雷丹， 王源昌， 張芬

(云南師范大學 數學學院，云南 昆明 650500)

1 問題的提出

隨著我國改革的不斷深化和經濟市場化程度的提高,我國保險公司之間的競爭也越來越激烈.很多保險公司都通過降低保費來擴大公司的市場占有率,造成有些保險公司收取的保費越來越低，出現虧損.這樣一來,合理地利用保險資金進行投資,獲得利潤,對保險公司的生存和發(fā)展都至關重要.保險公司應該在有效控制風險的前提下,選擇最優(yōu)的投資方案,盡可能地提高投資收益率[1].

傳統(tǒng)的最優(yōu)投資問題分析為簡化計算,都假定無風險利率是確定的.但事實上，利率會不斷調整,具有隨機性.對利率隨機性的研究在近年來逐步受到重視,人們開始注意到由利率隨機性產生的風險是相當大的[2].

本文分別在常利率模型和隨機利率模型下,利用隨機最優(yōu)控制的動態(tài)規(guī)劃方法,對保險公司的最優(yōu)投資比例進行求解.對兩種模型得出的結果進行比較,表明了考慮隨機利率的必要性.這對保險公司更加合理的運用保險資金進行投資有重要的理論和實際意義.

2 模型構建與求解

2.1 動態(tài)規(guī)劃方法簡介

設(t,x)∈[0,T]×Rn,考慮下面的狀態(tài)方程

成本函數為

定義它的值函數為

其中X(·)是初始值條件為X(t)=x，與控制u(·)一致的狀態(tài)過程.

命題2.1.2 如果V(·,·)、Vt(·,·)、Vx(·,·)、Vxx(·,·)都是連續(xù)的，則V(·,·)滿足下面的Hamilton-Jacobi-Bellman方程

2.2 模型的建立

設N是一個參數為λ的泊松過程，Yi>0,i=1,2,…是獨立同分布序列，取值為非負，且{Yi}與N相互獨立.c>0，令

模型假設：

(1)用于投保的初始資金X0=x;

(2)投資于風險資產的資金比例是由公司自己決定的;

(3)公司的決策總是為了實現終端財富的期望效用最大化;

(4)沒有交易費用;

(5)風險資產的收益率高于無風險資產的收益率.

公司的總資產變化滿足如下隨機微分方程[4]

2.3 常利率模型下求解保險公司的最優(yōu)投資問題

最大化終端財富的期望效用函數為目標：設T是終端時刻，效用函數為U(x)，值函數

首先給出該問題的HJB方程

(1)

解得

代入方程(1)中，整理可得

(2)

設保險公司追求期末財富效用最大化，在這個過程中，資金的安全性非常重要.所以在效用函數是常系數絕對風險厭惡的情況下討論.

其中g(·)是一個待定的函數，由邊值條件有g(0)=0.在這種情況下易得

代入方程(2)中，整理可知g(·)需要滿足如下方程

積分并令g(0)=0，則有

(3)

2.4 隨機利率下求解保險公司的最優(yōu)投資問題

公司的總資產變化滿足如下隨機微分方程

式中v為初始盈余.

Vasicek隨機利率模型為

最大化終端財富的期望效用函數為目標：設T是終端時刻，效用函數為U(x)，值函數

首先給出該問題的HJB方程

(4)

其中

對其求最大值，將上式對π求導，并令其等于零可得

解得

代入方程(4)中，整理可得

(5)

其中g(·)是一個待定的函數，由邊值條件有g(0)=0.在這種情況下易得

代入方程(5)中，整理可知g(T-t)需要滿足如下方程

積分并令g(0)=0，則有

(6)

其中λ=1+r(T-t).

3 實證分析

本論文在建立模型時,假設風險資產的收益率是比無風險資產的收益率高的.但是由于全球經濟危機的影響,從2007年開始,投資于風險資產的收益率普遍下降,低于存款利率,有時還是負值.所以在對本模型的實證研究中,采取2005年全年以及2006年上半年的數據.

3.1 無風險利率的確定[6]

我國以銀行存款利率作為金融資產定價的基準,所以采用銀行存款利率作為無風險利率.本文采用一年期的定期存款利率作為無風險資產,那么,利率的平均值就可以作為無風險資產的收益率.本文收集了從1990年1月至2012年7月的中國人民銀行公布的一年期定期存款利率,計算得平均值為rf=4.27%,波動率為σf=0.007 89.

3.2 風險資產的確定

選取上證國債指數、上證企債指數、上證180指數和上證基金指數作為風險資產.選取從2005年1月至2006年6月之間的收盤數據作為研究樣本,計算其年平均收益率作為風險資產的收益率.計算其方差,作為風險資產的波動率.計算結果見表1.

表1 四種風險資產的年平均收益率及波動率

對四種風險資產的平均收益率和波動率取平均值,來作為投資于風險資產的平均收益率和波動率.計算得μ=20.46%,σs=4.97%.

在計算風險資產與無風險資產之間的相關系數時,采用的是1992年1月至2012年7月的數據,計算得ρ=-0.31.

3.3 實證研究

采用中國人壽保險公司的投資情況來做實證研究.在2005年全年和2006年上半年中，中國人壽保險公司可用來進行投資的資金平均為55 921 900萬元.風險偏好系數為0.5.

將以上計算所得的數據代入(3)式和(6)式中，計算得，在不考慮利率的隨機性的情況下，投資于風險資產的比例為0.000 306%.在考慮了利率隨機性的情況下，投資于風險資產的比例為5.45%.而在實際情況中,中國人壽保險公司投資于風險資產的比例為4.2%(本數據來源于中國人壽2005年報和2006中報).顯然,在考慮了利率隨機性的情況下,計算所得的比例更接近實際情況.

4 結束語

保險公司的最優(yōu)投資比例問題是近年來學術界關注的一個問題，但是現有的研究很少考慮到利率的隨機性.本文在考慮隨機利率的情況下,建立了HJB方程.同時，因為保險公司在投資時，最重要的是保證資金的安全性，所以采用指數效用函數作為保險公司的效用函數，解出了最優(yōu)投資比例.

最后將求解的結果運用到實際中，采用中國人壽保險公司的數據進行實證.結果顯示，考慮了利率的隨機性的模型,計算出的結果更加符合實際，也就更加的現實指導意義.

[1] BROWNE S.Optimal investment policies for a firm with a random risk process exponential utility and minimizing the probability of ruin[J].Mathematics of Operations Research,1995,20(4):937-958.

[2] TAKSAR M,MARKUSEEN C.Optimal dynamic reinsurance policies for large insurance portfolios[J].Finance Stochastics,2003(7):97-121.

[3] 郭文旌.保險公司的最優(yōu)投資策略選擇[J].數理統(tǒng)計與管理,2010,29(1):144-149.

[4] 袁遠,施齊焉.基于Hamilton-Jacobi-Bellman方程求解保險業(yè)最優(yōu)投資策略[J].經濟數學,2012,29(4):105-110.

[5] 榮喜民,范立鑫.常彈性方差保險模型下保險人的最優(yōu)投資策略[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2012，32(12),2619-2628.

[6] 張景肖.隨機最優(yōu)控制及其在保險中的應用[M].北京：科學出版社，2013.