的數(shù)學模型，另一方面，要求學生能對該模型進行分析和闡述.數(shù)學實驗不僅能幫助學生獲得直接經(jīng)驗，也可以促進學生對基本概念的理解.例如，學生經(jīng)歷“畫三角形的高”這個數(shù)學實驗，首先要鑒別三角形高的定義：“在三角形中，從一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點與垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.”然后，圍繞高的定義，通過動態(tài)操作和演示，展開學習，夯實了對三角形的高的概念的認識，學生定能準確地描述垂直的方向，不會犯搞不清旋轉(zhuǎn)方向的錯誤.

3.數(shù)學實驗不能停留在形式上，應以學生為中心展開

瑞士教育家亞美路說過：“教育最偉大的技巧是：知所啟發(fā).”“新課標（2011年版）”闡述到：“教師應當努力開發(fā)制作簡便實用的教具和學具，有條件的學校可以建立‘數(shù)學實驗室’供學生使用，以拓寬它們的學習領域，培養(yǎng)他們的實踐能力……”.數(shù)學實驗作為學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、驗證猜想的有效手段，越來越多地出現(xiàn)在數(shù)學課堂上，但與此同時，有些教師觀念沒有轉(zhuǎn)變，害怕學生做的不到位，采用口頭講述代替學生的實驗操作，還有些老師以缺少實驗教具為借口，或繞開數(shù)學實驗，避之不談，或用多媒體演示，簡單粗暴，還有些教師是為了實驗而實驗，只關注數(shù)學實驗的“形”，忘了數(shù)學實驗的“質(zhì)”，漸漸地數(shù)學實驗成為學習上的擺設，在這些教師的“教育”下，學生最終還是缺失了知識的源初體驗，這種操作上的簡略化，理解上的單調(diào)化，害苦了面前的莘莘學子.數(shù)學實驗應照顧學生的感受，顧及學習的需要，對于“連中2014，24”，如果學生能夠在三角形高的學習中，多動手做做、用嘴說說，那么他們對高的認識，就不會僅停留在學過的水平上，而會有手感，有觸感，直觀、具體和形象.通常這些感覺是伴隨人一生的，不會消失.可見，教師的教學應以學生為中心，給學生充分表達自己看法的機會，退教還學，數(shù)學實驗的教學效果，必然大幅提升，應付中考這樣的升學考試也會游刃有余.

4.教師高水平的“MPCK”對教學的正誘導

美國學者舒爾曼（Shulman）在20世紀80年代中期，提出了“缺失的范式”，并根據(jù)研究提出了“學科教學知識”（即Pedagogical Content Knowledge，簡稱PCK）的定義.20世紀70年代，隨著認知心理學的興起，學者們研究的重點從觀察教師的行為與技能轉(zhuǎn)向關注教師的認知過程．學者們逐漸認識到：教師的學科教學知識作為教師認知活動的基礎之一，深刻影響著教師的課堂教學行為，進而影響學生的學習效果.MPCK也就是“Maths Pedagogical Content Knowledge（數(shù)學學科教學知識）”，教師應該善于挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)他們包括學習能力在內(nèi)的多方面能力.有時候，我們會遇到一些教師，自己解題能力相當出色，但他總是教不出成績出色的學生，或者所帶班級的成績不理想，這類教師往往忽略了“MPCK”對教學的影響.數(shù)學實驗的設計、教學、評價，都依賴于一定水平的MPCK.對于“連中2014，24”中關于高的數(shù)學實驗教學中，如果教師僅僅讓學生回顧小學時學過的高的作法，而不去用尺規(guī)操作，那么教學效果肯定是低效甚至無效的，對于小學接觸過的東西，如果沒有新內(nèi)容的出現(xiàn)，很難激發(fā)學生的學習興趣.教師如能夠基于初中生的理解程度，適時地安排一些小游戲、小實驗、小競賽，教學效果肯定比平鋪直述來的好.例如：“讓同桌兩個人為一個小組，彼此畫出3個形狀不同的三角形，讓同桌畫出它們各自的高，看誰畫的準確.”現(xiàn)代教育理論告訴我們，教師要對教育學和心理學加以了解.只有掌握了教育的技巧、摸清了學生心理的因素，多方因素有機結合，才能進行高效的教學.在此基礎上，結合數(shù)學學科教學知識（MPCK），科學地開展數(shù)學實驗，就可以讓學生獲得想到的數(shù)學知識，在學習中占據(jù)主動.達成“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的要求.

一次閱卷的經(jīng)歷是短暫的，但它留給我們的思考空間是廣泛的.數(shù)學作為科學的皇后，被譽為“人類思維的體操”.數(shù)學實驗是學生發(fā)現(xiàn)問題、科學思考、解決困惑的必然經(jīng)歷，而數(shù)學微實驗更加注重實驗操作的便捷性、實用性，它豐富了數(shù)學實驗的內(nèi)容，是學生學習數(shù)學的好幫手，它必然會成為學生學習中常用的口袋工具，體現(xiàn)了數(shù)學實驗教學的立本原初.

1.董林偉.論開展“數(shù)學實驗”研究與實踐的意義與方法［J］.中學數(shù)學月刊，2007（12）.

2.魏玉華.淺析初中數(shù)學實驗的基本特征［J］.中國數(shù)學教育，2013（9）.

3.姜曉剛.初中數(shù)學實驗教學設計的研究與實踐［J］.中學數(shù)學雜志，2013（10）.

4.王磊.數(shù)學實驗離本趨末現(xiàn)象的反思與啟發(fā)［J］.中學數(shù)學（下），2013（7）.

5.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.Z