曹勝才

從命題形式上看，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，該內(nèi)容常與命題的真假性判斷結(jié)合考查. 對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定首先得弄清以下幾點(diǎn)：（1）弄清命題是全稱命題還是特稱命題，是正確寫(xiě)出命題的否定的前提. （2）注意命題所含的量詞，沒(méi)有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進(jìn)行否定. （3）“[p或q]”的否定為：“[? p]且[? q]”;“[p]且[q]”的否定為：“[? p]或[? q]”. （4）要判斷“[? p]”命題的真假，可以直接判斷，也可以判斷“[p]”的真假，因?yàn)閇p]與[? p]的真假相反.

含有一個(gè)量詞的命題的否定

例1 ?命題“所有不能被2整除的整數(shù)都是奇數(shù)”的否定是（ ? ）

A. 所有能被2整除的整數(shù)都是奇數(shù)

B. 所有不能被2整除的整數(shù)都不是奇數(shù)

C. 存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)

D. 存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)不是奇數(shù)

解析 ?否定全稱命題和特稱命題時(shí)，一定要改寫(xiě)量詞，全稱量詞改寫(xiě)為存在量詞，存在量詞改寫(xiě)為全稱量詞，二是要否定結(jié)論.

答案 ?D

例2 ?“[?x∈A，x2-2x-3>0]”的否定為（ ? ）

A. [?x∈A，x2-2x-3<0]

B. [?x?A，x2-2x-3≤0]

C. [?x∈A，x2-2x-3>0]

D. [?x∈A，x2-2x-3≤0]

解析 ?特稱命題的否定為全稱命題，

故“[?x∈A，][x2-2x-3>0]”的否定為：“[?x∈A，x2-2x][-3≤0]”.

答案 ?D

點(diǎn)撥 ?（1）對(duì)全（特）稱命題進(jìn)行否定的方法：①找到命題所含的量詞，沒(méi)有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，并且改變量詞或符號(hào)（全稱量詞[?]特稱量詞）;②找到[p（x）]并否定. （2）“否命題”與“命題的否定”的區(qū)別.“否命題”與“命題的否定”不是同一概念，否命題是對(duì)原命題“若[p]則[q]”的否定，既否定其條件，又否定其結(jié)論，它們之間沒(méi)有真假關(guān)系. 而“命題[p]的否定”即“[?p]”是否定命題中的結(jié)論，它們之間真假相反.如：例2中不要錯(cuò)選成B.

與含一個(gè)量詞的命題的否定有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題

例3 ?已知命題“[?x∈R，x2+2ax+1<0]”是假命題，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是（ ? ）

A. [（-∞，-1）] B. [（1，+∞）]

C. [（-∞，-1）?（1，+∞）] D. [-1，1]

解析 ?由題意知，原命題的否定：[?x∈R，x2+2ax+1][≥0]為真命題，即Δ[=4a2-4≤0]，

[∴-1≤a≤1].

答案 ?D

例4 ?已知命題[p]：[?x∈0，1，a≥ex]，命題[q]：“[?x0∈R，x02+4x0+a=0]”，命題“[p∧q]”是假命題，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是（ ? ）

A. [-∞，4] B. [（-∞，1）?（4，+∞）] C. [（-∞，e）?（4，+∞）] D. [1，+∞]

解析 ?當(dāng)[p]為真命題時(shí)，[a≥e].

當(dāng)[q]為真命題時(shí)，[x2+4x+a=0]有解，

則[Δ=16-4a≥0，]

[∴a≤4].

法一：[p∧q]的否定為真命題，即[? p∨?q]為真命題，

[∴a]的取值范圍是[（-∞，e）?（4，+∞）].

法二：若[p∧q]為真命題時(shí)，[e≤a≤4]，

[∴]“[p∧q]”為假命題時(shí)，[a4].

點(diǎn)撥 ?（1）[p，q]為真命題時(shí)，分別求出相應(yīng)參數(shù)的范圍;（2）用補(bǔ)集思想，求出[?p]，[?q]對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍;（3）由復(fù)合命題真假轉(zhuǎn)化為集合基本運(yùn)算綜合得參數(shù)范圍.

全稱命題中的全稱量詞表明給定范圍內(nèi)所有對(duì)象都具備某一性質(zhì)，無(wú)一例外，而特稱命題中的存在量詞卻表明給定范圍內(nèi)的對(duì)象，有例外，兩者正好構(gòu)成了相反意義的表述，所以全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.

常見(jiàn)量詞的否定

[詞語(yǔ)＼&詞語(yǔ)的否定＼&詞語(yǔ)＼&詞語(yǔ)的否定＼&等于＼&不等于＼&至多一個(gè)＼&至少兩個(gè)＼&大于＼&不大于（即小于或等于）＼&至少一個(gè)＼&一個(gè)也沒(méi)有＼&小于＼&不小于（即大于或等于）＼&任意＼&某個(gè)＼&是＼&不是＼&所有的＼&某些＼&都是＼&不都是（與“都不是”區(qū)別開(kāi)）＼&一定＼&不一定＼&]

練習(xí)

1. 命題“所有奇數(shù)的立方都是奇數(shù)”的否定是（ ? ）

A. 所有奇數(shù)的立方都不是奇數(shù)

B. 不存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)

C. 存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)

D. 不存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是奇數(shù)

2. 設(shè)[x∈Z]，集合[A]是奇數(shù)集，集合[B]是偶數(shù)集，若命題[p：?x∈A，2x∈B]，則（ ? ）

A. [? p：?x∈A，2x?B]

B. [? p：?x?A，2x?B]

C. [? p：?x?A，2x?B]

D. [? p：?x∈A，2x?B]

3. 在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、已兩位學(xué)員各跳一次.設(shè)命題[p]是“甲降落在指定范圍”，[q]是“乙降落在指定范圍”，則命題：“至少有一位學(xué)員沒(méi)有降落在指定范圍”可表示為（ ? ）

A. [（?p）∨（?q）] ? ? B. [p∨（?q）]

C. [（?p）∧（?q）] ? D. [p∧q]

4. 已知“命題[p：?x∈R]，使得[ax2+2x+1<0]成立”為真命題，則實(shí)數(shù)[a]滿足（ ? ）

A. [0，1] ? B. [（-∞，1）]

C. [1，+∞] ? D. [-∞，1]

5. 已知[f（x）=3sinx-πx，]命題[p：?x∈（0，π2），f（x）<0，]則（ ? ）

A. [p]是真命題，[?p：?x∈（0，π2），f（x）>0]

B. [p]是真命題，[?p：?x0∈（0，π2），f（x0）≥0]

C. [p]是假命題，[?p：?x∈（0，π2），f（x）≥0]

D. [p]是假命題，[?p：?x0∈（0，π2），f（x0）≥0]

6. 已知命題[p1]存在[x∈R]，使得[x2+x+1<0]成立;[p2]對(duì)任意[x∈1，2]，[x2-1≥0.] 以下命題為真命題的是（ ? ）

A. [?p1∧?p2] ? B. [p1∨?p2]

C. [?p1∧p2] ? ? D. [p1∧p2]

參考答案

1. C ?全稱命題的否定，改變量詞為“存在一個(gè)”，然后否定結(jié)論即可.

2. D ?全稱命題的否定，注意符號(hào)變化，不要錯(cuò)選C.

3. A ?復(fù)合命題的否定，“至少有一位學(xué)員沒(méi)有降落在指定范圍內(nèi)”的否定是“都降落在指定范圍”即“[p∧q]”的否定.

4. B ?注意討論，若[a=0]時(shí)，符合題意;若[a≠0]，則[△=4-4a>0]即[a<1].

5. B ?[f（x）=3cosx-π<0]，[f（x）在（0，π2）]上是減函數(shù)，[f（x）

6. ?C ?由題意知[p1]為假命題，[p2]為真命題.