●許欽彪(稽山中學(xué)浙江紹興312000)

數(shù)學(xué)需要“按圖索驥”
——數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想方法

●許欽彪(稽山中學(xué)浙江紹興312000)

“用數(shù)來(lái)研究形，用形來(lái)表達(dá)數(shù)，探究數(shù)與形的關(guān)系和轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想方法.從高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)和主要內(nèi)容來(lái)看，代數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、解析幾何、立體幾何、坐標(biāo)系、幾何向量等等，都是數(shù)形結(jié)合思想研究的結(jié)果.因而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要充分利用數(shù)形結(jié)合這一常用的思想方法.全國(guó)各地的高考要求明確和特別重視數(shù)形結(jié)合思想的考查，尤其在客觀題中對(duì)思維能力要求較高的最后幾題，基本上考查的是數(shù)形結(jié)合的思想、按圖索驥的方法.本文通過(guò)一些方式、步驟、實(shí)例來(lái)說(shuō)明在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中如何養(yǎng)成該數(shù)學(xué)思想，使數(shù)形結(jié)合成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決問(wèn)題和探索創(chuàng)新的主動(dòng)、自覺、自然的思維方式.

1 看圖說(shuō)話是基礎(chǔ)

看圖說(shuō)話是啟發(fā)幼兒認(rèn)知能力的常用方法，其實(shí)也是數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種基本方法.數(shù)與形可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)美，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也可以激發(fā)培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和探究愿望.在教學(xué)中有意識(shí)地引入這類問(wèn)題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是很有益處的.

圖1

例1四面體A－BCD及其三視圖如圖1所示，過(guò)棱AB的中點(diǎn)E作平行于AD，BC的平面交棱BD，DC，CA于點(diǎn)F，G，H.

1)證明:四邊形EFGH是矩形;

2)求直線AB與平面EFGH的夾角θ的正弦值.

(2014年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

實(shí)施新課程標(biāo)準(zhǔn)以來(lái)，有關(guān)三視圖的問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)題型之一，這是一類典型的“看圖說(shuō)話”題.

分析從三視圖看出主要的2個(gè)條件:一是有關(guān)的棱長(zhǎng)，并得到BD=DC=2，AD=1，;二是AD⊥DB，AD⊥DC.將這些信息標(biāo)注在四面體的立體圖上，容易得到其證明及解法.

1)由AD∥面EFGH，面ADB∩面EFGH=EF，面ADC∩面EFGH=HG，知

從而EFGH是平行四邊形，且F，G，H是各棱的中點(diǎn).又AD⊥DB，AD⊥DC，得AD⊥面DBC，從而

因此四邊形EFGH是矩形.

圖2

2)如圖2，取AD的中點(diǎn)P，EH的中點(diǎn)R，聯(lián)結(jié)PE，PH，PR.由P，R，H是各側(cè)棱的中點(diǎn)，知PF∥AB，，面EPH∥面BDC.又AD⊥面BDC，AD⊥面EPH，知

由AD∥EF，知

又PE=PH=1，得

二次問(wèn)題，如二次方程根的個(gè)數(shù)、根的分布范圍等，用代數(shù)解法有時(shí)會(huì)產(chǎn)生失誤，而利用圖形往往更形象、直觀、準(zhǔn)確.根據(jù)筆者調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)和學(xué)生解答時(shí)，比較習(xí)慣于用代數(shù)方法，因此應(yīng)注意提倡數(shù)形結(jié)合在這方面的應(yīng)用.

例2當(dāng)k為何值時(shí)，方程組有4組實(shí)數(shù)解?

分析用代數(shù)方法容易產(chǎn)生2種錯(cuò)誤.

錯(cuò)誤1將x2=y－k代入，得

若要有4組實(shí)數(shù)解，還須x2=y－k＞0，即

錯(cuò)誤2由得

事實(shí)上這2者是不等價(jià)的.

正解由得

要有4組實(shí)際數(shù)解，須滿足

用數(shù)形結(jié)合可以避免以上容易錯(cuò)漏的問(wèn)題.如圖3，x2+ 2y2=2是一個(gè)固定的橢圓，y= x2+k是頂點(diǎn)為(0，k)的向上移動(dòng)的拋物線.容易知道2條曲線相切時(shí)，，因此有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

圖3

同樣，由圖還可以得到0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)交點(diǎn)時(shí)的各種解答.而用代數(shù)方法，對(duì)無(wú)解、1組、2組、3組的解法將要考慮各種情況的計(jì)算.

2 按圖索驥找規(guī)律

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要養(yǎng)成一個(gè)好習(xí)慣，就是在作圖時(shí)，要充分利用圖形來(lái)分析，從圖形分析中探索條件、目標(biāo)之間的關(guān)系，探索解決問(wèn)題的途徑，這就是“按圖索驥”.按圖索驥的原意是按照?qǐng)D形尋找需要的目標(biāo)，是一種循規(guī)蹈矩、教條主義的思想方式，而數(shù)學(xué)思想是嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的思想.在數(shù)學(xué)上，可以把按圖索驥提升理解為“按圖形尋方法”的思想，那么，按圖索驥實(shí)際上是一種重要的數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的思想方法.作圖分析可以幫助我們知道“已知什么，要求什么，已知與要求的關(guān)系”，從而知道“該怎么做”.形象地說(shuō)，作圖分析相當(dāng)于作一份交通地圖，把出發(fā)點(diǎn)、目的地標(biāo)注清楚，從而來(lái)尋找出發(fā)點(diǎn)到目的地的最佳途徑.有些數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件信息量較多且難以整合，而在圖形上一一標(biāo)注后就容易得到它們之間的溝通橋梁.有些復(fù)雜、陌生的問(wèn)題，通過(guò)圖形可以轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、熟悉的問(wèn)題，更有一些問(wèn)題，經(jīng)過(guò)作圖能直接得到答案.

例3已知函數(shù)f(x)=x2+mx－1，若對(duì)于x∈［m，m+1］，都有f(x)＜0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______.

(2014年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第10題)

分析代數(shù)方法通常是由f(x)＜0得

對(duì)于一個(gè)高考填空題來(lái)說(shuō)，要求盡量準(zhǔn)確、快速解答.以上的方法如果根式再?gòu)?fù)雜一點(diǎn)，那么解根式不等式的時(shí)間會(huì)更費(fèi)，也更容易產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤.

如果用數(shù)形結(jié)合作圖分析，就比較簡(jiǎn)潔明了.

如圖4，f(x)開口向上，根據(jù)題意，得

這樣就避免了解根式不等式的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，大大簡(jiǎn)化了解答.

圖4

圖5

例4在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(－1，0)，，C(3，0)，動(dòng)點(diǎn)D滿足|CD|= 1，則的最大值為______.

(2014年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

分析如圖5，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D(x，y)，由條件知D是定圓周上的動(dòng)點(diǎn)，所求目標(biāo)用坐標(biāo)代入得

3 數(shù)形轉(zhuǎn)化達(dá)目的

有了看圖說(shuō)話的基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)，掌握了按圖索驥的方法規(guī)律，就會(huì)逐步自然地利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.需要指出的是能用數(shù)形結(jié)合的應(yīng)盡量用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決:一是容易找到解題途徑;二是可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程;三是減少計(jì)算失誤;四是避開困難和錯(cuò)誤;五是確保準(zhǔn)確的結(jié)果.

數(shù)學(xué)教學(xué)和高考中的函數(shù)問(wèn)題是重要內(nèi)容，也是考試熱點(diǎn)之一.涉及到函數(shù)的圖像問(wèn)題可以充分利用數(shù)形結(jié)合來(lái)看圖說(shuō)話，按圖索驥來(lái)解決.

例5已知f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈［0，3］時(shí).若函數(shù)y=f(x)－a在區(qū)間［－3，4］上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

(2014年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第13題)

分析這是周期函數(shù)分段討論問(wèn)題，用代數(shù)法討論當(dāng)然也可以解決，但需要較長(zhǎng)的時(shí)間.考慮到所給函數(shù)能作圖，就應(yīng)該充分利用圖形.

圖6

圖7

例6min{a，b}表示a，b中的最小值.若函數(shù)f(x)=min{|x|，|x+t|}的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則t的值是( )

A.－2 B.2 C.－1 D.1

(2010年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

分析如圖7，畫出函數(shù)y=|x|的圖像，由圖像關(guān)系得知y=|x+t|的圖像是由y=|x|的圖像平移得到.要f(x)的圖像(實(shí)線部分)關(guān)于直線對(duì)稱，必須使t=1.

例7設(shè)函數(shù)f(x)=4sin(2x+1)－x，則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點(diǎn)的是( )

A.［－4，－2］ B.［－2，0］

C.［0，2］ D.［2，4］

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

分析此題作為選擇題，如果用函數(shù)討論將花費(fèi)較長(zhǎng)時(shí)間并有一定難度，而由作圖則可以快捷準(zhǔn)確地看出結(jié)果.

如圖8，分別作出y=sin(2x+1)和y=x的圖像，從2個(gè)圖像的交點(diǎn)情形可以看出:2個(gè)函數(shù)在［－4，2］上不存在交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)在［－4，2］上不存在零點(diǎn).故選A.

圖8

圖9

例8點(diǎn)P(x，y)在直線4x+3y=0上，且x，y滿足－14≤x－y≤7，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的取值范圍是( )

A.［0，5］ B.［0，10］

C.［5，10］ D.［5，15］

(2014年海南省數(shù)學(xué)高考文科試題第10題)

分析如圖9，分別作出區(qū)域－14≤x－y≤7及直線4x+3y=0，求出交點(diǎn)A(6，8)到原點(diǎn)O的距離即為最大值10，而最小值顯然為0.故選B.

例9已知函數(shù)的圖像與函數(shù)y2=kx－2的圖像恰有2個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.

(2012年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析此題顯然要利用函數(shù)圖像“按圖索驥”.如圖10作出的圖像，因?yàn)閥2= kx－2過(guò)定點(diǎn)P(0，－2)，kPA=0，kPB=4，要y2與y1有2個(gè)交點(diǎn)，須0＜k＜1或1＜k＜4.

此類問(wèn)題往往2個(gè)圖像中有一個(gè)是確定的，另一個(gè)是動(dòng)態(tài)的，但要充分注意到動(dòng)態(tài)圖像的“定值”特征，比如過(guò)定點(diǎn)的特征.

圖10

圖11

例10設(shè)函數(shù)，g(x)=ax2+bx，若y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且僅有2個(gè)不同的公共點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以下判斷正確的是( )

A.當(dāng)a＜0時(shí)，x1+x2＜0，y1+y2＞0

B.當(dāng)a＜0時(shí)，x1+x2＞0，y1+y2＜0

C.當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x2＜0，y1+y2＜0

D.當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x2＞0，y1+y2＞0

(2012年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第12題)

分析作出f(x)的圖像，注意到g(x)必過(guò)原點(diǎn)，對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行討論.

當(dāng)a＜0時(shí)，要有2個(gè)交點(diǎn)，只有如圖11所示的形狀.由A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)C(x1，y1)可知，顯然有

當(dāng)a＞0時(shí)，同樣可得x1+x2＜0，y1+y2＞0.

例11定義運(yùn)算設(shè) f(x)=(2x－1)*(x－1)，且關(guān)于x的方程f(x)= m(其中m∈R)恰有3個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是______.

(2012年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

圖12

圖13

分析由定義的運(yùn)算得

作出其圖像(如圖12)，由圖可知f(x)=m有3個(gè)不同根的條件是.不妨設(shè)x1＜x2＜x3，由圖可知x2＞0，x2+x3=1，從而

數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用非常廣泛，在其他內(nèi)容和題型上也有重要運(yùn)用.

例12設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF1|=|F1F2|，且點(diǎn)F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為( )

A.3x±4y=0 B.3x±5y=0

C.4x±3y=0 D.5x±4y=0

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考試題理科第8題)

分析此題的關(guān)鍵是找a，b的關(guān)系，難點(diǎn)是把條件轉(zhuǎn)換成a，b，c的關(guān)系式，較好的方法就是作圖，其中F2T⊥PF1，把條件在圖中標(biāo)注出來(lái)(如圖13).

由圖得到關(guān)系式

例13設(shè)x＞0時(shí)，均有［(a－1)x－1］(x2－ax－1)≥0，則a =______.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

分析作為客觀題的最后一題，有一定的難度，主要考查的是靈活處理問(wèn)題的能力以及數(shù)形結(jié)合的思想.

根據(jù)當(dāng)年的考試和評(píng)卷情況，此題的得分率是不高的，其原因是缺少數(shù)形結(jié)合思想和按圖索驥、看圖說(shuō)話的能力.許多考生陷入了常見的2種思路模式.

等價(jià)于f(x)≥0在(0，+∞)恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)討論求解.

這2種方法過(guò)程繁雜，有些學(xué)生甚至做不下去，半途而廢.而用數(shù)形結(jié)合思想解決此題，則比較清楚明了.

先把題設(shè)轉(zhuǎn)化為

分別作出f(x)=ax，g(x)=x+1，h(x)=x2－1的圖像(如圖14).當(dāng)x＞0時(shí)，滿足

等價(jià)于當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)的圖像在g(x)與h(x)之間，從而f(x)=ax只能過(guò)g(x)與h(x)的交點(diǎn)，此時(shí).

也可以直接從y1=(a－1)x－1，y2=x2－ax－1的圖像都過(guò)點(diǎn)P(0，－1)分析.如圖15，y1的圖像與x軸的交點(diǎn)必須在x正半軸上，否則不能保證x＞0時(shí)，y1y2≥0，因此a＞1.這時(shí)y2的圖像必須過(guò)點(diǎn)才能使x＞0時(shí)，恒有y1y2≥0.代入得

圖14

圖15

例14已知平面向量α，β(其中α≠0，β≠0)滿足|β|≠1，且α－β的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

本題直接用向量方法求解有難度，可以利用數(shù)形結(jié)合的思想將其轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，然后按圖索驥.

數(shù)形結(jié)合不但是探究數(shù)學(xué)的思想、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，其實(shí)也是數(shù)學(xué)命題的一種根據(jù)和來(lái)源.

例15記設(shè)a，b為平面向量，則( )

A.min{|a+b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}

B.min{|a+b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C.min{|a+b|2，|a－b|2}≥|a|2+|b|2

D.min{|a+b|2，|a－b|2}≤|a|2+|b|2

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

此題就是由“平行四邊形的對(duì)角線平方之和等于四邊平方之和”這一結(jié)論類比成向量而來(lái)的.

圖16

圖17

例16設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，求證:

此題用代數(shù)方法是難以解決的，從根式內(nèi)容和結(jié)構(gòu)上分析，可以利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題.可以看成是以x，y為2條邊長(zhǎng)、夾角為60°的三角形的對(duì)邊長(zhǎng)，另外2個(gè)根式也可以同樣看待.而所需證明的不等式是a+b＞c的形式，從圖形來(lái)說(shuō)就是三角形的兩邊之和大于第三邊.因此可構(gòu)造如圖17所示的三棱錐，其中3條側(cè)棱分別為x，y，z，3個(gè)頂角都為60°，則底面三角形的3條邊長(zhǎng)顯然有

從以上數(shù)形結(jié)合的解法可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn):如果改變頂角的大小，比如15°，30°，45°，75°等，3個(gè)頂角也可以不一樣，這樣可以得到更復(fù)雜的同類不等式，用代數(shù)方法較難解決，而用圖形則簡(jiǎn)便得多.

數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用廣泛，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維、看圖說(shuō)話、按圖索驥的能力意義重大.希望本文能對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育有一些積極的作用.