高 智

（中國科學院力學研究所高溫氣體動力學國家重點實驗室，北京 100190）

干擾剪切流動穩(wěn)定性理論及其對高雷諾數(shù)流動數(shù)值模擬方法的改進

高 智＊

（中國科學院力學研究所高溫氣體動力學國家重點實驗室，北京 100190）

在干擾剪切流（Interacting Shear Flow，ISF）理論的基礎上，提出ISF穩(wěn)定性理論并把它用于改進高雷諾（Re）數(shù)流動計算方法。（1）高Re數(shù)內外繞流的RANS計算及工業(yè)標準PNS計算中，流動轉捩的預測均基于經典邊界層理論；然而轉捩并非總是最早發(fā)生在邊界層中，例如發(fā)生在壁面小突起、小凹坑、小窄縫等局部粘性/無粘強干擾區(qū)，這些強干擾區(qū)可能位于邊界層內，但邊界層理論并不適用于它們，又如轉捩發(fā)生在分離點鄰域強干擾區(qū)等。（2）ISF理論表明：高Re數(shù)內外繞流為一復雜ISF，轉捩總是最早發(fā)生在該ISF的層流區(qū)中。（3）ISF穩(wěn)定性理論表明：作者提出的干擾剪切擾動流（Interacting Shear Perturbed Flow，ISPF）方程組可以計算ISF層流中非湍流擾動運動演化并預測轉捩；ISF方程組和ISPF方程組分別與PNS和拋物化穩(wěn)定性方程（PSE）為同類方程組，PSE分析計算邊界層穩(wěn)定性的眾多成功實踐，說明用ISPF（即PSE）方程組計算ISF層流擾動流并預測轉捩完全可行。（4）RANS和PNS方法經ISF穩(wěn)定性理論改進后，在轉捩前用ISF方程組（即PNS）計算ISF層流基本流，用ISPF方程組（即PSE）計算ISF層流擾動流并預測轉捩位置；轉捩后RANS方法計算RANS或RANS/LES，PNS方法計算干擾剪切湍流（ISTF）方程組即拋物化RANS（PRANS）方程組。改進后的兩方法，理論合理正確，方程體系完備、自洽，ISF方程組只能用ISPF方程組相配對，因此是高Re數(shù)內外繞流計算的理想且可持續(xù)發(fā)展的兩種方法。

高雷諾數(shù)流動；PNS方法；RANS方程；干擾剪切流（ISF）理論；ISF穩(wěn)定性理論

0 引 言

高雷諾（Re）數(shù)流動的數(shù)值模擬是科學問題，也是眾多工程技術領域的重大需求，多年來涌現(xiàn)了計算高Re數(shù)流動的大量文獻。通常認為Navier-Stokes（NS）方程可以描述高Re數(shù)湍流流動，并且認為在最小空間尺度（Kolmogoroff尺度）網格下的NS方程高精度高分辨率計算，即直接數(shù)值模擬（DNS），可以獲得最小尺度層次上的湍流統(tǒng)計平均特性或流動。但對具有工程價值的實際流動，DNS的難度和耗費都很大，文獻［1］估計具有工程使用價值的湍流DNS到2080年才能實現(xiàn)。未來五、六十年時期內，湍流計算主要是RANS方程計算［1］和工業(yè)標準氣動計算的PNS方程計算［2］，這兩種計算都必須補充湍流模型和轉捩模型，這些模型都具有經驗性且都缺乏普適性。湍流模型已有廣泛、豐富的研究和眾多的應用計算，轉捩模型的知識相比較欠缺，借助經驗估算轉捩位置的計算方法均基于粘性邊界層穩(wěn)定性理論［3-4］，主要的如：轉捩模型方法，即建立邊界層間歇因子模式方程并植入湍流模型計算中（如見［5-6］）；經驗轉捩準則方法，即根據(jù)風洞和飛行實驗資料歸納出邊界層相關特征量在轉捩處滿足的經驗轉捩關系（準則），例如邊界層動量厚度和外緣馬赫數(shù)滿足的經驗轉捩關系（準則）［7-8］等；應用較廣泛的是半經驗eN方法［9-13］，該方法利用邊界層線性穩(wěn)定性理論（LST）或拋物化穩(wěn)定性方程（PSE）計算擾動幅值增長率，沿擾動傳播方向積分增長率獲得擾動的相對增長倍數(shù)eN，當邊界層中最不穩(wěn)定波的增長倍數(shù)達到某一經驗值（或NT≈9.0～11）時，邊界層發(fā)生轉捩。

然而必須指出針對本文研究的高Re數(shù)內外繞流問題，許多重要的流動轉捩并非總是最早發(fā)生在經典邊界層中，例如轉捩發(fā)生在壁面小突起、小凹坑、小臺階和小窄縫等所謂三層（Triple-deck）理論點鄰域的局部粘性/無粘強干擾流動中［3］，這些三層局部干擾區(qū)可能位于經典邊界層內，但邊界層理論及其穩(wěn)定性理論并不適用于它們，又如轉捩發(fā)生在分離點、尾緣點鄰域的強干擾流動中，管道和噴管順軸流的來流中心擾動嚴重時轉捩發(fā)生在管道中心區(qū)的情況，都不是在經典邊界層中發(fā)生轉捩；特別是波系干擾嚴重的超聲速繞流和激波十分貼近壁面的高超聲速繞流，經典邊界層現(xiàn)象可能不明顯甚至不存在。另一方面，粘性/無粘干擾剪切流動（ISF）理論［14-16］表明：高Re數(shù)內外繞流是一復雜ISF，經典邊界層僅是ISF粘性層中的一小段。例如高超聲速鈍頭錐繞流，激波和壁面之間的整個激波層為一復雜粘性/無粘干擾剪切流（ISF），參見圖1，繞流轉捩前為ISF，包括干擾剪切層流基本流（ISLBF）和干擾剪切擾動流（ISPF），轉捩后為干擾剪切湍流（ISTF）。因此利用邊界層理論預測轉捩，首先要在ISF基本流中找出邊界層，并計算邊界層方程及其穩(wěn)定性方程，然后把它們與ISF基本流計算相耦合；局部邊界層計算與ISF基本流計算顯然不相匹配，理論邏輯上也不合理。應當指出：對ISF層流基本流計算，與它相匹配的擾動流計算就是干擾剪切擾動流（ISPF）方程組計算，因此聯(lián)立求解ISF方程組和ISPF方程組計算ISF層流基本流及擾動流，即ISF穩(wěn)定性理論計算必將導致高Re數(shù)流動數(shù)值模擬方法的實質性改進。本文簡述了ISF理論及與PNS的關系，干擾剪切擾動流（ISPF）理論、方程組及與拋物化穩(wěn)定性方程（PSE）［9-13］的關系，ISF第一和第二穩(wěn)定性理論，ISF穩(wěn)定性理論及其推論并用于改進高Re數(shù)繞流流動的數(shù)值模擬方法。

圖1 高超聲速鈍頭錐繞流，激波和壁面之間的整個激波層為復雜干擾剪切流（ISF），轉捩前為干擾剪切層流基本流（ISLBF）和干擾剪切擾動流（ISPF），轉捩后為干擾剪切湍流（ISTF）Fig.1 Shock-wave layer in a hypersonic flow over blunt-cone-body is a complex interacting shearflow（ISF），that is interacting shear laminar basic flow and its perturbed flow before transition andinteracting shear turbulent flow（ISTF）after transition

1 干擾剪切流動（ISF）理論、ISF方程組及與PNS的關系

作者提煉出的干擾剪切流動（ISF）由粘性剪切層及與它相互作用的相鄰無粘外流組成，ISF的核心流動規(guī)律是粘性層流向對流占優(yōu)、法向對流擴散相競爭，該規(guī)律的數(shù)學定義式對二維流是：

這里f＝（u，v），u、v為粘性層流向（x方向）和法向（y方向）流速分量，ρ和μ分別為密度和粘性系數(shù)。作者［17］導出ISF粘性層的長度和速度尺度律為：

其中（xp，yp，zp）＝（x，y，z）/L，（up，vp，wp）＝（u，v，w）/U，ReL＝ρUL/μ，，0≤q≤ 1/2，q為干擾參數(shù)。q＝0，ISF表示駐點流也表示經典邊界層和相鄰無粘外流（兩者之間無干擾）；q＝1/4，ISF的粘性層正是三層干擾流的下層［3］，此時的ISF表示三層干擾流動?？梢姼逺e數(shù)內外繞流近壁粘性/無粘層流是若干局部區(qū)域ISF組成的復雜ISF；描述該復雜ISF顯然必須使用貼體正交曲線坐標系，否則ISF數(shù)學定義式（1）和（2）不成立。

ISF方程組與PNS的關系：利用ISF數(shù)學定義式化簡NS得到ISF方程組，ISF方程組與熟知的拋物化NS（PNS）為同類方程組。因此，對內外繞流近壁粘性/無粘層流，ISF（即PNS）方程組是完全NS方程組的合理近似，這就從理論上解釋了ISF（PNS）方程組為什么具有普適價值，PNS方法為什么得到廣泛應用并成為工業(yè)標準氣動計算的基礎［2］。PNS是20世紀六七十年代人們?yōu)橛嬎愦蠓秶鶬SF（例如尖和鈍前緣平板高超聲速繞流，橫向壓力梯度不可忽略的射流和混合層流動，鈍頭體高空超聲速繞流，兩板垂直相交的順角流及矩形截面管道和圓管內外順軸流，小鈍頭細長錐和尖頭細長錐高超聲速繞流等）而提出的，PNS有些略有差異的不同形式，稱呼也不相同，但它們有相同的數(shù)學性質，即拋物化性質，對它們的求解初邊值數(shù)學提法適定，不需要規(guī)定流向下游邊界條件，且沿流向可對它們實施空間推進求解，使計算維數(shù)減少一維，在流向馬赫數(shù)大于1時，又可對它們實施高效的單次空間推進求解［19-21］。在這些大范圍ISF中往往會出現(xiàn)湍流，此時必須用干擾剪切湍流（ISTF）方程組［15-16］，即拋物化RANS（PRANS）方程組替代NS方程組。不難看出提出PNS所考慮的這些大范圍粘性/無粘流動其實也是若干局部區(qū)域ISF組成的復雜ISF。

應當指出，人們早先并沒有弄清楚PNS到底描述什么基本流動，適不適用于駐點流等問題。ISF理論解決了上述問題，它就是PNS的流體力學基本理論，因此ISF理論亦被稱作PNS理論［21］。對不可壓縮二維駐點流和三維非定常駐點流，文獻［22］已證實ISF（即PNS）方程組解與完全NS方程組解完全一致；對分離區(qū)小的內外繞流，眾多計算證實［19-21］ISF（即PNS）方程組數(shù)值解與完全NS方程組數(shù)值解很好相符。因此對高Re數(shù)內外繞流有粘/無粘層流（即ISF），ISF（即PNS）方程組是完全NS方程組的合理且很好的近似方程，正像文獻［23-25］論述的薄層（TL）NS（即PNS）方程組丟掉的粘性小項在尋常的NS計算中是算不出來的，理應丟掉這些粘性小項，且丟掉它們帶來的誤差小于湍流模型引起的誤差，這是ISF（即PNS）方法成為工業(yè)標準氣動計算基礎的另一原因。最后有必要指出，ISF（即PNS）理論［14-17］不僅使早期說法不一的PNS諸方法能夠自圓其說，把PNS諸方法統(tǒng)一在一個理論之中；而且ISF理論在高Re數(shù)流動的PNS方程以及NS方程和RANS方程數(shù)值計算中都有一些重要的應用，例如在計算網格設計和壁面邊界條件選擇中的應用，在PNS方程和NS方程計算結果可信度評估方面的應用［21］，特別是ISF粘性層長度尺度律［17］揭示了ISF中粘性/無粘干擾將導致粘性層產生小尺度干擾流動（例如三層干擾流動），這些小尺度干擾流動將導致物理量（例如壁面熱流）局部突增，而對高超聲速繞流，局部強干擾引起的熱流突增等氣動現(xiàn)象將導致飛行器局部受損，甚至造成飛行事故［26］，因此在PNS方程以及NS方程計算中，很有必要根據(jù)ISF粘性層長度尺度演化規(guī)律，分辨并計算好這些小尺度干擾流動結構。

2 干擾剪切擾動流（ISPF）理論、ISPF方程組及與PSE的關系

在討論ISF穩(wěn)定性問題之前，先簡述作者提出的干擾剪切擾動流（ISPF）理論及ISPF方程組［15-16］，并考察ISPF方程組與拋物化穩(wěn)定性方程（PSE）［27-28］的關系。層流運動的穩(wěn)定性通常根據(jù)層流中小擾動（即非湍流擾動）的演化來確定［3］，ISF的穩(wěn)定性因此由干擾剪切擾動流（ISPF）方程組的解來確定。ISPF是存在非湍流擾動運動的ISF，按照作者［15-16］的考慮，ISPF由粘性剪切擾動流及與它相互作用的相鄰無粘擾動外流所組成，粘性剪切擾動層在流向對流占優(yōu)，法向對流擴散競爭，數(shù)學定義式為［15-16］：

其中f′＝u′、v′、w′和T′，分別為流速分量u、v、w和溫度T的非湍流擾動量，并有，，y方向為ISPF粘性剪切擾動薄層的法向。按照流動穩(wěn)定性理論［3］的通常處理，認為和u＝（u，v，w）均滿足NS方程，為未擾ISF流速矢量，由u的NS方程組減去珔u的NS方程組得到支配非湍流擾動運動的控制方程組，再利用式（4）進行簡化，得到干擾剪切擾動流（ISPF）方程組，對不可壓縮流和直角坐標系中的情況有：

對遠場采用自由來流條件。線性ISPF（LISPF）方程組和非線性ISPF（NISPF）方程組可用來確定近壁ISF中非湍流擾動運動的演化，結合實驗資料又可預測轉捩。應該提到ISPF方程組與ISF方程組都應在貼體坐標系中寫出，不過從完全NS擾動方程組到ISPF方程組的拋物化簡化處理，貼體正交曲線坐標系和直角坐標系下拋物化簡化處理完全類似。

ISPF方程組與拋物化穩(wěn)定性方程（PSE）的關系，PSE是Herbert和Bertolotti在1987提出的［27］，他們從原始變量NS擾動運動方程組出發(fā)，采用模（mode）-振幅函數(shù)分析方法，在擾動是時間周期函數(shù)的假設下，把原始擾動變量φ′＝（u′，v′，w′；T′，ρ′）轉換到復數(shù)形式振幅函數(shù)。對線性PSE（LPSE）：

其中α、β是復數(shù)形式的流向和展向波數(shù)，w為頻率。對非線性PSE（NPSE）仍然假定原始擾動變量是時間和展向Z的周期函數(shù)，由于非線性作用將激發(fā)高次諧波，且假定高次諧波的波數(shù)和頻率是基本波數(shù)和頻率的整數(shù)倍，原始擾動變量展開為Fourier級數(shù)：

通過考慮不難發(fā)現(xiàn)，把線性和非線性ISPF方程組中原始變量轉換為振幅函數(shù)變量，于是得到線性和非線性PSE；反之，把線性和非線性PSE中的振幅函數(shù)變量逆轉為原始擾動變量，于是得到線性和非線性ISPF方程組。因此PSE與ISPF方程組一樣，它們都適用ISF、適用于高Re數(shù)內外繞流近壁有粘/無粘層流流動。不幸的是，從一開始PSE就被局限于ISF的粘性/無粘無干擾或弱干擾流動區(qū)域即邊界層區(qū)域［27］，丟掉了PSE還適用的ISF中粘性/無粘強干擾的流動區(qū)域，特別是丟掉了PSE對ISF整個流動區(qū)域的適用性。PSE提出近三十年來，眾多學者利用它分析了邊界層的穩(wěn)定性特性，獲得了有價值的豐碩成果［4，9-13，28］。主要的成果如線性PSE算出中性穩(wěn)定曲線比邊界層線性穩(wěn)定性理論（LST）的結果更接近實驗，且既能考慮流動的非平行性，計算量又比LST?。挥梅蔷€性PSE算出的結果（包括基本流動，高次諧波以及對基本流修正的幅值與剖面等）與直接數(shù)值模擬（DNS）的結果很好相符；用非線性PSE算出的高速平面混合層的二維及三維大尺度渦結構亦與DNS的結果很好相符?？傊?，根據(jù)已有的研究成果可得到如下的結論：對ISF粘性層之邊界層流動中的非湍流擾動運動演化及轉捩發(fā)生，PSE和ISPF方程組解是DNS的合理近似；而對ISF粘性層之粘性/無粘強干擾流動區(qū)域中的非湍流擾動運動演化及轉捩發(fā)生、特別是對ISF整個流動區(qū)域中的非湍流擾動運動演化及轉捩發(fā)生，PSE和ISPF方程組解還有待發(fā)展和深化。此外應指出：文獻［18］證實ISF粘性層和它的擾動流（即ISPF）粘性擾動層存在同一的長度尺度結構，因此若ISF基本流因粘性/無粘干擾而出現(xiàn)小尺度結構和相應的物理量（如壁面熱流）突增，則它的擾動流（即ISPF）中也將出現(xiàn)小尺度擾動結構和相應的擾動量突增，擾動量突增無疑與流動轉捩密切相關，因此在PSE和ISPF方程計算中，特別在用振幅方程計算時，必須分辨并算好粘性/無粘干擾引起的小尺度擾動結構及相應的擾動量突增。

3 ISF第一和第二穩(wěn)定性理論

在ISPF方程組研究［15-16］的基礎上，本文提出ISF穩(wěn)定性理論。

ISF第一穩(wěn)定性理論：對給定的ISF和ISF方程組解，若非湍流擾動（u′，p′），即ISPF方程組（5-6）或式（7-8）的解隨時間衰減或放大，則稱未擾或稱ISF層流基本流分別為穩(wěn)定和不穩(wěn)定。

ISF第二穩(wěn)定性理論：對給定的ISF和定常ISF方程組解及x＝x0位置的“初始”擾動，若非湍流擾動運動（u′，p′），即定常ISPF方程組（5-6）或式（7-8）的解隨流動向下游（x＞x0）發(fā)展而衰減或放大，則稱ISF層流基本流分別為穩(wěn)定或不穩(wěn)定。

（1）ISF穩(wěn)定性理論是一全新的課題，故需作一些必要的討論。

由于ISF包含許多近壁局部區(qū)域ISF和節(jié)1所說的大范圍ISF，所以ISF穩(wěn)定性分析涉及許多豐富的研究內容，例如駐點鄰域ISF穩(wěn)定性、經典邊界層與其無粘外流組成的ISF的穩(wěn)定性，分離點鄰域ISF和再附點鄰域ISF穩(wěn)定性，圓筒內、外順軸向ISF穩(wěn)定性、高超和超聲速尖前緣和鈍前緣平板、尖細長錐和小鈍頭細長錐高超聲速繞流激波和壁面之間ISF的穩(wěn)定性等等。這些無疑都超出了粘性邊界層穩(wěn)定性理論的范圍。因此，需要實驗的研究和理論分析計算，需要熟習節(jié)1和節(jié)2中研討的ISF理論和ISPF理論以及求解PNS和PSE方程的數(shù)值方法。

上述ISF穩(wěn)定性分析，無疑具有重要的理論基礎意義和工程應用價值。稍加考慮即可列舉出許多有意義的例子，例如圓筒內順軸流，O.Reynolds在1883年經典實驗中測出的轉捩臨界Reynolds數(shù)后經實驗測定多次加以改進和完善，然而迄今未看到相應的理論分析和計算結果。又如高超和超聲速尖前緣和鈍前緣平板、尖細長錐和小鈍頭細長錐繞流ISF穩(wěn)定性分析，獲得非湍流擾動運動演化歷程并結合實驗資料預測轉捩位置，無疑是迫切的工程需求，這種激波很貼近壁面的復雜干擾流動中往往邊界層不明顯甚至不存在。又如駐點鄰域ISF，分離點鄰域ISF和再附點鄰域ISF穩(wěn)定性分析，自然是具有流體力學基礎意義的新課題。顯然ISF穩(wěn)定性理論能夠分析和計算上述這些新課題。

（2）對ISF第一穩(wěn)定性理論，當沿用邊界層穩(wěn)定性理論［3］，采取模（mode）-振幅函數(shù)分析方法時，需要找出ISF振幅函數(shù)滿足的廣義Orr-Sommerfeld（OS）方程并進行相應的特征值問題求解、研究初始穩(wěn)定、二次穩(wěn)定、中性穩(wěn)定曲線、中性穩(wěn)定Reynolds數(shù)、放大因子、及局部擾動波包（wave-packets）理論等。

已知利用PSE即ISPF方程組求解的模-振幅函數(shù)方法，分析計算粘性/無粘無干擾和弱干擾ISF粘性層（即邊界層流）中非湍流擾動運動的演化及轉捩發(fā)生的結果是DNS結果的合理近似。但是對粘性/無粘強干擾ISF，例如三層干擾流動［3］，它的流向和法向長度尺度僅為Re-3/8和Re-5/8或更小［3，17］。對強干擾ISF，尚未看到PSE即ISPF方程組的模-振幅函數(shù)方法的求解，這是有待發(fā)展的研究。由于ISF粘性層和ISPF粘性擾動層具有同一的空間尺度結構［18］，故在強干擾的流向小尺度區(qū)域，物理量（如壁面熱流等）及非湍流擾動量都將發(fā)生局部“突增”現(xiàn)象。在高超聲速繞流中，壁面熱流等局部突變是引起飛行器局部受損的嚴重氣動現(xiàn)象［26］；非湍流擾動量的局部突增無疑與轉捩密切相關，往往直接導致轉捩［3］。因此，對ISPF即PSE的求解不論采用模-振幅函數(shù)方法還是用原始擾動變量方法，以及對ISF即PNS方程的求解，都應關注和保證ISF強干擾區(qū)求解的有效性問題。如上所述強干擾區(qū)涉及的流向長度僅約LRe-3/8，與L相比很小，但它們對壁面熱流突增、發(fā)生轉捩的計算至關重要；這樣才能保證在復雜ISF的整個流動區(qū)域，ISF即PNS的結果與NS的結果很好的相符，因此保證了在復雜ISF的整個層流流動區(qū)域ISF（即PNS）方程組解加上ISPF（即PSE）方程組解是ISF的DNS的合理近似。

（3）關于ISF第二穩(wěn)定性理論，根據(jù)ISF粘性剪切層數(shù)學定義式（1）和（2）及連續(xù)性方程推知，粘性層切向特征流速u遠大于法向特征流速v，x方向的長度尺度遠大于法向長度尺度，因此分析和計算非湍流擾動運動沿x方向的演化具有物理意義，現(xiàn)在雖然還未看到這樣的數(shù)值計算，但可推斷這樣的計算可行且有效。已知文獻上不論對ISF（即PNS）方程組的求解，還是對ISPF（即PSE）方程組的求解，在流向馬赫數(shù)大于1的條件下都采用空間推進求解的有效計算方法，而且數(shù)值結果豐碩，求解技術眾多［9-13，19-21］。因此可以合理推斷：由于ISPF粘性擾動層與ISF粘性層存在同一的空間尺度結構［18］，因此在與ISF（即PNS）方程組計算網格設計大體一致的粗網格下，人們能夠有效地求解ISPF（即PSE）方程組，獲得ISF層流中非湍流擾動運動，如對不可壓縮流即u′和p′的演化歷程，結合實驗資料并可預測轉捩位置。PSE分析邊界層穩(wěn)定性的眾多有效的計算實踐亦為人們能夠有效求解ISPF方程提供了有力的旁證。關于ISF第二穩(wěn)定性理論的進一步討論與對第一穩(wěn)定性理論討論一致，這里不再重復。

（4）關于ISF穩(wěn)定性理論的重要性問題，已有流動轉捩位置的理論加經驗預測均基于邊界層穩(wěn)定性理論，然而轉捩并非總是最早發(fā)生在粘性邊界層中，邊界層僅是ISF粘性層的一小段，因此已有預測轉捩位置的邊界層理論計算方法局限性很大。流動轉捩總是發(fā)生在ISF層流中，如上所述ISF包含了眾多具有基礎意義和工程應用價值的粘性-無粘流動，經典邊界層加上它的相鄰無粘外流僅是ISF的一個典型特例?？梢?，ISF穩(wěn)定性理論提供了更好、覆蓋面更寬廣的預測轉捩位置的理論計算方法，而且ISF穩(wěn)定性理論的結果自然也包含了邊界層穩(wěn)定性理論的結果在內，因此對層流-轉捩-湍流全程流動計算具有重要的理論意義和應用價值。

4 ISF穩(wěn)定性理論的推論

推論1：干擾剪切擾動流（ISPF）即PSE方程組計算結合實驗資料提供了預測ISF層流轉捩位置的理論計算方法。

討論：參考邊界層穩(wěn)定性理論預測轉捩的研究［3-13］，預測ISF轉捩位置除了計算ISPF方程組外，還需要根據(jù)具體ISF的轉捩實驗數(shù)據(jù)確定擾動量的時間放大程度（如eN方法中的N值）和空間放大程度與轉捩位置的定量關系。因此不論根據(jù)時間放大還是空間放大來確定ISF轉捩位置都具有經驗性，也沒有對所有ISF都適用的通用性質。但是，由于ISF，高Re數(shù)內外繞流近壁粘性/無粘層流是比邊界層更寬廣的重要流動現(xiàn)象，因此ISF穩(wěn)定性理論開辟了流動穩(wěn)定性研究的新課題和新領域，ISF穩(wěn)定性理論的結果也包含了邊界層穩(wěn)定性理論的結果在內，對它的實驗研究和理論分析計算因此值得關注和重視。由于粘性邊界層加上它的相鄰無粘外流是ISF的一個典型特例，因此ISF穩(wěn)定性研究完全可以參考和借鑒邊界層穩(wěn)定性理論的有關研究。

推論2：ISF（即PNS）和ISPF（即PSE）方程組粗網格下的計算結果可合理近似ISF轉捩前DNS的結果。

文獻上的已有計算結果和節(jié)2與節(jié)3的分析討論說明：對ISF、對高Re內、外繞流近壁粘性/無粘層流，ISF（即PNS）方程組數(shù)值結果與NS結果很好相符，關于邊界層非湍流擾動運動演化，ISPF（即PSE）方程組的計算結果與DNS的結果很好相符，關于ISF非湍流擾動運動演化，可以預期ISPF（PSE）方程組計算將得到類似的結果，因此推論2成立。值得強調，在計算機時代，發(fā)展這樣的近似方程理論，即在粗網格條件下計算它們可合理近似轉捩前DNS的方程理論，具有重要的理論意義和工程價值；近似方程理論既能滿足工業(yè)標準計算的需求，且在一定程度上能夠揭示流動機理。目前看來，推論2還是合理簡單且唯一的近似方程理論，對唯一近似方程理論的重要性有必要進一步加以強調，這是因為邊界層穩(wěn)定性理論不能解決ISF的穩(wěn)定性問題；而層流DNS雖然比湍流DNS的耗費少很多，但由于轉捩處物理量及其擾動量的變化梯度大，因此以轉捩處為下游邊界的層流DNS并不可能；轉捩前層流的DNS只能與更遠下游的湍流DNS一同求出?；谙嗤睦碛?，以轉捩處為下游邊界的層流基本流NS方程組求解以及擾動流NS擾動方程組的數(shù)值求解也沒有可能。此外對工業(yè)標準氣動計算，即使在DNS時代，RANS方法仍是一種有用的方法。因此對高Re數(shù)內外繞流計算，ISF加ISPF方程組可能是長期有用的近似方程理論，只要RANS方程有用，該近似方程理論就有用；對于轉捩后的湍流現(xiàn)在沒有、作者認為未來也不可能有這樣的近似方程理論，由于湍流脈動在時間和空間上都具有雜亂無章和隨機性特性，因此難以提出湍流脈動運動的演化方程，人們只好對湍流做時間平均和空間濾波運算，得到RANS和大渦模擬（LES）方程，再補充Reynolds應力模型和亞格子應力模型以封閉RANS和LES，獲得湍流時間平均流動和大渦運動，這可看作是合理近似湍流DNS的另一種形式的近似方程理論；很顯然RANS、LES、RANS/LES等就是這樣的近似方程理論。應該提到，湍流DNS給出的也是最小尺度（Kolmogoroff尺度）網格下的湍流統(tǒng)計平均流動。

5 ISF穩(wěn)定性理論和推論的應用

現(xiàn)今不論是工業(yè)標準氣動計算基礎的傳統(tǒng)PNS方法，還是廣泛應用的湍流RANS、RANS/LES等方法（統(tǒng)稱RANS方法），都存在一個不足，即對層流-轉捩-湍流全程高Re數(shù)流動計算、層流計算和轉捩位置的確定是至今仍未很好解決的難題。

推論1和推論2與傳統(tǒng)拋物化NS（PNS）方法和流行的湍流RANS方法相結合，這兩個方法均將得到實質性的改進。現(xiàn)今得到廣泛應用、已成為工業(yè)標準氣動計算基礎的傳統(tǒng)PNS方法［2，19-25］運算為：ISF（即PNS）方程組計算加上基于邊界層穩(wěn)定性計算結合實驗資料預測轉捩位置，轉捩后進行干擾剪切湍流（ISTF）（即PRANS）方程組計算。

推論1和推論2把傳統(tǒng)PNS方法改進為如下的運算：

ISF（即PNS）和ISPF（即PSE）方程計算結合實驗資料并確定轉捩位置，轉捩后為ISTF（即PRANS）方程計算。

這里PRANS為拋物化RANS。

流行的湍流RANS方法運算為：RANS和NS計算加邊界層穩(wěn)定性計算結合實驗資料預測轉捩位置，轉捩后進行RANS、RANS/LES等方程組計算。

推論1和推論2把流行的RANS方法改進為：

ISF（PNS）和ISPF（PSE）方程組計算結合實驗資料確定轉捩位置，轉捩后為RANS、RANS/LES等方程組計算。

顯然，改進后的兩方法與傳統(tǒng)PNS方法和流行的湍流RANS方法相比，最大的特點是避免了根據(jù)邊界層穩(wěn)定性計算結合實驗資料推算轉捩位置的處理。邊界層與ISF（對PNS方法）和近壁NS流（對RANS方法）不一致，邊界層只是ISF粘性層和近壁NS流粘性層中的局部流動區(qū)域。邊界層穩(wěn)定性計算必須首先在ISF或近壁NS流中找到邊界層，然后求解邊界層方程組及其穩(wěn)定性方程，更大的問題是我們不知道轉捩是否最早發(fā)生在邊界層中，也不知道ISF、近壁NS流中是否存在邊界層?？傊鶕?jù)邊界層穩(wěn)定性理論預測轉捩的方法，邊界層與ISF或近壁NS流不一致，邊界層方程與ISF方程和NS方程不一致，對邊界層的計算其實是額外的計算，且值得懷疑的問題不少。相反根據(jù)ISPF（即PSE）方程組計算預測轉捩位置的方法，它算出的是ISF中非湍流擾動的演化歷程，ISF擾動流與ISF基本流完全一致，ISPF與ISF方程組相匹配，特別是轉捩總是最早發(fā)生在ISF中。改進后的兩方法在轉捩前都是計算ISF和ISPF方程，這是ISF層流區(qū)DNS的合理近似，在轉捩后是計算PRANS（對PNS方法）或是計算RANS、RANS/LES方程（對RANS方法），這是ISF湍流區(qū)DNS的合理近似，因此是高Re數(shù)流動計算的理想方法，且是可持續(xù)發(fā)展的兩方法，因為不論合理近似層流DNS，還是合理近似湍流DNS，不論轉捩的實驗和理論分析計算，還是湍流Reynolds應力模型和亞格子尺度應力模型，以及計算能力的提高，都有不斷改進的余地和需求。

最后提到，在改進后的RANS方法中，對近壁粘性/無粘層流及其擾動流的計算使用ISF和ISPF方程組，且如節(jié)4所述不能使用NS方程組和相應的NS擾動運動方程組；由于ISF是近壁NS層流的很好近似，ISF方程組是近壁NS方程組的很好近似；而且ISF和ISPF方程組數(shù)學上均為拋物型，對它們的求解不論是空間推進求解還是時間相關求解，都不需要規(guī)定下游邊界條件，大大簡化了轉捩前層流流動的計算；相反用NS或RANS方程組計算轉捩前的層流流動時，由于不能在轉捩處設置下游邊界條件而必須并把下游邊界放在轉捩后流動沿流向變化緩慢的區(qū)域，計算實際上已成為層流加湍流的DNS，無疑增加了計算的困難和麻煩。特別是對超聲速和高超聲速繞流，不論對ISF（即PNS）方程組還是對ISPF（即PSE）方程組，均可實施高效的單次空間推進求解，計算維數(shù)減少一維，是理想的氣動快速算法。

6 結束語

高Re數(shù)流動計算是科學問題，更是眾多工程技術領域的重大需求。計算需要的湍流模型已有廣泛的研究和應用，需要的流動轉捩位置理論預測均基于邊界層穩(wěn)定性理論，然而轉捩并非總是最早發(fā)生在粘性邊界層中，且有些內、外繞流的層流區(qū)域邊界層現(xiàn)象可能不明顯甚至不存在，因此已有預測轉捩位置的計算方法局限性很大。流動轉捩總是最早發(fā)生在干擾剪切流（ISF）中，ISF包含了眾多具有基礎意義和工程應用價值的粘性-無粘流動，經典邊界層加上它的相鄰無粘外流僅是ISF的一個典型特例。顯然ISF穩(wěn)定性理論是一個新課題，是流動穩(wěn)定性的新開拓，該課題的實驗研究和深化、干擾剪切擾動流（ISPF）方程即PSE的有效求解，必將導致已有的高Re數(shù)流動計算方法：傳統(tǒng)PNS方法和湍流RANS方法的實質性改進。改進后的兩方法在轉捩前都是計算ISF-和ISPF-方程體系，得到的是層流DNS的合理近似，轉捩后是湍流DNS的合理近似，方程體系完備、自洽，除需補充湍流模型外，不需要人為假定或根據(jù)邊界層穩(wěn)定性理論經驗估算轉捩位置，是粗網格下計算高Re數(shù)流動的理想且可持續(xù)發(fā)展的方法；特別是只要RANS方法有用，ISF和ISPF近似方程理論就有用處。進而考慮到湍流DNS給出的最完美結果是最小尺度（Kolmogoroff尺度）網格下的湍流統(tǒng)計平均流動，因此改進后的PNS方法和RANS方法很有可能引領未來的工業(yè)標準高Re數(shù)流動計算研究。

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Interacting shear flow stability theory with application to improving computational method of simulating numerically high Reynolds number flows

Gao Zhi
（State Key Laboratory of High Temperature Gas Dynamics，Institute of Mechanics，Chinese Academy of Science，Beijing 100190，China）

On the basis of the interacting shear flow（ISF）theory proposed by the author，the ISF stability theory and its two inferences with application to improving computational methods of simulating numerically high Reynolds（Re）number inner/outer flows are presented in this paper.（1）In the RANS computations and an industry-standard PNS computations for high Reynolds number flows over bodies，predicting transition is always based on the classical boundary-layer theory coupled with experimental data；however，transition does not always occur originally in boundary-layer，initial transition may occur in dents，or small step or small cracks at wall，these local strong interaction flow regions may locate in boundary layer，but boundary-layer theory is not suitable for these flow regions，and transition occurs in strong interaction flow region near separation point etc.（2）Flow transition occurs always in interacting shear flow，ISF theory extracted by the author is composed of viscous shear layer and its neighbor outer inviscidflow with interaction each other；ISF summarizes many viscous-inviscid flows with basis meanings and engineering values，two typical example of ISF are the classical viscous boundary layer added its neighbor outer inviscid flow，and the viscous/inviscid flow near wall in highRenumber inner/outer flows over bodies.（3）The interacting shear perturbed flow（ISPF）equations offer new theoretical computational method to simulate non-turbulence perturbed motion and transition in ISF.The ISF-equations and ISPF equations are respectively the same kind of PNS-and PSE-equations.Many works of using PSE analyses and computes boundary-layer stability show that it is perfectly feasible to compute perturbed flow of ISF and predict transition using ISPF（or PSE）equations.（4）The computational results given by solving simultaneously ISF-and ISPF equations are reasonable approximation of the direct numerical simulation（DNS）of ISF before transition.（5）Integrating the ISF stability theory and its two inferences with both of the traditional PNS method and the current RANS，RANS/LES methods（call them RANS method unitedly here）leads to several substantial improvements of this two methods.Such as，avoiding artificial assumption of transition location or estimating experientially transition location on the basis of the boundary layer stability theory etc..Both of improved PNS-and RANS-methods compute simultaneously ISF-and ISPF-equations，that provide reasonable approximation of direct numerical simulation（DNS）of ISF before transition；after transition the improved PNS method computes parabolized RANS（PRANS）equations and the improved RANS method computes RANS，RANS/LES equations and both of this two calculations provide reasonable approximation of statistical average flow given by DNS of interacting shear turbulent flow.（6）In the improved these two methods，equation system is perfect and self-affirming，therefore they are ideal methods for computing highRenumber inner/outer flows over bodies and would have broad prospects of development and application.

high Reynolds number flow；PNS method；RANS method；interacting shear flow（ISF）theory；ISF stability theory

V211.3

：Adoi：10.7638/kqdlxxb-2014.0098

0258-1825（2015）02-0183-09

2014-09-17；

：2015-01-11

國家自然科學基金（11272324）

高智＊（1937-），研究員，主要從事流體力學，計算流體力學研究.E-mail：gaozhi＠imech.ac.cn

高智.干擾剪切流動穩(wěn)定性理論及其對高雷諾數(shù)流動數(shù)值模擬方法的改進［J］.空氣動力學學報，2015，33（2）：183-191.

10.7638/kqdlxxb-2014.0098 Gao Z.Interacting shear flow stability theory with application to improving computational method of simulating numerically high Reynolds number flows［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2015，33（2）：183-191.