鮑 杰，葛 靜

(華中科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

基于MCS方法的高斯仿射利率期限結(jié)構(gòu)模型研究

鮑 杰，葛 靜

(華中科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

本文在最小卡方估計(jì)方法基礎(chǔ)上研究了高斯仿射利率模型的參數(shù)識(shí)別和估計(jì)問(wèn)題。以標(biāo)準(zhǔn)化高斯模型為起點(diǎn)，從結(jié)構(gòu)化模型和簡(jiǎn)約化模型參數(shù)的函數(shù)關(guān)系出發(fā)研究高斯仿射模型的可識(shí)別性，最小卡方估計(jì)量繼承了結(jié)構(gòu)化模型極大似然估計(jì)量的所有漸進(jìn)性質(zhì)并保證了參數(shù)估計(jì)量的可靠性。以上交所2006-2013年隱含于國(guó)債價(jià)格月度數(shù)據(jù)的零息票收益率為樣本采用最小卡方方法實(shí)證研究了高斯仿射期限模型，結(jié)論表明高斯仿射模型很好的擬合了觀測(cè)的期限結(jié)構(gòu)，并且整體上看簡(jiǎn)約型和結(jié)構(gòu)型參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的優(yōu)劣具有一致性。

高斯仿射期限結(jié)構(gòu)；可識(shí)別性；極大似然估計(jì)量；最小卡方估計(jì)量

1 引言

在利率市場(chǎng)化背景下，如何有效的估計(jì)和預(yù)測(cè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率期限結(jié)構(gòu)成為金融風(fēng)險(xiǎn)管理和衍生品定價(jià)的關(guān)鍵問(wèn)題之一。目前已有大量文獻(xiàn)集中于利率期限結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)演變研究，發(fā)展過(guò)程經(jīng)歷了由一般均衡模型到無(wú)套利模型、由單因子利率模型到多因子模型，這一變化的驅(qū)動(dòng)因素是模型能否快速有效地捕捉到市場(chǎng)信息，準(zhǔn)確地給出利率的預(yù)測(cè)值。其中，在無(wú)套利框架下，由Vasicek[1]，Duffie和Kan Rui[2]，Dai Qiang和Singleton[3]以及Duffee[4]建立的高斯仿射模型成為研究利率期限結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。這類模型的優(yōu)勢(shì)在于以完全解析的方式給出了資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格，同時(shí)也以解析的方式給出模型參數(shù)對(duì)資產(chǎn)價(jià)格變化的邊際影響。Duffee[4]，Cochrane和Piazzesi[5]利用該方法測(cè)度利率期限結(jié)構(gòu)中的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，Christensen, Diebold和 Rudebusch[6]給出的無(wú)套利動(dòng)態(tài)Nelson和Siegel[7]利率模型是帶約束的高斯仿射模型，他們檢驗(yàn)了P-測(cè)度下模型參數(shù)的不同約束條件對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)的影響。

高斯仿射期限結(jié)構(gòu)模型即收益率由Nl個(gè)不可觀測(cè)的定價(jià)因子線性表示，定價(jià)因子滿足受約束的VAR,盡管它具有諸多優(yōu)勢(shì)，但是同時(shí)這類模型在理論層面和實(shí)證層面也存在一定的不足：在理論層面，高斯仿射期限結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的存在識(shí)別性問(wèn)題。如果模型的同一個(gè)輸出值存在多個(gè)輸入?yún)?shù)向量，那么這個(gè)模型在這點(diǎn)就是不可識(shí)別的，在統(tǒng)計(jì)上也就無(wú)法使用觀測(cè)的數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)模型的參數(shù)，Collin-Dufresne，Goldstein和Jones[8]，A?t-Sahalia和Kimmel[9]證明DaiQiang和Singleton[3]的經(jīng)典表示是不可識(shí)別的；在實(shí)證研究層面，由于似然函數(shù)的高度非線性和似然曲面的多峰性問(wèn)題，采用數(shù)值方法對(duì)高斯模型的參數(shù)估計(jì)時(shí)對(duì)初始值有嚴(yán)格的要求。Kim[10]指出由于無(wú)套利模型待估參數(shù)較多以及參數(shù)和收益率之間的非線性關(guān)系，數(shù)值計(jì)算需要尋找一個(gè)較好的初始值以滿足非線性系統(tǒng)的收斂性。同時(shí)，Ang和Piazzesi[11]也指出在使用極大似然法估計(jì)多因子模型參數(shù)時(shí)，高度非線性系統(tǒng)需要一個(gè)較好的初始值以滿足系統(tǒng)的收斂性。通常對(duì)收斂性問(wèn)題的處理方法是用數(shù)百個(gè)初始值進(jìn)行搜索直到系統(tǒng)穩(wěn)定，但是Hamilton和Wu[12]證明這種方法并不能保證得到的參數(shù)是全局最大值。

上述高斯仿射模型存在的參數(shù)可識(shí)別性和實(shí)證研究參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題，可以從結(jié)構(gòu)化模型和簡(jiǎn)約化模型參數(shù)的函數(shù)關(guān)系出發(fā)同時(shí)得到解決。在模型參數(shù)的可識(shí)別性方面，可以直接從結(jié)構(gòu)型參數(shù)和簡(jiǎn)約型參數(shù)的函數(shù)關(guān)系得到，結(jié)構(gòu)型衍生出的簡(jiǎn)約化模型參數(shù)估計(jì)量是一個(gè)可以識(shí)別的OLS估計(jì)量，如果兩者參數(shù)個(gè)數(shù)相等，則結(jié)構(gòu)化模型恰好可識(shí)別；如果結(jié)構(gòu)化模型參數(shù)少于簡(jiǎn)約化模型，它則過(guò)度識(shí)別。在參數(shù)估計(jì)的實(shí)證層面，最小化卡方估計(jì)方法(Minimum-Chi-Square，MCS)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)約化參數(shù)和結(jié)構(gòu)化參數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。Rothenberg[13]將MCS方法應(yīng)用于參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷，證明當(dāng)簡(jiǎn)約型估計(jì)量是無(wú)約束的MLE以及權(quán)重矩陣是信息矩陣時(shí)，最小卡方估計(jì)量(Minimum-Chi-SquareEstimation，MCSE)與完全信息MLE是漸進(jìn)等價(jià)的。在仿射期限結(jié)構(gòu)模型中，Hamilton和Wu[12]證明MCSE能夠抓住MLE估計(jì)量的所有漸進(jìn)優(yōu)勢(shì)并且它們的漸進(jìn)協(xié)方差相等，同時(shí)避免了與MLE相關(guān)的大量數(shù)值問(wèn)題。雖然簡(jiǎn)約型和結(jié)構(gòu)型參數(shù)的轉(zhuǎn)換常常也包含數(shù)值計(jì)算，但是包含的數(shù)值成分遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于MLE估計(jì)結(jié)構(gòu)化模型的數(shù)值成分。在結(jié)構(gòu)化模型恰好可識(shí)別的情況下，MCS方法比MLE方法有更大的優(yōu)勢(shì)，理論上可以確定得到的參數(shù)估計(jì)量是最大似然估計(jì)量，而在過(guò)度識(shí)別的情況下，MCS方法仍然有效，此時(shí)參數(shù)是無(wú)約束簡(jiǎn)約型參數(shù)估計(jì)量的函數(shù)。

最近的利率期限結(jié)構(gòu)文獻(xiàn)包括Christensen，Diebold和Rudebusch[6]給出了無(wú)套利動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel利率模型，理論上將DNS模型的無(wú)套利化，并給出了水平因子，斜率因子和曲率因子的簡(jiǎn)潔表示，與以前的利率期限結(jié)構(gòu)模型相比，它顯著地提升了實(shí)證的可操作性和預(yù)測(cè)效果。Joslin，Singleton和ZhuHaoxiang[14]給出了一個(gè)仿射期限結(jié)構(gòu)模型的經(jīng)典表示，理論上極大的提高了似然函數(shù)的收斂性。Collin-Dufresne，Goldstein和Jones[8]給出了基于零息票利率衍生產(chǎn)品的期限結(jié)構(gòu)表示，指出了使用可觀測(cè)變量而不是不可觀測(cè)的潛在變量表示利率期限結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)。吳恒煜等[17]應(yīng)用兩因子Vasicek模型在狀態(tài)空間框架下結(jié)合卡爾曼濾波方法研究了上海證券交易所國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)，研究表明GumbelCopula和混合Copula能較好的刻畫(huà)1年期和20年期利率觀測(cè)誤差的相依性，并且GumbelCopula能夠更有效地捕捉到國(guó)債投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。周榮喜和王曉光[18]構(gòu)建了三因子CIR過(guò)程,采用卡爾曼濾波估計(jì)方法并利用蒙特卡羅模擬對(duì)我國(guó)國(guó)債進(jìn)行定價(jià)預(yù)測(cè)，結(jié)論表明多因子模型要優(yōu)于單因子模型，雙因子模型要略優(yōu)于三因子模型，為國(guó)債的合理定價(jià)提供了技術(shù)支持。文興易和黎實(shí)[19]提出了基于局部線性逼近DNS模型，結(jié)果表明該模型的無(wú)論是樣本內(nèi)的擬合效果還是樣本外的預(yù)測(cè)效果均優(yōu)于原模型。

2 高斯仿射期限結(jié)構(gòu)模型及實(shí)證方法

首先建立離散情形下的高斯仿射期限結(jié)構(gòu)模型，給出Q-測(cè)度和P-測(cè)度下的期限結(jié)構(gòu)的表示；然后從Dai和Singleton[3]的標(biāo)準(zhǔn)化表示出發(fā)，從結(jié)構(gòu)化模型和簡(jiǎn)約化模型的關(guān)系角度研究結(jié)構(gòu)化模型參數(shù)的可識(shí)別性；最后給出結(jié)構(gòu)化模型的MCS估計(jì)方法。

2.1 高斯仿射模型

考慮一個(gè)(M×1)的向量Ft，它的動(dòng)態(tài)性由一個(gè)高斯自回歸過(guò)程表示：

Ft+1=c+ρFt+∑ut+1

(1)

其中，ut+1～i.i.d.N(0,IM)。由這個(gè)表示可以得到Ft+1的條件分布：

Ft+1|Ft,Ft-1…F1～N(μt,∑∑′)

μt=c+ρFt

(2)

令rt表示單期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，假定Ft包含了價(jià)格變化的所有因素，則時(shí)刻t貼現(xiàn)資產(chǎn)的價(jià)格是Pt(Ft)。在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，貼現(xiàn)資產(chǎn)的價(jià)格滿足：

Pt(Ft)=exp(-rt)Et[Pt+1(Ft+1)]=exp(-rt)∫Pt+1(Ft+1)φ(Ft+1;μt,∑∑′)dFt+1

(3)

其中，φ(y;μ,Ω)是M維的正態(tài)密度函數(shù)，具體可以表示為：

(4)

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避投資者而言，貼現(xiàn)資產(chǎn)價(jià)格更為一般的情形是(3)式可以表示為：

Pt(Ft)=Et[Pt+1(Ft+1)Mt,t+1]=∫Pt+1(Ft+1)[Mt,t+1φ(Ft+1;μt,∑∑′)]dFt+1

(5)

其中，Mt,t+1表示定價(jià)核。在仿射利率期限結(jié)構(gòu)中，給出了一個(gè)特殊的定價(jià)核：

Mt,t+1=exp[-rt-(1/2)λt′λt-λt′ut+1]

(6)

其中λt是(M×1)維向量表示投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，λt=0是風(fēng)險(xiǎn)中性的情形。由(4)和(6)可以得到：

(7)

(8)

仿射期限結(jié)構(gòu)模型進(jìn)一步假定風(fēng)險(xiǎn)因子的市場(chǎng)價(jià)格是因子的仿射函數(shù)：

λt=λ+ΛFt

(9)

cQ=c-∑λ

(10)

ρQ=ρ-∑Λ

(11)

(12)

假定單期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率同樣是風(fēng)險(xiǎn)因子的仿射函數(shù)：rt=δ0+δ1′Ft

(13)

在上述假定下，Ang和Piazzesi[11]證明n-期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)零息票債券的收益率可以表示為：

(14)

(15)

(16)

如果知道Ft的值以及cQ,ρQ,∑,δ0和δ1的值，就可以預(yù)測(cè)任意期限n的收益率。

在以上的分析中，仿射期限結(jié)構(gòu)模型存在三套參數(shù)：(1)P-測(cè)度下的參數(shù)c、ρ和∑；(2)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的參數(shù)λ和Λ；(3)Q-測(cè)度下的參數(shù)cQ,ρQ和∑。如果知道了這三套參數(shù)中的任意兩套則可以利用(10)和(11)得出第三套參數(shù)。

(17)

2.2 高斯仿射模型的識(shí)別

在高斯仿射期限結(jié)構(gòu)模型中，不存在觀測(cè)誤差的Nl個(gè)收益率滿足一個(gè)施加約束條件的VAR。從結(jié)構(gòu)化模型到簡(jiǎn)約型的VAR模型，根據(jù)兩模型參數(shù)的映射關(guān)系可以判斷出結(jié)構(gòu)型參數(shù)是否可識(shí)別。在一個(gè)映射關(guān)系中，如果有兩個(gè)不同的結(jié)構(gòu)型參數(shù)值對(duì)應(yīng)于同一個(gè)簡(jiǎn)約型參數(shù)值，那么結(jié)構(gòu)化模型的參數(shù)就是不可識(shí)別的。

在高斯仿射過(guò)程的經(jīng)典表示中，DaiQiang和Singleton[3]對(duì)P-測(cè)度下因子過(guò)程施加的標(biāo)準(zhǔn)化條件為：Σ=INl，δ1≥0，c=0以及ρ為下三角矩陣；Le，DaiQiang和Singleton[16]對(duì)Q-測(cè)度下因子過(guò)程施加的標(biāo)準(zhǔn)化條件為：Σ=INl，δ1≥0，cQ=0以及ρQ為下三角矩陣。本文結(jié)合這兩種標(biāo)準(zhǔn)化條件，給出高斯仿射模型的因子過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)化條件：Σ=INl，δ1≥0，c=0以及ρQ為下三角矩陣。將該條件代入(1)然后方程兩邊同時(shí)左乘以B1得到如下簡(jiǎn)約型VAR方程：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

注：每一行中的“√”表示結(jié)構(gòu)化模型參數(shù)到簡(jiǎn)約化模型參數(shù)映射的元素。

(26)

(27)

2.3 高斯仿射模型的估計(jì)

由于仿射期限結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)約型參數(shù)可以通過(guò)OLS方法獲得，因此一個(gè)更為可行的方法是用簡(jiǎn)約模型參數(shù)的最大似然性代替結(jié)構(gòu)模型直接對(duì)參數(shù)估計(jì)的最大似然性，然后將參數(shù)估計(jì)量在兩者之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

2.3.1 最小卡方估計(jì)方法

令π表示簡(jiǎn)約模型的參數(shù)向量(VAR的OLS系數(shù))，(π;Y)表示全樣本的對(duì)數(shù)似然函數(shù)，=argmax(π;Y)表示完全信息似然函數(shù)估計(jì)量，是信息矩陣的一致估計(jì)量：

可以通過(guò)計(jì)算通常的Wald統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)已知參數(shù)向量的函數(shù)π=g(θ)：

(28)

對(duì)于恰好可識(shí)別的情形，(28)式的值恰好為零，不失一般性的最小化如下表達(dá)式：

(29)

2.3.2 高斯仿射模型的參數(shù)估計(jì)

對(duì)于Ne=1的情形即模型恰好可識(shí)別，給出結(jié)構(gòu)化模型的參數(shù)估計(jì)值。簡(jiǎn)約化模型的參數(shù)向量可表示為：

在Nl=3和Ne=1的情況下，根據(jù)表1中兩類模型之間的映射關(guān)系，最小化(29)使得結(jié)構(gòu)型參數(shù)通過(guò)簡(jiǎn)約型參數(shù)轉(zhuǎn)換得到，具體步驟如下：

(2)ρQ和δ1的值可以用數(shù)值方法解(24)和(26)得到：

(3)ρ的值可以對(duì)(21)用解析的方法得到：

(4)通過(guò)數(shù)值求解(20)和(23)式可以得到δ0和cQ的值：

3 高斯仿射期限結(jié)構(gòu)的實(shí)證研究

與理論部分保持一致，結(jié)合簡(jiǎn)約模型和結(jié)構(gòu)化模型參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，高斯仿射期限結(jié)構(gòu)模型MCS方法的實(shí)證研究主要包含兩個(gè)部分：其一，簡(jiǎn)約模型的參數(shù)估計(jì)。簡(jiǎn)約模型實(shí)質(zhì)上是一個(gè)VAR模型，直接采用OLS方法估計(jì)；其二，結(jié)構(gòu)化模型的參數(shù)估計(jì)。利用2.3.2部分簡(jiǎn)約模型和結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，采用MCS方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)約型參數(shù)向結(jié)構(gòu)型參數(shù)的轉(zhuǎn)換。

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源及處理

隨著中國(guó)資本市場(chǎng)的不斷深化發(fā)展和創(chuàng)新，中國(guó)國(guó)債期限結(jié)構(gòu)也在不斷豐富，而且隨著國(guó)債期貨推出時(shí)間的臨近，可以預(yù)測(cè)的是中國(guó)國(guó)債市場(chǎng)的交易規(guī)模和交易頻率將會(huì)有顯著的提升，國(guó)債市場(chǎng)的市場(chǎng)活力進(jìn)一步增強(qiáng)，這些因素將會(huì)提高國(guó)債期限結(jié)構(gòu)的市場(chǎng)化程度。

3.2 簡(jiǎn)約化模型的實(shí)證研究

圖1 簡(jiǎn)約型模型1年期和2年期收益率的預(yù)測(cè)值和觀測(cè)值

φ?11φ?11(，1)φ?11(，2)φ?11(，3)A?1(φ?21)Tφ?11(1，)07381(009434)??03797(03445)-01979(03495)005818(04062)04757(002240)??φ?11(2，)-01654(006788)??13868(02478)??-04261(02514)?06947(02923)??11776(008191)??φ?11(3，)-01888(006548)??05897(02391)?03419(02425)?09668(02819)??-07465(008308)??

注：括號(hào)中數(shù)值為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，“*”表示參數(shù)值在5%水平上顯著，“**”表示在1%水平上顯著。

表3 簡(jiǎn)約化模型(19)式參數(shù)以及(22)式

注：括號(hào)中數(shù)值為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，“*”表示參數(shù)值在5%水平上顯著，“**”表示在1%水平上顯著。

圖2 簡(jiǎn)約型模型5年期和10年期收益率的預(yù)測(cè)值和觀測(cè)值

從表2和表3的估計(jì)結(jié)果可以看到，簡(jiǎn)約模型的16個(gè)變量系數(shù)的估計(jì)值有著良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，它們?cè)?%水平上基本顯著。從模型預(yù)測(cè)的角度看，結(jié)構(gòu)型系統(tǒng)衍生出的簡(jiǎn)約型系統(tǒng)可以用于收益率的預(yù)測(cè)。從圖1和圖2給出的收益率觀測(cè)值和預(yù)測(cè)值可以看到，簡(jiǎn)約模型很好的刻畫(huà)了這四個(gè)期限的收益率。在樣本觀測(cè)期限內(nèi)，收益率預(yù)測(cè)值在一定的

精度范圍內(nèi)很好的把握了收益率觀測(cè)值的時(shí)間序列趨勢(shì)。

盡管從結(jié)構(gòu)化模型的角度看，簡(jiǎn)約模型的參數(shù)估計(jì)值僅僅是一個(gè)中間變量，它們的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)似乎對(duì)結(jié)構(gòu)型參數(shù)的估計(jì)不產(chǎn)生直接影響，但是這兩類模型之間的內(nèi)在聯(lián)系表明，簡(jiǎn)約模型參數(shù)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的優(yōu)劣一定程度上也反應(yīng)了結(jié)構(gòu)化模型設(shè)定的合理性。如果簡(jiǎn)約型參數(shù)有著良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，則簡(jiǎn)約型系統(tǒng)用于收益率預(yù)測(cè)具有一定合理性，也就是說(shuō)對(duì)應(yīng)設(shè)定的結(jié)構(gòu)化模型具有相應(yīng)的理論和實(shí)證基礎(chǔ)，也能夠體現(xiàn)出結(jié)構(gòu)型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)信息，應(yīng)該具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。因此，從表2和表3的參數(shù)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可以間接知道結(jié)構(gòu)化模型的參數(shù)也應(yīng)該具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

3.3 基于MCS方法高斯仿射模型實(shí)證研究

高斯仿射模型的參數(shù)估計(jì)是本文的核心問(wèn)題之一。MCS方法將簡(jiǎn)約型參數(shù)估計(jì)值轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)型參數(shù)估計(jì)值，其優(yōu)勢(shì)主要在于：其一，部分克服了數(shù)值最大化結(jié)構(gòu)化模型似然函數(shù)的參數(shù)值可能不是全局最大值的問(wèn)題，而且這種方法包含的數(shù)值計(jì)算成分很少，在計(jì)算上也具備相應(yīng)的優(yōu)勢(shì)；其二，MCS方法參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)繼承了極大似然估計(jì)量的所有漸進(jìn)性質(zhì)，兩種估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤在統(tǒng)計(jì)上是等價(jià)的。結(jié)合2.3.2小節(jié)， 采用MCS方法估計(jì)結(jié)構(gòu)化模型，參數(shù)估計(jì)的順序依次為∑e，ρQ，δ1，ρ，δ0和cQ，具體估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表4和表5。

表4 高斯仿射模型(12)式參數(shù)ρQ和cQ以及(13)式δ1的估計(jì)值

注：表4給出的是Q-測(cè)度下因子過(guò)程的參數(shù)估計(jì)值，括號(hào)中數(shù)值為參數(shù)的漸進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)誤，它是用Chen和Scott[15]的極大似然方法得到。

表5 高斯仿射模型(18)式參數(shù)ρ和(13)式δ0以及(17)式Σe的估計(jì)值

注：表5給出的是P-測(cè)度下因子過(guò)程的參數(shù)估計(jì)值，括號(hào)中數(shù)值為參數(shù)的漸進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)誤，它是用Chen和Scott[15]的極大似然方法得到。

表4和表5給出了結(jié)構(gòu)型參數(shù)估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)誤，參數(shù)估計(jì)值是用MCS方法按照2.3.2小節(jié)的步驟得到，標(biāo)準(zhǔn)誤估計(jì)則是利用MLE和MCS估計(jì)量漸進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)誤的等價(jià)性，結(jié)合Chen和Scott[15]結(jié)構(gòu)化模型的似然函數(shù)和已知的參數(shù)估計(jì)值得到。從表4和表5可以看到，結(jié)構(gòu)型參數(shù)具有很好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，這與簡(jiǎn)約型參數(shù)保持了一致，因此，可以看到這兩類模型參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的優(yōu)劣具有一致性。由于采用OLS方法得到簡(jiǎn)約模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)信息簡(jiǎn)單，一定程度上有助于結(jié)構(gòu)化模型的合理設(shè)定。另外，需要正確的看待標(biāo)準(zhǔn)誤估計(jì)可能存在的異常情況。由于似然函數(shù)對(duì)參數(shù)的高度非線性，在參數(shù)估計(jì)值處進(jìn)行數(shù)值微分可能發(fā)生突變，從而導(dǎo)致參數(shù)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)不理想，這時(shí)對(duì)待異常的漸進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)誤需要謹(jǐn)慎。

4 結(jié)語(yǔ)

在利率市場(chǎng)化背景下，研究利率期限結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)過(guò)程是研究資產(chǎn)及衍生品定價(jià)、金融風(fēng)險(xiǎn)管理和資產(chǎn)組合配置等工作的基礎(chǔ)。在利率期限理論文獻(xiàn)中，仿射利率期限結(jié)構(gòu)模型為研究利率形成機(jī)制的可操作性提供了便利，給出了利率的解析解或者是半解析解。但是，這類模型在理論和實(shí)證兩個(gè)方面存在一定的不足：在理論層面，高斯仿射期限結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的存在識(shí)別性問(wèn)題，Collin-Dufresne，Goldstein和Jones[8]，A?t -Sahalia和Kimmel[9]證明Dai Qiang和Singleton[3]的經(jīng)典表示是不可識(shí)別的；在實(shí)證層面，用數(shù)值方法估計(jì)模型參數(shù)時(shí)似然函數(shù)優(yōu)化高度依賴初始值，通常用多個(gè)初始值搜索直到函數(shù)收斂得到的估計(jì)值并非是似然函數(shù)的全局最大值。針對(duì)上述高斯仿射期限結(jié)構(gòu)的兩點(diǎn)不足，本文采用MCS方法加以修正，其結(jié)論如下：

(1)關(guān)于高斯仿射模型的參數(shù)識(shí)別。從高斯仿射模型的結(jié)構(gòu)化模型和簡(jiǎn)約模型參數(shù)的關(guān)系出發(fā)，簡(jiǎn)約型參數(shù)是結(jié)構(gòu)型參數(shù)的函數(shù)。如果結(jié)構(gòu)型參數(shù)的個(gè)數(shù)多于簡(jiǎn)約型則高斯模型不可識(shí)別，兩者參數(shù)個(gè)數(shù)相等則是恰好可識(shí)別，而結(jié)構(gòu)型參數(shù)少于簡(jiǎn)約型則是過(guò)度識(shí)別的。在三因子標(biāo)準(zhǔn)化期限結(jié)構(gòu)表示框架下，本文指出在存在觀測(cè)誤差收益率的個(gè)數(shù)為1的情形下高斯模型恰好可識(shí)別，而觀測(cè)誤差期限的個(gè)數(shù)多于1的情形下模型是過(guò)度識(shí)別的。

(2)采用MCS方法得到參數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。采用MCS方法將簡(jiǎn)約型參數(shù)轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)型，該估計(jì)量繼承了結(jié)構(gòu)化模型極大似然估計(jì)量的所有漸進(jìn)性質(zhì)，理論上這兩種方法得到的估計(jì)量在統(tǒng)計(jì)上無(wú)差異的。MCS方法相對(duì)于極大似然方法的優(yōu)勢(shì)在于參數(shù)估計(jì)過(guò)程數(shù)值計(jì)算的簡(jiǎn)潔性和估計(jì)結(jié)果的可靠性，MCSE是結(jié)構(gòu)化模型似然函數(shù)的全局最大值點(diǎn)。

(3)本文國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)的實(shí)證研究結(jié)論。實(shí)證研究結(jié)果表明采用MCS方法的高斯仿射模型很好的擬合了觀測(cè)的期限結(jié)構(gòu)，并且整體上看簡(jiǎn)約型和結(jié)構(gòu)型的參數(shù)估計(jì)量統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的優(yōu)劣具有一致性。通常情況下，簡(jiǎn)約型參數(shù)的估計(jì)量具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)則意味著結(jié)構(gòu)型參數(shù)也應(yīng)該具有良好的性質(zhì)，這是由兩類模型的內(nèi)在一致性所決定的，實(shí)證結(jié)果也證實(shí)了這一點(diǎn)。

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Gaussian Affine Term Structure Model of Interest Rate Based on MCS Approach

BAO Jie, GE Jing

(School of Economics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

The paper is first to study the identification and estimation of Gaussian affine term structure of interest rate based on Minimum-Chi-Square method. As beginning with the normalized Gaussian model, the identification is from the functional relations of parameters between the structure model and reduced-form model, Minimum-Chi-Square estimation has inherited all the asymptotical properties of MLE in structure model and maintains the reliability of estimator. And then, With the term structure of yields implying in monthly bonds price from 2006 to 2013 in Shanghai Stock Exchange (SSE)， Gaussian affine term structure model is empirically applied using the MCS method and the results indicate that the Gaussian affine model gives good fitting of term structure and the merits of the statistical properties of estimators are consistent with structure and reduced-form model.

Gaussian affine term structure；identification；MLE；minimum-Chi-Square estimator

2013-09-05；

2014-03-25

鮑杰(1981-)，男(漢族)，山西臨汾人，華中科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院博士生，研究方向：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、土地金融.

1003-207(2015)07-0010-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.07.002

F830.91

A