梅磊

否命題和命題的否定在邏輯上是兩個(gè)極易混淆的概念，加之課本上沒(méi)有詳細(xì)羅列和區(qū)分，因此它是“常用邏輯用語(yǔ)”中的一個(gè)難點(diǎn). 許多同學(xué)對(duì)這兩個(gè)概念模糊不清，即使能夠區(qū)分開來(lái)，卻不能正確地書寫.

否命題和命題的否定的區(qū)別如下. （1）從概念上看：否命題和命題的否定是兩個(gè)完全不同的概念.（2）從形式上看：對(duì)“若[p]，則[q]”形式的命題而言，其否命題為“若[?p]，則[?q]”;而命題的否定為“若[p]，則[?q]”.（3）從對(duì)象上看：否命題一般針對(duì)“若[p]，則[q]”形式的命題和可以改寫成“若[p]，則[q]”形式的命題而言;而任何命題都有其命題的否定.（4）從真值上看：否命題的真假性與原命題的真假性沒(méi)有關(guān)系;而命題的否定的真假性與原命題的真假性相反.

“若[p]，則[q]”形式的命題的否命題及命題的否定

例1 ? 寫出下列命題的否命題及命題的否定，并判斷其真假.

（1）若[m>0]，則方程[x2+x-m]有實(shí)數(shù)根;

（2）若[f（x）]是正弦函數(shù)，則[f（x）]是周期函數(shù).

解析 ?（1）否命題：若[m≤0]，則方程[x2+x-m]沒(méi)有實(shí)數(shù)根.這是假命題.

命題的否定：若[m>0]，則方程[x2+x-m]沒(méi)有實(shí)數(shù)根.這是假命題.

（2）否命題：若[f（x）]不是正弦函數(shù)，則[f（x）]不是周期函數(shù).這是假命題.

命題的否定：若[f（x）]是正弦函數(shù)，則[f（x）]不是周期函數(shù).這是假命題.

點(diǎn)撥 ?對(duì)“若[p]，則[q]”形式的命題而言，其否命題為“若[?p]，則[?q]”，即條件和結(jié)論都要否定;而命題的否定為“若[p]，則[?q]”，即不否定條件，只否定結(jié)論.

可改寫為“若[p]，則[q]”形式的命題的否命題及命題的否定

例2 ?寫出下列命題的否命題及命題的否定，并判斷其真假.

（1）矩形的對(duì)角線相等;

（2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

解析 ?（1）原命題可以改寫成：若一個(gè)四邊形是矩形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等.

否命題：若一個(gè)四邊形不是矩形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等.這是假命題.

命題的否定：若一個(gè)四邊形是矩形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等.這是假命題.

（2）原命題可以改寫成：若一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則這個(gè)點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

否命題：若一個(gè)點(diǎn)不在線段的垂直平分線上，則這個(gè)點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離不相等.這是真命題.

命題的否定：若一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則這個(gè)點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離不相等.這是假命題.

點(diǎn)撥 ?對(duì)于形式上不是“若[p]，則[q]”形式的命題，應(yīng)該首先改寫成“若[p]，則[q]”形式的命題，再寫其否命題和命題的否定. 改寫時(shí)，應(yīng)注意區(qū)分哪是條件，哪是結(jié)論.

含有邏輯聯(lián)接詞的命題的否命題及命題的否定

例3 ?寫出下列命題的否命題及命題的否定，并判斷其真假.

（1）若[m≤2]且[n≤3]，則[m+n≤5];

（2）若[x=1]或[x=-1]，則[x2=1].

解析 ?（1）否命題：若[m>2]或[n>3]，則[m+n>5].這是假命題.

命題的否定：若[m≤2]且[n≤3]，則[m+n>5].這是假命題.

（2）否命題：若[x≠1]且[x≠-1]，則[x2≠1].這是真命題.

命題的否定：若[x=1]或[x=-1]，則[x2≠1].這是假命題.

點(diǎn)撥 ?對(duì)于含有邏輯聯(lián)接詞的命題的否定，要注意“[p]或[q]”的否定是“[?p]且[?q]”，“[p]且[q]”的否定形式是“[?p]或[?q]”.第（1）小題的常見(jiàn)錯(cuò)誤是把否命題寫成“若[m>2]且[n>3]，則[m+n>5]”;第（2）小題的常見(jiàn)錯(cuò)誤是把否命題寫成“若[x≠1]或[x≠-1]，則[x2≠1]”.

含有大前提的命題的否命題及命題的否定

例4 ?寫出下列命題的否命題及命題的否定，并判斷其真假.

（1）當(dāng)[c>0]時(shí)，若[a>b]，則[ac>bc];

（2）在[△ABC]中，若[A>B]，則[sinA>sinB].

解析 ?（1）否命題：當(dāng)[c>0]時(shí)，若[a≤b]，則[ac≤bc].這是真命題.

命題的否定：當(dāng)[c>0]時(shí)，若[a>b]，則[ac≤bc].這是假命題.

（2）否命題：在[△ABC]中，若[A≤B]，則[sinA≤sinB].這是真命題.

命題的否定：在[△ABC]中，若[A>B]，則[sinA≤sinB].這是假命題.

點(diǎn)撥 ?對(duì)于含有大前提的命題，在寫其否命題和命題的否定時(shí)，應(yīng)保持大前提不變.

含有“都是”的命題的否命題及命題的否定

例5 ?寫出下列命題的否命題及命題的否定，并判斷其真假.

（1）若兩個(gè)整數(shù)[a]，[b]都是偶數(shù)，則[a+b]是偶數(shù);

（2）若[x2+y2=0]，則[x，y]全為0.

解析 ?（1）否命題：若兩個(gè)整數(shù)[a]，[b]不都是偶數(shù)，則[a+b]不是偶數(shù).這是假命題.

命題的否定：若兩個(gè)整數(shù)[a]，[b]都是偶數(shù)，則[a+b]不是偶數(shù).這是假命題.