解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院 衛(wèi)星通信與導(dǎo)航江蘇高校協(xié)同創(chuàng)新中心 朱 明 呂 晶 柯明星 童凱翔

0 引言

GPS剛開始主要是用于授時(shí)及精密定位，隨著載波相位差分技術(shù)及計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展成熟，由多個(gè)GPS天線組成的載體姿態(tài)測(cè)量系統(tǒng)可以對(duì)載體姿態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)或事后的測(cè)量[1][7]。姿態(tài)在陸地、航海、航空及空間應(yīng)用中都是非常重要的導(dǎo)航信息，尤其隨著新技術(shù)的發(fā)展與革新，對(duì)姿態(tài)精度的要求越來越高，如航空重力測(cè)量、航空攝影測(cè)量等高精度測(cè)量技術(shù)需要達(dá)到事后分級(jí)甚至秒級(jí)姿態(tài)精度，航海、航空等領(lǐng)域一般要達(dá)到分級(jí)實(shí)時(shí)姿態(tài)精度。

目前，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)多天線測(cè)姿進(jìn)行了大量的研究，根據(jù)天線布設(shè)的不同，提出了多種多天線姿態(tài)解算方法，其中最常用的有直接姿態(tài)求解算法和最小二乘姿態(tài)解算法。同時(shí)，也對(duì)影響多天線姿態(tài)解算精度的因素進(jìn)行了相關(guān)分析，得到了一些有益的結(jié)論，如天線數(shù)量越多，基線越長(zhǎng)，布設(shè)越均勻，姿態(tài)解算精度就越高。但是，由于載體范圍的限制，天線布設(shè)很難滿足理想的條件。因此，在有限的條件下，提高基線解算精度和尋找最優(yōu)的姿態(tài)解算方法是非常關(guān)鍵的。本文通過比較當(dāng)前常用的三種姿態(tài)求解算法其誤差分析，認(rèn)為在有限的條件下，提高基線解算精度和尋找最優(yōu)的姿態(tài)解算方法是非常關(guān)鍵的。

1 多天線GPS姿態(tài)解算模型

1.1 本地坐標(biāo)系

在確定姿態(tài)的時(shí)候，一般用地理坐標(biāo)系當(dāng)作參考坐標(biāo)系。這個(gè)坐標(biāo)系是建立在地心坐標(biāo)系上，隨著地球轉(zhuǎn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)。此坐標(biāo)系定義為：以運(yùn)動(dòng)載體的質(zhì)心為原點(diǎn)，沿著子午線向北，在地心矢量方向上，通過右手規(guī)則確定。本地坐標(biāo)系如下圖1所示，簡(jiǎn)稱為ENU導(dǎo)航坐標(biāo)系。

圖1 本地坐標(biāo)系

1.2 載體坐標(biāo)系

一個(gè)載體的全姿態(tài)確定至少需要三個(gè)不在同一直線上的天線。為了不失一般性，載體坐標(biāo)系xbybzb的原點(diǎn)選在主天線1上；xb軸沿原點(diǎn)指向天線2；yb軸垂直于天線平面；zb軸與xb軸和yb軸滿足右手法則，且在天線平面內(nèi)，如圖2所示。

圖2 載體坐標(biāo)系

1.3 旋轉(zhuǎn)矩陣

多天線姿態(tài)解算主要利用載體坐標(biāo)系和本地坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣如下：

地心坐標(biāo)系到本地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換可以通過繞Ze正轉(zhuǎn)入，然后再繞Ye反轉(zhuǎn)(90°+L)，最后繞XN反轉(zhuǎn)90度就轉(zhuǎn)換到了本地坐標(biāo)系。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為：

本地坐標(biāo)系ENU通過偏航角 ，俯仰角 ，滾動(dòng)角 轉(zhuǎn)換到載體坐標(biāo)系xbybzb，其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣如下：

旋轉(zhuǎn)角可以通過旋轉(zhuǎn)矩陣元素R(i,j)表示如下：

本地坐標(biāo)系到載體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)，實(shí)際上是把本地坐標(biāo)系中的矢量(x,y,z)T映射成載體坐標(biāo)系中的矢量(xb,yb,zb)T，可以寫成：

2 姿態(tài)求解算法

利用GPS多天線求解姿態(tài)角的系統(tǒng)中，基線矢量的本地參考坐標(biāo)系是通過GPS載波相位差分方程求得，參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)定義在主天線1上，而載體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)被認(rèn)為是精確已知的，且在動(dòng)態(tài)過程中認(rèn)為不變。

2.1 直接計(jì)算法1

GPS載體坐標(biāo)系定義如圖2所示。主天線1定為原點(diǎn)，天線1到天線2的基線b12定為x軸，則基線b12在載體坐標(biāo)系下的坐標(biāo),b13的坐標(biāo)為，而b12、b13在參考坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為和。則姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣 滿足：

把基線矢量b12的坐標(biāo)b12和u2代入(5)得：

又因?yàn)樽藨B(tài)矩陣是正交的，偏航角 和俯仰角 可求得如下：

觀察上式可知，利用基線b12就可以確定用戶的偏航角和俯仰角。當(dāng)計(jì)算出偏航角和俯仰角之后，基線矢量b13經(jīng)過如下變換：先繞y軸旋轉(zhuǎn)，然后再繞旋轉(zhuǎn)，從參考系旋轉(zhuǎn)到輔助坐標(biāo)系。b13在輔助坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

由方程(9)可以解得旋轉(zhuǎn)角 為：

直接計(jì)算姿態(tài)角公式僅用了當(dāng)前歷元的兩個(gè)基線矢量，當(dāng)超過兩個(gè)基線矢量時(shí)，可以構(gòu)成基線矢量對(duì)來求解姿態(tài)角。從統(tǒng)計(jì)的角度看，直接計(jì)算法是次優(yōu)的，觀察公式可看出沒有用到。

2.2 直接計(jì)算法2

姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣最為簡(jiǎn)單的求解方法是，利用兩條不在同一直線上的基線構(gòu)成天線平臺(tái)，假定兩條不共線的基線矢量在本地坐標(biāo)系下的單位坐標(biāo)矢量為u1和u2，在載體坐標(biāo)系中的單位坐標(biāo)矢量分別為b1和b2。當(dāng)姿態(tài)矩陣R滿足：時(shí)，利用u1和u2，構(gòu)造成本地坐標(biāo)系下的正交化矩陣：

同理，利用b1和b2構(gòu)造成載體坐標(biāo)系下的正交化矩陣：

使得旋轉(zhuǎn)矩陣R為：

Mg和Ms都是3×3的正交矩陣。很容易求得姿態(tài)角旋轉(zhuǎn)矩陣：

假如姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣解出，根據(jù)(3)式可求解姿態(tài)角。此方法易理解且計(jì)算量較小，計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣R時(shí)不需要求逆，唯一的要求就是兩基線矢量不共線。但是該方法從統(tǒng)計(jì)的角度看同樣是次優(yōu)的，因?yàn)閮H用到兩基線矢量的部分信息，且只用了一次。

2.3 最小二乘姿態(tài)估計(jì)

由(3)式可知，由三個(gè)旋轉(zhuǎn)姿態(tài)角就能確定旋轉(zhuǎn)矩陣，三個(gè)姿態(tài)角即為偏航角、俯仰角和滾動(dòng)角。當(dāng)基線矢量在載體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)已知，那么根據(jù)方程(4)做最小二乘姿態(tài)估計(jì)就能確定。設(shè)和分別為天線i在載體坐標(biāo)系和本地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，由此得：

其中n為從天線的個(gè)數(shù)。在方程(15)中，bi和ui為觀測(cè)值，且它們的協(xié)方差矩陣分別為 和 ，待求解的是方程中三個(gè)姿態(tài)角 。此模型為標(biāo)準(zhǔn)的隱式最小二乘校正模型，它的特點(diǎn)是在姿態(tài)估計(jì)過程中，載體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)bi的協(xié)方差矩陣參與運(yùn)算。方程式(15)相對(duì)于的線性化模型可表示為：

I為3×3的單位矩陣；

與直接姿態(tài)計(jì)算法相比，因?yàn)樗械亩ㄎ恍畔⒍急徊捎?，所以最小二乘姿態(tài)估計(jì)法是相對(duì)最優(yōu)的，且還可以通過協(xié)方差矩陣直接求得姿態(tài)角的精度。最小二乘姿態(tài)估計(jì)的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是受多徑影響較小，這是因?yàn)樽钚《俗藨B(tài)估計(jì)最佳擬合了所有基線矢量[4]。

3 誤差分析

對(duì)(7)式微分，忽略各坐標(biāo)分量之間的相關(guān)性,再利用誤差傳遞公式，則偏航角的標(biāo)準(zhǔn)誤差可以表示為：

為了簡(jiǎn)化分析，認(rèn)為各天線在本地坐標(biāo)系下的各坐標(biāo)分量的誤差是獨(dú)立同分布的[2]，因此假設(shè)：

則式(20)可以簡(jiǎn)化為：

當(dāng)前主流GPS載波相位測(cè)量定位技術(shù)的精度指標(biāo)[8]，水平方向可以達(dá)到 ，垂直方向精度為 。在GPS載波相位誤差一定的情況下，影響偏航角誤差的主要因素是基線的長(zhǎng)度，基線越長(zhǎng)，偏航角誤差越小。此外俯仰角也是航向誤差的一個(gè)影響因素，俯仰角絕對(duì)值越小，航向誤差也就越小，俯仰角為零時(shí)航向誤差最小。

同理，對(duì)(8)、(10)進(jìn)行微分，同樣利用誤差傳遞公式，分別得到俯仰角和滾動(dòng)角的誤差公式如下：

其中：

a是基線矢量b13和Xb軸的夾角。

俯仰角和滾動(dòng)角近似表達(dá)式可以寫為：

從式(25)、(26)觀察易得到俯仰角的誤差大小與定位誤差大小成正比，與基線長(zhǎng)度成反比。從式(24)、(26)可以看出，當(dāng)兩基線矢量互相垂直時(shí)，滾動(dòng)角誤差最小。

4 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證多天線姿態(tài)解算方法的正確有效性，利用Newstar210M多天線中頻信號(hào)采樣器實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，中頻采樣頻率為16.367667MHz，信號(hào)帶寬為2MHz，采集情景及天線安裝位置如圖3.數(shù)據(jù)采集于2015年5月2號(hào)于解放軍理工大學(xué)通工樓樓頂。

圖3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集場(chǎng)景

測(cè)量這兩條基線在載體坐標(biāo)系下的基線矢量為：

由于兩種直接計(jì)算方法結(jié)果等價(jià)，以下僅比較直接計(jì)算法一與最小二乘姿態(tài)解算結(jié)果。偏航角、俯仰角和橫滾角估計(jì)結(jié)果見圖4-6，誤差估計(jì)結(jié)果見圖7-9。

圖4 偏航角估算值

圖5 俯仰角估算值

圖6 橫滾角估算值

圖7 偏航角誤差估算值

圖8 俯仰角誤差估算值

圖9 橫滾角誤差估算值

分析圖4-9可知。從估算誤差來看，利用最小二乘算法的誤差大小要明顯優(yōu)于直接計(jì)算法，這個(gè)結(jié)果是可以預(yù)見的，主要原因是最小二乘算法充分利用了所有的定位信息，而直接計(jì)算法僅僅用到兩基線矢量的部分信息，所以是次優(yōu)的。且姿態(tài)角精度與基線長(zhǎng)度及天線模型有關(guān)。

5 結(jié)語(yǔ)

本文推導(dǎo)了三種常用的姿態(tài)解算方法的估計(jì)及其精度評(píng)定模型，對(duì)直接法和最小二乘解算的姿態(tài)結(jié)果及其誤差進(jìn)行了分析。仿真結(jié)果表明，最小二乘法對(duì)姿態(tài)角估算的確有改進(jìn)?；诙嗵炀€陣的GPS觀測(cè)數(shù)據(jù)可以對(duì)載體姿態(tài)進(jìn)行測(cè)量，且多天線測(cè)姿精度受基線長(zhǎng)度、基線精度、天線數(shù)量及天線分布等影響，在載體長(zhǎng)寬有限、天線數(shù)量固定的情況下，為提高GPS測(cè)姿精度，可以合理布置GPS天線的相對(duì)位置，這也是下一步需要研究的問題。

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