劉 珺

(太原理工大學測繪科學與技術系，山西 太原030024)

一、引 言

在GNSS定位技術高速發(fā)展與廣泛應用中，坐標轉換是必不可少的［1］，常常需要把GNSS獲取的WGS-84坐標系下的坐標轉換到國家坐標系或地方坐標系下。

在坐標轉換問題中，當有足夠數(shù)量的重合點的兩套坐標值時，一般通過Gauss-Markov(GM)模型建立誤差模型，采用經(jīng)典LS法來求解其轉換參數(shù)。而GM模型的前提是假設僅有觀測向量包含隨機誤差，系數(shù)矩陣完全準確而不包含隨機誤差，即目標坐標值存在誤差而源坐標沒有被隨機誤差所污染。但是，同一個重合點在兩套坐標系下的坐標值都是通過測量或計算得到的，不可避免地都會受到觀測環(huán)境、觀測者、觀測儀器等的影響而含有隨機誤差。此時，LS法所得的估值不具有無偏性等傳統(tǒng)特性［2-3］，不再是理想的最佳估值。

針對以上不足，基于EIV(errors-in-variables)模型的總體最小二乘(total least squares，TLS)被引入到坐標轉換問題中，并得到廣泛研究與應用。許多研究表明，TLS方法建立的EIV模型能夠很好地處理坐標轉換計算中所有數(shù)據(jù)都被偶然誤差所污染的問題［4-7］。陳義等［4］研究表明，在攝影測量的坐標轉換中，即使當控制點分布不合理或控制點數(shù)量減少時，TLS法仍能得到具有較高精度和較穩(wěn)定的解。孔建等［5］將TLS分別應用于四參數(shù)模型和仿射變換模型中，通過比較實驗所得平差的單位權因子，得出了TLS所得的轉換參數(shù)是最優(yōu)的結論。劉立龍等［6］通過算例指出，在六參數(shù)平面坐標轉換模型的參數(shù)解算中，TLS能夠更好地改善坐標轉換的內部精度。

考慮坐標轉換問題的多樣性和誤差分布的復雜性，那么具體到七參數(shù)坐標轉換，如GNSS定位技術所得的WGS-84坐標轉換到國家或地方坐標系中，TLS法是否一定是比LS法更優(yōu)的解決方案。本文就重合點在兩種不同坐標系下的坐標值獨立、等精度條件下，通過算例，計算和比較LS和TLS方法的轉換參數(shù)值和相應的精度來對上述問題進行探討。

二、七參數(shù)轉換模型

兩種不同的坐標系的轉換參數(shù)是通過已知的重合點坐標值得到。如果已知k個重合點(k＞3)在A和B兩種坐標系下的坐標值，那么觀測值數(shù)量為n=3k，參數(shù)個數(shù)為m=7，可列出相應的七參數(shù)坐標轉換模型為

式中，XA、YA和ZA表示A坐標下的坐標;XB、YB和ZB表示B坐標下的坐標;X0、Y0、Z0、εX、εY、εZ和u是A坐標系統(tǒng)轉換到B坐標系統(tǒng)的7個轉換參數(shù)，分別為3個平移量參數(shù)，3個旋轉量參數(shù)和1個縮放因子參數(shù)。

在LS法下，將觀測向量L中的改正數(shù)記作V，參數(shù)向量的平差值記作^X，則誤差方程可寫成

三、TLS法解算轉換參數(shù)

假定兩種坐標系統(tǒng)下的坐標值互相獨立且服從N(0，1)，則可建立約束條件(目標函數(shù))為

式中，vec()表示拉直變換。

式(3)和式(4)即為TLS的七參數(shù)坐標轉換解算模型。本文采用基于迭代法對上述模型進行求解［8］，并評定精度。

四、算例分析

本文算例［9］中包含5個重合點，其在WGS-84和1954北京坐標系下的測量坐標值見表1。

首先建立七參數(shù)坐標轉換模型，然后分別采用LS法和TLS法，使用Matlab編寫計算程序，求得相應的轉換參數(shù)見表2，同時計算兩種方法所得的單位權中誤差與相應各轉換參數(shù)的中誤差見表3。

通過LS法得到單位權中誤差為3．47 cm，那么可以選擇+30 cm(超過了3倍的單位權中誤差)作為粗差。設計5種坐標值中包含粗差的方案，具體如下:

P1-a:XA1坐標值包含一個粗差(+30 cm)。

P1-b:XB1坐標值包含一個粗差(+30 cm)。

P2-a:XA1和YA1坐標值各包含一個粗差(+30 cm)。

P2-b:XB1和YB1坐標值各包含一個粗差(+30 cm)。

P2-c:XA1和XA2坐標值各包含一個粗差(+30 cm)。

按上述方案模擬數(shù)據(jù)，采用LS法和TLS法所得的參數(shù)解見表4，以及相應參數(shù)精度見表5。

表1 兩種坐標系下的測量坐標值 m

表2 LS和TLS應用于七參數(shù)坐標轉換模型的參數(shù)解

表3 LS和TLS應用于七參數(shù)坐標轉換模型的參數(shù)精度

表4 LS和TLS應用于七參數(shù)坐標轉換模型的參數(shù)解(坐標值含有粗差)

表5 LS和TLS應用于七參數(shù)坐標轉換模型的參數(shù)精度(坐標值含有粗差)

由表3可知，TLS解算的單位權中誤差和相應參數(shù)中誤差都比LS計算的結果小，說明TLS解算的精度比LS高。由表2可知，TLS和LS解算的轉換參數(shù)沒有顯著差異，說明TLS和LS求得的轉換參數(shù)后續(xù)用于其他點的坐標轉換時所得坐標值將是一樣的。

由表4和表5可知，當坐標值中含有粗差時，LS法和TLS法所得的參數(shù)解幾乎相同，但在精度上TLS法還是相對較高。但結合表2和表3來看，LS法和TLS法都不能很好地抵抗粗差對參數(shù)解的影響。

五、結 論

1)在七參數(shù)坐標轉換模型中，TLS對所有變量的誤差施加了最小化的約束條件。與LS相比，TLS同時考慮系數(shù)矩陣和觀測向量的誤差所建立的EIV模型，更為合理和符合實際。

2)在七參數(shù)轉換模型中，相對于LS法，TLS雖然在精度(單位權中誤差和轉換參數(shù)的中誤差)上有一些優(yōu)勢，但是所求的坐標轉換參數(shù)是沒有顯著差異的，坐標轉換參數(shù)對系數(shù)矩陣的誤差不敏感。當坐標值中存在粗差時，TLS法和LS法同樣不能很好地抵抗粗差對轉換參數(shù)解的影響。

3)在七參數(shù)轉換的工程應用中，相比于轉換參數(shù)的精度，我們往往更關心的是所得轉換參數(shù)解的值。那么在相應的工程測量的實踐中，為了簡化計算過程，仍可直接采用LS法來求解，而不選用TLS法。

［1］ 郭英起，唐彬，張秋江，等．基于空間直角坐標系的高精度坐標轉換方法研究［J］．大地測量與地球動力學，2012，32(3):125-128．

［2］ 丁克良，歐吉坤，陳義．整體最小二乘法及其在測量數(shù)據(jù)處理中的應用［C］∥中國測繪學會第九次全國會員代表大會．北京:中國測繪學會，2009．

［3］ 劉經(jīng)南，曾文憲，徐培亮．整體最小二乘估計的研究進展［J］．武漢大學學報:信息科學版，2013，38(5):505-512．

［4］ 陳義，陸玨，鄭波．總體最小二乘方法在空間后方交會中的應用［J］．武漢大學學報:信息科學版，2008，33(12):1271-1274．

［5］ 孔建，姚宜斌，許雙安．整體最小二乘求取坐標轉換參數(shù)［J］．大地測量與地球動力學，2010，30(3):74-78．

［6］ 劉立龍，姚朝龍．LS和TLS在平面坐標轉換中的應用［J］．測繪科學，2012，37(5):12-13．

［7］ 陸玨，陳義，鄭波．總體最小二乘方法在三維坐標轉換中的應用［J］．大地測量與地球動力學，2008，28(5):77-81．

［8］ 魯鐵定，周世健．總體最小二乘的迭代解法［J］．武漢大學學報:信息科學版，2010，35(11):1351-1354．

［9］ 武漢大學測繪學院．誤差理論與測量平差基礎［M］．武漢:武漢大學出版社，2003．