林吉凱 帕孜來·馬合木提

(新疆大學電氣工程學院，新疆 烏魯木齊 830047)

0 引言

混雜系統(tǒng)是一類其所含元件同時包含了連續(xù)和離散狀態(tài)行為的系統(tǒng)，對其進行準確的狀態(tài)估計是設計其閉環(huán)控制系統(tǒng)和基于模型的故障診斷算法的關鍵?；祀s系統(tǒng)的建模和診斷方法有多種［1-3］，其中，鍵合圖對混雜系統(tǒng)建模有其獨特的優(yōu)勢，在機械及電氣系統(tǒng)中得到了廣泛的應用;粒子濾波算法在遞推非線性狀態(tài)估計領域顯示了其優(yōu)越性，廣泛應用于信號處理、經(jīng)濟學和工程學等領域，故障診斷是其中一個重要方面。文獻［4］以混雜鍵合圖為基礎，提出基于功率的模式跟蹤方法，可有效識別系統(tǒng)故障，但對計算要求高。文獻［5］用粒子濾波實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)和參數(shù)的在線估計，但系統(tǒng)模型的精確性有待提高。

1 基于故障診斷的粒子濾波算法

1.1 粒子濾波理論

令非線性隨機系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:

式中:xk∈Rn表示k 時刻的系統(tǒng)狀態(tài)向量，其初始概率密度函數(shù)已知為p(x0);uk∈Rp表示k 時刻的輸入(控制)向量;zk∈Rq表示輸出向量;vk和wk分別為狀態(tài)噪聲和觀測噪聲;f(·)和g(·)分別表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和觀測函數(shù)。

假設vk，wk，xk相互獨立且vk和wk的分布已知，將系統(tǒng)狀態(tài)看作是馬爾科夫鏈的，即p(xk∣x0:k-1，z1:k-1，u1:k)=p(xk∣xk-1，uk)，粒子濾波就是通過系統(tǒng)的測量輸出zk來遞推構(gòu)建狀態(tài)的后驗概率密度函數(shù)p(xk∣z1:k)。因此，粒子濾波包含兩個階段:預測和更新。預測階段利用式(1)中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)來預測前一時刻狀態(tài)的概率密度，即先驗概率密度。更新階段利用最新的觀測值，通過貝葉斯遞推來修正先驗概率密度，得到后驗概率密度。這一過程可由以下三式說明:

其中，式(2)為k 時刻狀態(tài)xk的先驗概率密度，式(3)為后驗概率密度。

這樣，就可用離散加權(quán)來逼近時刻k 的后驗概率密度函數(shù):

這里δ(·)是狄利克雷函數(shù)，wk(i)是第i 個粒子的權(quán)值(i=1，…，N)。權(quán)值都是非負的，且所有粒子權(quán)值和為1，即:具體權(quán)值計算方法可參見重要性采樣算法［6］。

粒子濾波的一個主要缺陷是粒子退化，即經(jīng)多次迭代后，除一個粒子權(quán)值較大外，其他所有粒子權(quán)值均趨于零。這會導致大量時間浪費在傳播對后驗概率分布幾乎無影響的粒子上。因此，必需對粒子進行重采樣。粒子濾波達到理想近似效果所需要的最小粒子數(shù)可由有效采樣值來計算:

因此，通過比較Neff和設定的閾值Nthr∈［1，N］就可判別是否出現(xiàn)了粒子退化。當Neff＜Nthr時，需要進行重采樣。很多學者都提出了不同的重采樣算法，具體可參見文獻［7］～文獻［9］。

1.2 混雜系統(tǒng)故障診斷的粒子濾波算法

混雜系統(tǒng)用一個離散模式集合表示系統(tǒng)的運行模型或故障狀態(tài)，用一個連續(xù)變量集合模擬反應系統(tǒng)行為的連續(xù)變化值。一般來說，系統(tǒng)狀態(tài)指模式加連續(xù)變量，模式僅是狀態(tài)的離散部分。粒子濾波利用系統(tǒng)模型跟蹤連續(xù)狀態(tài)，并把估計狀態(tài)作為觀測函數(shù)來更新粒子權(quán)值。當粒子進入故障模式時，表明系統(tǒng)發(fā)生了故障，此時觀測函數(shù)將會增加這些粒子的權(quán)值。

令S 為系統(tǒng)離散故障和運行模式的有限集，sk∈S為k 時刻檢測到的系統(tǒng)模式，xk表示系統(tǒng)在k 時刻的多變量連續(xù)狀態(tài)，{zk}為基于測量模型p(zk∣xk，sk)得到的系統(tǒng)狀態(tài)觀測序列。系統(tǒng)的任何故障和運行模式的變化都會改變其動態(tài)性能，粒子濾波對混雜系統(tǒng)進行狀態(tài)估計和故障診斷就是利用后驗概率密度p(xk，sk∣z1:k)來估計其邊緣分布p(sk∣z1:k)。在混雜系統(tǒng)中，用{()，…，，)}表示系統(tǒng)狀態(tài)的N 個采樣或粒子，則式(6)可改寫為:

當N→∞時，式(9)會逼近真實的后驗概率密度。

根據(jù)上述粒子濾波理論，給出混雜系統(tǒng)故障診斷的粒子濾波算法，圖1 為算法的直觀形式［10］。

圖1 粒子濾波故障診斷算法Fig.1 Particle filtering fault diagnosis algorithm

②預測。當從模式sk-1到模式(j=1，…，M，M為系統(tǒng)模式數(shù)目)的轉(zhuǎn)移概率函數(shù)Tsk-1s(j)k不為零時，則在模式下，粒子。對每一模式計算重要性權(quán)值:

對模式sk中的所有粒子權(quán)值進行歸一化處理。

④重采樣。在模式sk下，根據(jù)權(quán)值大小，重采樣N個新的粒子，取代原來的粒子。令k=k+1 并轉(zhuǎn)步驟②。

2 三容水箱診斷鍵合圖模型

2.1 三容水箱結(jié)構(gòu)及故障分析

圖2 給出了三容水箱的物理結(jié)構(gòu)模型。該系統(tǒng)由三個串聯(lián)水箱、儲水槽、手動閥、電磁閥、水泵及控制器組成。每個水箱底部都裝有壓力傳感器(P1、P2、P3)來測量水箱液位，傳感器將測得的液位信號送入CPU，通過控制電磁閥的開閉達到控制水箱液位的目的。

圖2 三容水箱系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of the three-tank system

多容水箱系統(tǒng)故障主要分為三類:元部件故障、傳感器故障和執(zhí)行器故障。對如圖2 所示的三容水箱系統(tǒng)來說，可能存在的故障有管道阻塞、水箱滲漏、電磁閥故障、控制器故障及壓力傳感器故障。據(jù)統(tǒng)計，在實際系統(tǒng)故障中，70% ～80%都是傳感器故障?？紤]到簡化模型的需要，并結(jié)合實際工業(yè)現(xiàn)場故障發(fā)生概率情況，本文僅考慮三個傳感器的故障。對其他故障，本文所提方法同樣適用，僅故障越多，系統(tǒng)模型就越復雜，粒子濾波需要跟蹤的系統(tǒng)模式也就越多。

2.2 水箱系統(tǒng)的鍵合圖模型

鍵合圖是一種圖形化的系統(tǒng)動力學建模方法，在系統(tǒng)的鍵合圖模型基礎上，可對系統(tǒng)故障進行定性和定量的分析［11］。根據(jù)鍵合圖理論，建立圖2 所示三容水箱的鍵合圖模型，如圖3 所示［12］。

圖3 三容水箱鍵合圖模型Fig.3 Bond graph model of three-tank system

根據(jù)模型近似原理，在鍵合圖模型中加入虛擬傳感器，經(jīng)轉(zhuǎn)化得系統(tǒng)的診斷鍵合圖，如圖4 所示。

圖4 三容水箱診斷鍵合圖模型Fig.4 Diagnostic bond graph model of three-tank system

圖4 中，Mse 為外部頂點勢源，其值為勢傳感器的測量輸出me;Df1、Df2、Df3分別相當于實際系統(tǒng)中的三個壓力傳感器P1、P2、P3的測量值，傳感器的輸出為水箱液面高度:mei= hi(k)，i=1，2，3。根據(jù)圖4 所示的水箱診斷鍵合圖模型，可得系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方程，如表1所示。

表1 診斷鍵合圖的結(jié)構(gòu)方程Tab.1 Structural equations of diagnostic bond graph

對節(jié)點01組成的結(jié)構(gòu)方程，由鍵合圖元的靜態(tài)函數(shù)關系可得:

式中:Df1為傳感器的測量值。這表明，影響傳感器P1輸出的參數(shù)為Sf、C1、me1、R1和R2。根據(jù)節(jié)點02和03的結(jié)構(gòu)方程，可分別推出式(11)、(12)如下:

這表明，影響傳感器P2輸出的參數(shù)為R2、me1、me2、C2和R3，影響傳感器P3輸出的參數(shù)為R3、me2、me3、C3和R4。以上各式中，Ri表示管道的阻力，Ci表示水箱的水容量，Sf 表示水泵的流速，fi、ei(對應表1 中的f、e)分別為鍵合圖的流和勢變量。

3 傳感器故障仿真分析

3.1 故障模式

用粒子濾波方法跟蹤系統(tǒng)運行模式需借助系統(tǒng)的狀態(tài)方程，把式(10)、(11)、(12)改寫為:

以上三式中，αi∈ 0，[ ]1 為傳感器故障系數(shù)，αi=1表示傳感器無故障，αi=0 表示傳感器完全損壞。

本系統(tǒng)有三個傳感器，因此故障模式有23=8 種。表2 給出了系統(tǒng)所有模式(正常模式和故障模式)及判別標準。

表2 故障模式Tab.2 Fault modes

令系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)向量為x =［h1，h2，h3］T，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程可描述為［13］:

其中，q∈{m0，m1，m2，m3，m4，m5，m6，m7}表示系統(tǒng)的離散模式，u(k)表示電磁閥控制信號，v(k)表示狀態(tài)噪聲。

3.2 故障仿真分析

假設初始時三水箱液位相同:h1= h2= h3=45 cm，且α1=α2= α3=1。系統(tǒng)運行時，閥門全部打開。當系統(tǒng)運行到k =100 s 時，設置α2=0.75，系統(tǒng)進入模式1;當系統(tǒng)運行到k=200 s 時，設置α1=0.5，α3=0.6，系統(tǒng)進入模式5。圖5 給出了粒子濾波狀態(tài)估計結(jié)果，圖6 是水箱1 的液位變化。

圖5 系統(tǒng)狀態(tài)估計結(jié)果Fig.5 Result of system state estimation

圖6 水箱1 的液位變化Fig.6 Liquid level change of tank-1

從圖5 可以看出，系統(tǒng)約10 s 后進入穩(wěn)定狀態(tài);在100 s 時，狀態(tài)發(fā)生波動，但由于此時設定的閾值α2=0.75 接近正常狀態(tài)(0.8)，粒子濾波器在跟蹤約30 s后恢復正常狀態(tài);在200 s 時，由于傳感器發(fā)生了顯著故障，粒子濾波器很好地捕捉到了系統(tǒng)狀態(tài)變化。系統(tǒng)正常運行時，水箱液位應保持恒定，由圖6 可以看出，水箱1 的液位在100 s 和200 s 時發(fā)生變化，表明傳感器P1發(fā)生了故障。

4 結(jié)束語

混雜系統(tǒng)由于復雜的性質(zhì)，在建模和故障診斷上存在很多挑戰(zhàn)。本文介紹了一種粒子濾波和鍵合圖相結(jié)合的混雜系統(tǒng)故障診斷方法，針對三容水箱傳感器故障，經(jīng)理論分析和仿真實驗驗證了該方法的有效性。該方法結(jié)合了兩種理論的各自優(yōu)勢，對實現(xiàn)混雜系統(tǒng)的故障診斷有一定的借鑒意義。下一步的工作是將該方法應用到THJ-2 型高級過程控制系統(tǒng)實驗裝置中，實現(xiàn)其在實際系統(tǒng)中的應用。

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