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        三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能分析與優(yōu)化

        2015-03-31 07:12:20張曉菊張春友吳曉強(qiáng)于立波
        機(jī)床與液壓 2015年21期
        關(guān)鍵詞:支鏈全域并聯(lián)

        張曉菊,張春友,吳曉強(qiáng),于立波

        (1.河套學(xué)院機(jī)電工程系,內(nèi)蒙古巴彥淖爾015000; 2.內(nèi)蒙古民族大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,內(nèi)蒙古通遼028000; 3.鄭州宇通客車(chē)股份有限公司,河南鄭州450000)

        0 前言

        空間三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,經(jīng)濟(jì)成本低,運(yùn)動(dòng)精度高等優(yōu)點(diǎn)。目前,并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)主要集中在工作空間、靈巧性、可操作度、各向同性、剛度等方面。近年來(lái)國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)性能指標(biāo)的研究越來(lái)越多,KUCUK等[1]采用遺傳算法對(duì)三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)靈巧性和可操作度進(jìn)行了可行性設(shè)計(jì)研究;ZENG等[2]對(duì)三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-PRUR進(jìn)行了各向同性、速度性能、承載能力等進(jìn)行了優(yōu)化分析; JOSHI等[3]對(duì)三自由度3UPU和3UPS-UP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間和全域條件數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化比較分析;SICILIANO[4]基于可操作度對(duì)3-UPS-UP并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了尺度綜合研究。

        本文作者對(duì)三自由度 (兩轉(zhuǎn)一移)并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-UPS-PU、4-UPS-PU的全域靈巧指標(biāo)和全域剛度進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)與分析,利用粒子群優(yōu)化算法對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化分析,最終得到性能指標(biāo)在整個(gè)工作空間的最優(yōu)Pareto解。結(jié)果表明,4UPS-PU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)比3UPS-PU具有較好的靈巧指標(biāo)和剛度指標(biāo)。

        1 機(jī)構(gòu)模型的建立

        1.1 3UPS-PU機(jī)構(gòu)模型的描述

        并聯(lián)機(jī)構(gòu)3UPS-PU由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)及3條驅(qū)動(dòng)分支和中間一條約束分支組成,如圖1所示。動(dòng)平臺(tái)球鉸鉸點(diǎn)a1、a2、a3,a1a2a3為等邊三角形,靜平臺(tái)胡克鉸鉸點(diǎn)A1、A2、A3,A1A2A3也為等邊三角形,動(dòng)靜平臺(tái)的外接圓半徑分別為r、R。由于中間支鏈的約束,對(duì)動(dòng)平臺(tái)有3個(gè)運(yùn)動(dòng)約束;于是動(dòng)平臺(tái)有3個(gè)自由度,即繞X軸和Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)和沿Z軸的移動(dòng)。

        圖13 -UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

        參考坐標(biāo)系OXYZ固定于靜平臺(tái),原點(diǎn)O位于等邊三角形的幾何中心,X指向A1,Y軸平行于A2A3,Z軸垂直向上;動(dòng)坐標(biāo)系oxyz固接于動(dòng)平臺(tái),原點(diǎn)o位于a1a2a3構(gòu)成的等邊三角形的中心,x軸沿oa1方向,y軸平行于a2a3,z軸垂直于動(dòng)平臺(tái)向上。初始位姿時(shí),兩坐標(biāo)系軸線平行,動(dòng)靜平臺(tái)之間的距離為d。

        1.2 4UPS-PU機(jī)構(gòu)模型的描述

        4UPS-PU空間3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)靜平臺(tái)和連接動(dòng)靜平臺(tái)的5個(gè)分支組成。靜平臺(tái)通過(guò)4個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同的驅(qū)動(dòng)支鏈UPS(虎克鉸-移動(dòng)副-球副)以及1個(gè)中間含恰約束支鏈PU(移動(dòng)副-虎克鉸)與動(dòng)平臺(tái)連接。通過(guò)改變4個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度,機(jī)構(gòu)可以在一定的工作空間范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)二維轉(zhuǎn)動(dòng)和一維移動(dòng)。動(dòng)平臺(tái)球鉸鉸點(diǎn)b1、b2、b3、b4,靜平臺(tái)虎克鉸鉸點(diǎn)B1、B2、B3、B4,動(dòng)靜平臺(tái)的半徑分別為r、R。結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2所示。

        圖2 4UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

        在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)靜平臺(tái)上分別建立坐標(biāo)系,參考坐標(biāo)系OXYZ固定于靜平臺(tái),坐標(biāo)系的中心為4個(gè)均勻分布的胡克鉸所在外接圓的圓心,其中,X軸指向B1,Z軸垂直向上,Y軸方向按右手定則給定。動(dòng)坐標(biāo)系oxyz建立在動(dòng)平臺(tái),初始位置x軸與X軸方向相同,y軸與Y軸方向相同,z軸與Z軸方向相同,動(dòng)靜平臺(tái)之間的距離為d。

        2 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

        2.1 3UPS-PU位置逆解和雅可比求解

        如圖1所示,動(dòng)平臺(tái)鉸點(diǎn)ai在動(dòng)坐標(biāo)系下的位置矢量為

        靜平臺(tái)球鉸鉸點(diǎn)Ai在參考坐標(biāo)系下的位置矢量為

        動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)o在參考坐標(biāo)系中的位置矢量為

        動(dòng)平臺(tái)鉸點(diǎn)ai相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系下的位置矢量在參考坐標(biāo)系下可以表示為

        其中,利用組合變換RPY可得旋轉(zhuǎn)矩陣Q為

        式中:sα=sinα,cα=cosα,其余類似。

        并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)矢量為

        其中:li為驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度;si為桿的單位向量。

        對(duì)等式(6)求導(dǎo),可得

        其中:v為動(dòng)平臺(tái)的速度;ω為動(dòng)平臺(tái)的角速度。

        等式(7)兩邊點(diǎn)乘si,可得

        寫(xiě)成矩陣的形式

        則并聯(lián)部分的雅可比矩陣為

        2.2 4UPS-PU位置逆解和雅可比求解

        針對(duì)4UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu),根據(jù)坐標(biāo)變換理論,有

        其中:旋轉(zhuǎn)矩陣Q和動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)o的坐標(biāo)值同3UPS-PU機(jī)構(gòu)。

        由幾何關(guān)系,可知桿長(zhǎng)的矢量為

        桿長(zhǎng)的平方為

        對(duì)等式 (14)兩邊求導(dǎo)數(shù),整理可得

        則并聯(lián)部分的雅可比矩陣為

        2.3 串聯(lián)PU支鏈的雅可比矩陣求解

        考慮中間被動(dòng)約束支鏈,可以看成串聯(lián)機(jī)構(gòu),等效成P-R-R,運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

        圖3 中間PU支鏈運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

        采用D-H法可得到從固定坐標(biāo)系到運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的齊次變換矩陣T,

        中間被動(dòng)PU約束支鏈的D-H參數(shù)見(jiàn)表1。

        表1 中間被動(dòng)約束支鏈的D-H參數(shù)表

        雅可比矩陣可以分解為

        其中:Jli為線速度雅可比;Jai為角速度雅可比。若i為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí),若為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí),

        其中,bi=Q0…Qi-1b,[ri1]T=[x y z 1]T-T0…Ti-1r,b=[0 0 1]T,r=[0 0 0 1]T

        則串聯(lián)部分的雅可比矩陣為

        則并聯(lián)機(jī)構(gòu)總的雅可比矩陣為

        3 性能指標(biāo)的建立

        3.1 全域靈巧指標(biāo)

        雅可比矩陣的條件數(shù)可以定義為

        式中:J為雅可比矩陣;‖·‖為矩陣的譜范數(shù)。

        條件數(shù)是不同位姿下性能指標(biāo)的局部反映,無(wú)法衡量機(jī)構(gòu)控制精度的好壞。GOSSELIN等[5]提出全域條件指標(biāo),總體評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)在空間內(nèi)的整體性能,定義為雅可比矩陣條件數(shù)倒數(shù)的積分與工作空間體積的比值,即

        其中:W為工作空間。

        GPI∈(0,1],GPI越大,說(shuō)明機(jī)構(gòu)在整個(gè)工作空間內(nèi)的靈巧性和控制精度越高,機(jī)構(gòu)性能越佳。

        3.2 全域剛度指標(biāo)

        并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度是指動(dòng)平臺(tái)處的輸出剛度,剛度的驅(qū)動(dòng)映射方程可以表示為

        其中:τ為驅(qū)動(dòng)副處的驅(qū)動(dòng)力旋量;Δq為相應(yīng)關(guān)節(jié)的變形;k為剛度系數(shù),設(shè)為常數(shù),k=1 000。

        則剛度矩陣可以表示為K

        則機(jī)構(gòu)的局部剛度為

        則全域剛度指標(biāo)[6]可以定義為

        4 優(yōu)化建模

        4.1 優(yōu)化算法

        粒子群優(yōu)化 (Particle Swarm Optimization,PSO)又稱微粒群算法[7],采用粒子群在確定空間中追隨最優(yōu)粒子進(jìn)行搜索,尋找個(gè)體極值pbest和全局極值gbest,最終達(dá)到目標(biāo)函數(shù)決定的適應(yīng)值的過(guò)程,參數(shù)配置見(jiàn)表2。

        表2 粒子群優(yōu)化算法配置表

        4.2 優(yōu)化模型的建立

        3UPS-PU、4UPS-PU兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺寸變量為動(dòng)平臺(tái)半徑為r,靜平臺(tái)半徑為R,動(dòng)靜平臺(tái)高度z,以及驅(qū)動(dòng)支鏈lmax。由于lmax與性能指標(biāo)的計(jì)算無(wú)關(guān),只是在確定工作空間范圍內(nèi)使用,lmax越大,工作空間必然越大,因此,lmax無(wú)須作為優(yōu)化尺寸參數(shù),在機(jī)構(gòu)工作條件滿足的情況下盡可能增大時(shí)lmax來(lái)增大工作空間[8]。所以機(jī)構(gòu)優(yōu)化參數(shù)X=[r,R,z]

        目標(biāo)函數(shù)F=[GPImax,GSImax]

        4.3 優(yōu)化結(jié)果分析

        在目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)過(guò)程中可以得到設(shè)計(jì)變量的變化曲線和性能指標(biāo)的變化曲線,如圖4、5、6所示。

        圖4 Pareto解與設(shè)計(jì)變量的變化曲線

        圖5 Pareto解與全域靈巧指標(biāo)的變化曲線

        圖6 Pareto解與全域剛度指數(shù)的變化曲線

        從圖4可以看出,在進(jìn)行粒子群優(yōu)化求解過(guò)程中,設(shè)計(jì)變量最終達(dá)到平衡,取得最優(yōu)Pareto解。圖5和6可以看出4UPS-PU冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)比3UPSPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有較好的全域靈巧指標(biāo)和全域剛度指標(biāo)。

        設(shè)計(jì)變量r、R對(duì)全域靈巧指標(biāo)和全域剛度指標(biāo)的影響圖譜[9-10],如圖7所示。

        圖7 設(shè)計(jì)變量r、R與性能指標(biāo)GPI、GSI的影響圖譜

        基于粒子群優(yōu)化算法,分別搜索兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的 最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)的Pareto解,見(jiàn)表3。

        表3 兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果比較

        結(jié)合圖7和表3中可以看出,3UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)和4UPS-PU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全域靈巧指標(biāo)優(yōu)化后明顯提高,增大了約1.5倍,但全域剛度指標(biāo)增加甚少;4UPS-PU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全域剛度比3UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)明顯增強(qiáng),說(shuō)明冗余驅(qū)動(dòng)可以提高機(jī)構(gòu)的剛度。

        5 結(jié)論

        (1)對(duì)兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)3UPS-PU、4UPS-PU進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型,考慮中間約束支鏈的影響,建立完整的雅可比矩陣;

        (2)建立全域靈巧指標(biāo)、全域剛度指標(biāo),采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化比較,得到Pareto解與設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)的變化曲線;

        (3)4UPS-PU冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比3UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu),具有較好的全域靈巧性能和全域剛度性能。

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