Weyl型定理的新變形*

王紅衛(wèi)

(新鄉(xiāng)廣播電視大學(xué)， 基礎(chǔ)教研室,河南 新鄉(xiāng) 453003)

摘要:引入了Weyl型定理的新變形-(bt)性質(zhì),研究了它與其他的Weyl型定理之間的關(guān)系,并給出了(bt)性質(zhì)成立的條件及它的擾動(dòng)性質(zhì)。

關(guān)鍵詞:(bt)性質(zhì);擾動(dòng);SVEP;Weyl型定理

中圖分類號(hào)：O177.1

收稿日期：*2015-05-15

作者簡介：王紅衛(wèi)(1966-)，男，河南新鄉(xiāng)人，講師，主要從事算子理論研究。

本文中, 設(shè)X為無窮維的復(fù)Banach空間,L(X)為X上有界線性算子的全體。若T∈L(X),記N(T)、R(T)、σ(T)、σa(T)、σs(T)和isoσ(T)分別為T的零空間、值域空間、譜、近似點(diǎn)譜,滿譜和譜點(diǎn)的孤立點(diǎn)。若R(T)是閉集,且α(T)=dimN(T) <∞(β(T)=dimX/R(T) <∞),則稱T為上半(下半) Fredholm算子。記Φ+(X) (Φ-(X))分別為上半(下半) Fredholm算子集。半Fredholm算子Φ±(X)=Φ+(X)∪Φ-(X),此時(shí)算子T的指標(biāo)定義為i(T)=α(T)-β(T)。 Fredholm算子Φ(X)=Φ+(X) ∩Φ-(X),T的本質(zhì)譜σe(T)={λ∈C:T-λI∈Φ(X)}。上半Weyl算子W+(X)={T∈Φ+(X)∶i(T)≤0},Wey算子W(X)=W+(X) ∩W-(X)={T∈Φ(X)∶i(T)=0}。上面的算子類生成如下譜集:σw(T)={λ∈C∶T-λI?W(X)},σuw(T)={λ∈C∶T-λI?W+(X)},其中σw(T),σuw(T)分別為T的Weryl譜,上半Weyl譜。由文獻(xiàn)[1]知,若σ(T)σuw(T)=π00(T),則稱T滿足(t)性質(zhì),其中π00(T)={λ∈isoσ(T)∶0 <α(T-λI) <∞}。

滿足N(Tn)=N(Tn+1)的最小非負(fù)整數(shù)n稱為T的上升,記為p(T)。滿足R(Tn)=R(Tn+1)的最小非負(fù)整數(shù)n稱為T的下降,記為q(T)。上半-Browder算子B+(X)={T∈Φ+(X)∶p(T) <∞},Browder算子B(X)={T∈Φ(X)∶p(T)=q(T) <∞}。T的Browder譜σb(T)={λ∈C∶λI-T?B(X)},上半-Browder譜σub(T)={λ∈C∶λI-T?B+(X)}。設(shè)T∈L(X),令p00(T)=σ(T)σb(T)。1909年,Weyl在文獻(xiàn)[2]中研究Hermitian算子T的緊擾動(dòng)時(shí),發(fā)現(xiàn)λ屬于T的有限重孤立的特征值的充要條件是λ屬于T的譜集,但不屬于T的所有緊擾動(dòng)的譜集,這個(gè)結(jié)論就是今天的Weyl定理。20世紀(jì)90年代,許多學(xué)者對(duì)Weyl定理進(jìn)行變形與推廣。Harte等在文獻(xiàn)[3]中定義了Browder定理,Browder定理是Weyl定理成立的前提。Rakocevic在文獻(xiàn)[4]中給出了Weyl定理的其他變形,稱之為a-Weyl定理和a-Browder定理。下面引入新的Weyl型定理。

定義1若T滿足σ(T)σuw(T)=p00(T),則稱T有(bt)性質(zhì)。

在局部譜理論中,SVEP起著重要的角色,參看文獻(xiàn)[5, 6]。

設(shè)D是λ的一個(gè)開鄰域,若f:D→H是一個(gè)滿足(μ-T)f(μ)=0的H-值解析函數(shù),則有f≡ 0,則稱T在λ∈C點(diǎn)有單值擴(kuò)展性質(zhì)(簡稱SVEP),當(dāng)T在每一點(diǎn)λ∈C有SVEP,則稱T有SVEP。

T和T*在譜點(diǎn)的邊界有SVEP,因此T和T*在譜點(diǎn)的孤立點(diǎn)有SVEP。

依據(jù)文獻(xiàn)[7]定理1.2 設(shè)T∈L(X),λ0I-T∈Φ±(X),則下列陳述等價(jià):

(i)T在λ0點(diǎn)有SVEP;(ii)p(T-λ0I) <∞;(iii)λ0不是σa(T)的聚點(diǎn)。

對(duì)偶的,若λ0I-T∈Φ±(X),則下列陳述等價(jià):

(iv)T*在λ0點(diǎn)有SVEP;(v)q(T-λ0I) <∞;(vi)λ0不是σs(T)的聚點(diǎn)。

若任給λ∈isoσ(T),λ為T的預(yù)解集的極點(diǎn),則稱T為極。如果T的本質(zhì)譜σe(T)={0},則稱T為Riesz算子,緊算子和擬冪零算子都是Riesz算子。

主要結(jié)果

定理1.1T有(bt)性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)σuw(T)=σb(T)。

證明由于T有(bt)性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)σ(T)σuw(T)=p00(T),又由于p00(T)=σ(T)σb(T),從而T有(bt)性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)σuw(T)=σb(T)。

定理1.2若T有(t)性質(zhì),則T有(bt)性質(zhì)。

證明由于對(duì)任意的算子T,σ(T)σuw(T) ?p00(T),因此只需證σ(T)σuw(T)?p00(T)。由于T有(t)性質(zhì),則σ(T)σuw(T)=π00(T)。設(shè)λ∈σ(T)σuw(T),則λ∈π00(T),λ是σ(T)和σ(T*)的孤立點(diǎn),從而p(T-λI)=q(T-λI) <∞,λ∈p00(T),即T有(bt)性質(zhì)。

下面的例子說明(bt)性質(zhì)嚴(yán)格弱于(t)性質(zhì)。

例1.3設(shè)T(x1,x2,…)=(x2/22,x3/23,…),?x=(x1,x2,…)∈l2(N)

則σ(T)=σuw(T)=π00(T)={0}且p00(T)=Φ,從而σ(T)σuw(T)=p00(T)=Φ,即T有(bt)性質(zhì)。然而由于σ(T)σuw(T) ≠π00(T),從而T不滿足(t)性質(zhì)。

定理1.4T有(t)性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)一下兩個(gè)條件滿足:

(i)T有(bt)性質(zhì);

(ii)π00(T)=p00(T)

證明若T有(t)性質(zhì),則σ(T)σuw(T)=π00(T)且T有(bt)性質(zhì),即σ(T)σuw(T)=p00(T),從而π00(T)=p00(T)。反過來,若T有(bt)性質(zhì)且π00(T)=p00(T),則σ(T)σuw(T)=p00(T)=π00(T),即T有(t)性質(zhì)。

推論1.5若T是極,則T有(t)性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)T有(bt)性質(zhì)。

證明若T是極,易證π00(T)=p00(T)。由定理1.4得(t)性質(zhì)與(bt)性質(zhì)等價(jià)。

下面的例子說明(bt)性質(zhì)不能遺傳到其共軛算子T*。

例1.6設(shè)L:l2(N) →l2(N)是單側(cè)左移位算子,則σ(T)=σ(T*)=σuw(T)=D,σuw(T*)=?D且p00(T*)=p00(T)=Φ,其中D為閉的單位圓盤,?D為單位圓周。從而σ(T)σuw(T)=p00(T)=Φ,即T有(bt)性質(zhì)。另一方面,由于σ(T*)σuw(T*) ≠Φ=p00(T*),則T*不滿足(bt)性質(zhì)。

設(shè)T∈L(X),R∈L(X)是與T可交換的Riesz算子。則由文獻(xiàn)[8]命題5及文獻(xiàn)[9]定理1得

σuw(T+R)=σuw(T).

σw(T+R)=σw(T).

σub(T+R)=σub(T).

σb(T+R)=σb(T).

定理1.7設(shè)T∈L(X),E∈L(X)是與T可交換的Riesz算子。則T有(bt)性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)T+E有(bt)性質(zhì)。

證明設(shè)T有(bt)性質(zhì),E是與T可交換的Riesz算子。則σuw(T+E)=σuw(T)=σb(T)=σb(T+E),即T+E有(bt)性質(zhì)。反過來同理可得。

推論1.8設(shè)T∈L(X),E∈L(X)是與T可交換的擬冪零算子。則T有(bt)性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)T+E有(bt)性質(zhì)。

推論1.9設(shè)T∈L(X),E∈L(X)是與T可交換的緊算子,則T有(bt)性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)T+E有(bt)性質(zhì)。

(責(zé)任編輯呂春紅)

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New Variation of Weyl Type Theorem

WANG Hong-wei

(Based Teaching and Research Section, XinXiang Radio and

Television University, Xinxiang 453003,China)

Abstract:In this paper we introduce the new property (bt), which extend property (t) introduced by Rashid. We investigate the property (bt) in connection with Weyl type theorem,and establish sufficient and necessary conditions for which property (bt) holds. We also study the stability of property (bt) under perturbation by Riesz operators commuting with T.

Key words: property (bt); perturbation; SVEP; Weyl type theorem