姚立波 江笑文

(常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子與電氣工程學(xué)院1，江蘇 常州 213164;常州文杰自動(dòng)化設(shè)備有限公司2，江蘇 常州 213022)

0 引言

太陽(yáng)能作為一種新興的可再生和無(wú)污染能源，受到了全世界的重視。太陽(yáng)能光伏發(fā)電系統(tǒng)將太陽(yáng)能電池板接收的太陽(yáng)光轉(zhuǎn)換為電能，再將電能存儲(chǔ)到專用的光伏蓄電池中，供直流負(fù)載使用，或經(jīng)DCAC 逆變變換后為交流負(fù)載供電［1-2］。光伏蓄電池的輸出端電壓受許多因素影響而產(chǎn)生波動(dòng)，如太陽(yáng)能電池板輸出電壓的不穩(wěn)定、環(huán)境溫度變化、蓄電池外接負(fù)載變化、充放電歷史及使用年限等。當(dāng)蓄電池直接給輸入電壓要求嚴(yán)格的直流負(fù)載供電時(shí)，需要使用DC-DC 轉(zhuǎn)換器，如Boost、Buck-Boost 轉(zhuǎn)換器，使輸出電壓穩(wěn)定在負(fù)載期望的工作值。這種DC-DC 轉(zhuǎn)換器是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，而傳統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和閉環(huán)控制策略是建立在線性化模型基礎(chǔ)之上的［3-4］。

本文提出了一種基于非線性模型的光伏蓄電池供電的Boost DC-DC 轉(zhuǎn)換器設(shè)計(jì)方法。首先應(yīng)用狀態(tài)空間平均法［5］建立了系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程及攝動(dòng)控制模型，然后采用狀態(tài)反饋和線性微分包含的方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化，構(gòu)建了閉環(huán)控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)［6-7］的優(yōu)化控制方案。在此基礎(chǔ)上，由Matlab LMI 工具箱函數(shù)求得系統(tǒng)在穩(wěn)定條件下的最優(yōu)狀態(tài)反饋系數(shù)矩陣，實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)的閉環(huán)控制。本文的設(shè)計(jì)目的是，當(dāng)光伏蓄電池的輸出電壓因工作狀態(tài)不同而波動(dòng)，以及直流負(fù)載電阻不同時(shí)，Boost 轉(zhuǎn)換器的輸出電壓能很好地穩(wěn)定在期望的設(shè)定值。

1 Boost 轉(zhuǎn)換器系統(tǒng)描述

1.1 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)狀態(tài)方程

圖1 是光伏蓄電池供電的Boost 轉(zhuǎn)換器的功率級(jí)電路圖，由蓄電池(輸出電壓E)、電感L、電容C、MOSFET M1和M2、直流負(fù)載Rd等組成。R0為蓄電池的內(nèi)阻，RL為電感L 的直流電阻，RC為電容C 的等效串聯(lián)電阻;流經(jīng)電感L 的電流為i，RS為i 的采樣電阻，阻值一般取得很小，以減少損耗;系統(tǒng)的輸出yξ為負(fù)載Rd兩端的電壓u。

圖1 Boost 轉(zhuǎn)換器功率級(jí)電路圖Fig.1 Power stage schematic of the Boost converter

MOSFET M1、M2由互為反相的PWM 波控制導(dǎo)通和關(guān)斷，PWM 波由PWM 發(fā)生器產(chǎn)生，并經(jīng)MOSFET驅(qū)動(dòng)電路放大。MOSFET M1、M2導(dǎo)通時(shí)有一阻值很小的電阻，記為Ron。圖1 所示Boost 轉(zhuǎn)換器功率級(jí)電路有兩種工作狀況。

第一種工作狀況是，當(dāng)MOSFET M1導(dǎo)通、M2關(guān)斷時(shí)，蓄電池輸出電壓E 對(duì)電感L 進(jìn)行儲(chǔ)能，由電容C對(duì)負(fù)載Rd進(jìn)行供電。第二種工作狀況是，當(dāng)MOSFET M1關(guān)斷、M2導(dǎo)通時(shí)，E 和電感L 同時(shí)對(duì)負(fù)載Rd進(jìn)行供電，并且同時(shí)對(duì)電容C 進(jìn)行充電儲(chǔ)能。在這兩種工作狀況下，電容側(cè)的電壓u 均大于E，因此為升壓功能的轉(zhuǎn)換器。

MOSFET M1關(guān)斷、M2導(dǎo)通時(shí)的狀態(tài)空間方程為:

1.2 狀態(tài)空間平均模型分析

采用Middlebrook 狀態(tài)空間平均模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。令開(kāi)關(guān)周期為T，MOSFET M1的占空比為D∈[ 0，1 ]。在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期的DT 階段，狀態(tài)變量ξ 遵循式(1)，在 ( 1 -D )T 階段，則遵循式(2)。根據(jù)文獻(xiàn)［5］，在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期，有:

1.3 系統(tǒng)攝動(dòng)模型建立

Boost 轉(zhuǎn)換器的主要功能是通過(guò)調(diào)節(jié)PWM 波的占空比D，得到期望的輸出。為實(shí)現(xiàn)此目的，設(shè)計(jì)了一個(gè)狀態(tài)反饋控制方法，通過(guò)自動(dòng)調(diào)節(jié)占空比D，使轉(zhuǎn)換器的輸出電壓穩(wěn)定在期望的設(shè)定值，當(dāng)蓄電池輸出電壓E、直流負(fù)載Rd變化時(shí)，輸出電壓能很好地穩(wěn)定在這個(gè)設(shè)定值。

得到新的狀態(tài)空間方程為:

式中:x∈R3，由電感電流的攝動(dòng)、電容電壓的攝動(dòng)和跟蹤誤差的積分三部分組成。注意系統(tǒng)的輸入控制u =D-D0是占空比D 的攝動(dòng)，D∈ [ D1，D2]。

2 狀態(tài)反饋及優(yōu)化控制設(shè)計(jì)

式(6)是一個(gè)帶二次項(xiàng)的非線性系統(tǒng)，下面設(shè)計(jì)一種帶飽和的狀態(tài)反饋方法，采用線性微分包含(LDI)對(duì)式(6)進(jìn)行線性化，并采用線性矩陣不等式(LMI)進(jìn)行優(yōu)化控制設(shè)計(jì)。

2.1 狀態(tài)反饋及線性化設(shè)計(jì)

在名義工況下，系統(tǒng)輸入約束u∈［-uw，up］，設(shè)計(jì)系統(tǒng)帶飽和的狀態(tài)反饋為u =sat ( Fx )，其中F 為閉環(huán)系數(shù)矩陣，sat 是帶飽和的函數(shù)，滿足:

于是式(6)的閉環(huán)表達(dá)式為:

在名義工況下yr=0。如果系統(tǒng)偏離名義工況而達(dá)到另一個(gè)平衡點(diǎn)，狀態(tài)變量x 特別是積分項(xiàng)xe將使系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)態(tài)，這意味著y-yr將趨于0，y 達(dá)到期望值yr。

由于sat ( Fx )∈［-uw，up］，式(7)在名義工況下(yr=0)可被轉(zhuǎn)換為帶飽和的線性微分包含:

式中:Ap= A + Kup;Aw= A - Kuw;co{x}表示集X 的凸殼。

定義線性域:

在該線性域內(nèi)，u=Fx，于是式(8)可被簡(jiǎn)化為:

通過(guò)以上方法，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的線性化。

2.2 線性矩陣不等式最優(yōu)控制設(shè)計(jì)

式(9)、(10)組成的系統(tǒng)可被轉(zhuǎn)換為下面的線性矩陣不等式(LMI)優(yōu)化問(wèn)題:

其中約束①、②是式(10)根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論［8-9］得到的，保證橢球ε P，( )1 ={x∈Rn:xTPx≤1}

(

P=PT＞0 )在線性反饋u =Fx 下以收斂率ε 收斂不變，即該橢球在系統(tǒng)的穩(wěn)定域內(nèi)。約束③表示線性域L( )F ε P，( )1 ，使其滿足sat( )Fx = Fx［10-11］。約束④中XR為形狀參考，選擇單位球ε I，( )1 = {x ∈Rn:xTx≤1}。

令P=Q-1F=HQ-1γ =α2，上述LMI 優(yōu)化問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為下面的形式:

其中Q∈R3×3、H∈R3×3是被優(yōu)化的矩陣變量，其他矩距Ap、Aw、B 和參數(shù)μw、μp由系統(tǒng)模型給定。唯一需要選擇的參數(shù)是ε(ε ＞0)，它反映系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，ε 越大，系統(tǒng)響應(yīng)越快。上式可采用Matlab LMI 工具箱中的優(yōu)化函數(shù)gevp 很方便地解出Q、H，從而求得對(duì)應(yīng)于ε 的F 值。

3 仿真、實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

3.1 Simulink 仿真及結(jié)果

在Simulink 中對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)(7)進(jìn)行仿真，將蓄電池輸出的電壓12 V 經(jīng)過(guò)Boost 轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為期望值24 V。此時(shí)名義工況即穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)D=D0=0.513，對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)狀態(tài)變量=［0.898 5 23.994 9］T。取約束D∈［0.1，0.9］，u =D -D0∈［-0.413，0.387］，則uw=0.413、up=0.387。對(duì)優(yōu)化問(wèn)題(12)，唯一需要選擇的是反映收斂率指標(biāo)的參數(shù)ε。設(shè)置參數(shù)ε=15，解優(yōu)化問(wèn)題(12)，得到反饋系數(shù)矩陣:

F=［-0.010 1 0.001 4 -1.141 6］由占空比D =D0+u，u =Fx，得到占空比D 的運(yùn)算公式為:

圖2 仿真控制電路Fig.2 Simulating control circuit

在Simulink 中采用SimPowerSystems 對(duì)圖1 電路進(jìn)行仿真，參數(shù)為:L =0.000 33 H，C =0.000 136 F，Ron=0.08 Ω，RS=0.1 Ω，RL=0.17 Ω，RC=0.08 Ω，R0=0.014 Ω。仿真控制電路如圖2 所示，PWM 產(chǎn)生器的頻率選擇為12 kHz。

圖3 所示為E 變化、負(fù)載Rd=100 Ω 時(shí)Boost 轉(zhuǎn)換器輸出電壓u 的變化趨勢(shì)圖。

圖3 E 變化時(shí)輸出電壓趨勢(shì)圖Fig.3 Trend graph of the output voltage when E is changing

E 的取值分別為16 V、14 V、12 V、10 V、8 V。E 變化時(shí)u 能快速穩(wěn)定在期望的電壓值24 V;當(dāng)E 較大時(shí)，到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時(shí)間較長(zhǎng)，瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程中的最大電壓值較大，對(duì)電容C 等元器件的耐壓要求較高;當(dāng)E 較小時(shí)變化趨勢(shì)相反。E 的取值在大于16 V 和小于8 V的更寬范圍內(nèi)變化時(shí)，如上限20 V、下限4 V，系統(tǒng)仍能快速穩(wěn)定在24 V。由此可知，該系統(tǒng)可以滿足光伏蓄電池輸出電壓大范圍波動(dòng)的情況。

圖4 所示為負(fù)載Rd變化、E =12 V 時(shí)Boost 轉(zhuǎn)換器輸出電壓u 的變化趨勢(shì)圖，Rd取值分別為500 Ω、100 Ω、50 Ω。Rd變化時(shí)u 能很快穩(wěn)定在期望的電壓值24 V;當(dāng)Rd較大時(shí)，瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程中的最大電壓值較大，對(duì)電容C 等元器件的耐壓要求較高。Rd變化對(duì)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時(shí)間影響不大。仿真中Rd的取值在大于500 Ω 和小于50 Ω 的更寬范圍內(nèi)變化，如上限1 000 Ω、下限10 Ω，系統(tǒng)仍能快速穩(wěn)定在24 V，因此可以滿足直流負(fù)載寬變化范圍的應(yīng)用場(chǎng)合。

圖4 負(fù)載變化時(shí)輸出電壓趨勢(shì)圖Fig.4 Trend graph of the output voltage when the load is changing

當(dāng)E=12 V、Rd=100 Ω 系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，Boost轉(zhuǎn)換器輸出電壓u 與驅(qū)動(dòng)MOSFET M1的PWM 波的變化趨勢(shì)如圖5 所示，u 的峰值為24.040 V，谷值為23.951 V，紋波電壓為0.089 V，數(shù)值很小;在E 波動(dòng)和Rd變化的其他工作狀態(tài)，穩(wěn)態(tài)時(shí)u 的波形相似，紋波電壓均很小，但PWM 波的占空比D 是不同的。系統(tǒng)正是通過(guò)自動(dòng)調(diào)節(jié)占空比D，穩(wěn)定在期望值24 V。

圖5 穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出電壓與PWM 波變化趨勢(shì)圖Fig.5 Changing trend graph of the output voltage and PWM wave in the steady state

3.2 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

圖6 基于F28335 DSP 的實(shí)驗(yàn)電路Fig.6 Experimental circuit based on F28335 DSP

實(shí)驗(yàn)中E 取蓄電池充電完成時(shí)的輸出電壓14.12 V，標(biāo)準(zhǔn)工作電壓12 V，放電即將結(jié)束時(shí)的輸出電壓9.21 V，直流負(fù)載Rd為100.1 Ω，Boost 轉(zhuǎn)換器的輸出電壓u 能快速穩(wěn)定在24 V。穩(wěn)態(tài)時(shí)u 的峰值、谷值和紋波電壓如表1 所示。

表1 E 變化時(shí)輸出電壓u 的穩(wěn)態(tài)值Tab.1 Steady state value of output voltage u when E is changing

在蓄電池輸出電壓E 為標(biāo)準(zhǔn)工作電壓12 V 時(shí)，改變直流負(fù)載Rd為500.3 Ω、100.1 Ω、50.1 Ω，Boost 轉(zhuǎn)換器的輸出電壓u 能快速穩(wěn)定在24 V。穩(wěn)態(tài)時(shí)u 的峰值、谷值和紋波電壓如表2 所示。

表2 負(fù)載變化時(shí)輸出電壓u 的穩(wěn)態(tài)值Tab.2 Steady state value of output voltage u when the load is changing

蓄電池輸出電壓波動(dòng)和直流負(fù)載取不同阻值的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，系統(tǒng)不僅能穩(wěn)定輸出設(shè)定值24 V，而且紋波電壓小。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果是完全一致的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了一種基于非線性模型的Boost 轉(zhuǎn)換器，應(yīng)用于光伏蓄電池直接給直流負(fù)載供電的場(chǎng)合，所用元器件少，電路簡(jiǎn)潔，具有體積小、轉(zhuǎn)換效率高等特點(diǎn)。仿真和電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在蓄電池輸出電壓大范圍波動(dòng)，以及直流負(fù)載在大范圍取不同的電阻值時(shí)，Boost 轉(zhuǎn)換器運(yùn)行魯棒穩(wěn)定，輸出電壓能很好地穩(wěn)定在設(shè)定值，且輸出電壓的紋波電壓小，其穩(wěn)壓控制效果可以很好地滿足光伏蓄電池的上述應(yīng)用要求。

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