張茂軍　趙雪妮

摘要為了刻畫(huà)分布函數(shù)的厚尾特征和違約的傳染性，構(gòu)建了單因子tCopula模型，以此研究一籃子信用違約互換（BDS）的定價(jià)問(wèn)題。依據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理和順序統(tǒng)計(jì)量方法， 分別得到了第k次違約和n個(gè)參照實(shí)體中m個(gè)受保護(hù)的BDS價(jià)格的解析式.為了說(shuō)明定價(jià)模型的有效性，用隨機(jī)模擬方法分析了相應(yīng)的數(shù)值算例.

關(guān)鍵詞信用違約互換；順序統(tǒng)計(jì)量；tCopula方法；隨機(jī)模擬

中圖分類(lèi)號(hào)F380 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

AbstractThe one factor tCopula model was established to depict the fattail feature of the distribution and default contagion in order to research the pricing of the basket default swaps （BDS）. The closed solutions of prices at the kth default and m out of n reference entities in BDS were obtained using the riskneutral pricing principle and the method for order statistics. Moreover， some numerical examples were analyzed to indicate the effectiveness of the pricing model in terms of the stochastic simulation method.

Key wordscredit default swaps； order statistics； tCopula method； stochastic simulation

1引言

2008年美國(guó)次貸危機(jī)揭露了信用風(fēng)險(xiǎn)是金融體系中一類(lèi)非常重要的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn).公司違約風(fēng)險(xiǎn)相互傳導(dǎo)使得投資者經(jīng)常面臨著多重違約風(fēng)險(xiǎn).一籃子信用違約互換（Basket Default Swap，簡(jiǎn)稱(chēng)為BDS）是針對(duì)多個(gè)公司發(fā)生違約事件的保險(xiǎn)合約.銀行等機(jī)構(gòu)投資者可以利用BDS對(duì)沖債券等標(biāo)的資產(chǎn)的信用風(fēng)險(xiǎn).而如何確定BDS的價(jià)格是投資者非常關(guān)心的問(wèn)題，尤其是計(jì)算BDS中參照實(shí)體的聯(lián)合違約概率.人們經(jīng)常用信用風(fēng)險(xiǎn)模型計(jì)算違約概率，這些模型主要分為結(jié)構(gòu)化模型和簡(jiǎn)約模型.結(jié)構(gòu)化模型是以Merton1的期權(quán)定價(jià)理論為基礎(chǔ)，假設(shè)公司資本結(jié)構(gòu)由資產(chǎn)和負(fù)債兩部分構(gòu)成，如果公司資不抵債就發(fā)生違約.Zhou2假設(shè)參照實(shí)體的價(jià)值服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，用首達(dá)結(jié)構(gòu)模型研究了含有2個(gè)參照實(shí)體的BDS定價(jià)問(wèn)題，得到了BDS價(jià)格的精確解.在簡(jiǎn)約模型中，違約由企業(yè)價(jià)值和外部環(huán)境決定，根據(jù)不同的違約強(qiáng)度過(guò)程計(jì)算違約概率.如Duffie3在違約強(qiáng)度模型的基礎(chǔ)上，用隨機(jī)模擬方法得到了參照實(shí)體首次違約時(shí)BDS的價(jià)格. Kijima 4在違約事件的發(fā)生是條件獨(dú)立的假設(shè)下，采用了Vasicek強(qiáng)度過(guò)程得到了BDS價(jià)格的封閉解.然而，這兩類(lèi)信用風(fēng)險(xiǎn)模型適用于計(jì)算單個(gè)違約事件的分布函數(shù)，不太適合計(jì)算多個(gè)違約事件的聯(lián)合分布函數(shù)，其原因在于用這兩類(lèi)模型得到的聯(lián)合分布函數(shù)的表達(dá)式非常復(fù)雜，很難應(yīng)用于實(shí)際的投資決策中.

Copula方法是計(jì)算聯(lián)合分布函數(shù)的有效方法，已經(jīng)在信用風(fēng)險(xiǎn)管理中得到了廣泛應(yīng)用.Li5首次利用高斯Copula 模型分析了債券組合的聯(lián)合違約概率.Madan等6用單因子高斯Copula 模型為BDS的第k次違約進(jìn)行定價(jià).詹原瑞等7研究了基于Copula函數(shù)族的信用違約互換組合定價(jià)模型.Choe和Jang8在單因子正態(tài)Copula模型的基礎(chǔ)上，利用順序統(tǒng)計(jì)量研究了BDS定價(jià).然而， Gapko和Smid9發(fā)現(xiàn)違約分布具有厚尾特征，學(xué)生t分布函數(shù)可以反映這種特征.Demarta 和McNeil10認(rèn)為tCopula模型不僅可以刻畫(huà)分布函數(shù)的厚尾特征和違約傳染性，而且可以簡(jiǎn)化聯(lián)合違約分布函數(shù)的計(jì)算復(fù)雜性.

因此，本文用單因子tCopula模型刻畫(huà)參照實(shí)體違約分布的厚尾特征，進(jìn)而研究BDS的兩類(lèi)定價(jià)問(wèn)題，包括參照實(shí)體第k次違約時(shí)和n個(gè)參照實(shí)體中m個(gè)受保護(hù)時(shí)BDS的價(jià)格.并且用隨機(jī)模擬方法分別給出兩類(lèi)BDS定價(jià)的數(shù)值算例，以此說(shuō)明模型和方法的有效性.本文研究的主要貢獻(xiàn)在于：其一、構(gòu)建了為BDS定價(jià)的單因子tCopula模型，使以此模型得到的BDS的價(jià)格更能反映違約分布的厚尾特征，更加符合市場(chǎng)的實(shí)際情況；其二、提出了求解BDS價(jià)格的順序統(tǒng)計(jì)量方法，簡(jiǎn)化了聯(lián)合違約分布函數(shù)的公式，使得更加容易計(jì)算BDS的價(jià)格.

3一籃子信用違約互換定價(jià)

在BDS中有多個(gè)參照實(shí)體，它們違約的時(shí)間不同，因此依據(jù)參照實(shí)體違約時(shí)間的順序，BDS的定價(jià)又可分為一次性保護(hù)違約互換的定價(jià)和多重保護(hù)違約互換的定價(jià).前者規(guī)定互換的賣(mài)方只對(duì)參照實(shí)體的第k次違約支付補(bǔ)償，而前k-1次違約并不支付補(bǔ)償；而后者對(duì)所有第i（i≤k）次違約事件均提供補(bǔ)償，參照實(shí)體出現(xiàn)一次違約事件后，合約不會(huì)終止，直到被保護(hù)的合約都違約后賣(mài)方才向買(mǎi)方提供損失補(bǔ)償.如果參照實(shí)體的違約次數(shù)k等于參照實(shí)體的總數(shù)，則意味著互換的買(mǎi)方將信用風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給賣(mài)方.本文分別給出了一次性保護(hù)和多重保護(hù)的信用違約互換定價(jià).為表達(dá)方便，變量定義如下：

5結(jié)論

信用違約互換是一類(lèi)非常重要的信用衍生產(chǎn)品，為銀行等金融機(jī)構(gòu)提供了規(guī)避信用風(fēng)險(xiǎn)的有力工具.一籃子信用違約互換（BDS）中一個(gè)參照實(shí)體的違約可能引起其它參照實(shí)體的違約，而且違約時(shí)間的分布具有厚尾的特征.因此，為了描述這種厚尾現(xiàn)象.本文將單因子正態(tài)Copula模型推廣到單因子tCopula模型，用t分布刻畫(huà)厚尾現(xiàn)象.在單因子tCopula模型框架下，給出了違約時(shí)間的分布函數(shù)，進(jìn)一步提出了用計(jì)算順序統(tǒng)計(jì)量的方法得到了第k次違約時(shí)間的分布函數(shù)的顯性表達(dá)式.然后根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，得到了第k次信用違約互換定價(jià)公式和n個(gè)參照實(shí)體中m個(gè)參照實(shí)體受保護(hù)的信用違約互換價(jià)格的解析式.最后，為了說(shuō)明理論模型的有效性，分別進(jìn)行了數(shù)值實(shí)例分析.本文的研究為計(jì)算BDS的理論價(jià)格提供了一種有效方法，有助于投資者對(duì)BDS實(shí)際價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)和套期保值策略的分析.

參考文獻(xiàn)

1.R C MERTON. On the pricing of corporate debt： The risk structure of interest rates J..Journal of Finance， 1974， 29（1）： 449-470.

2.C ZHOU. An analysis of default correlations and multiple defaults J.. Review of Financial Studies， 2001， 14（2）： 555-576.

3.D DUFFIE. FirsttoDefault valuationR.. Stacn ford： Stanford University， 1998.

4.KIJIMA M. Valuation of a credit swap of the basket type J.. Review of Derivatives Research， 2000（4）： 79-95.

5.D X LI. On default correlation： A Copula function approach J.. Journal of Fixed Income， 2000， 9（4）：41-50.

6.D MADAN， M KONIKOV，M. MARINESCU. Credit and basket default swaps J..The Journal of Credit Risk， 2006， 2（2）： 103-115.

7.詹原瑞，韓鐵，馬珊珊.基于Copula函數(shù)族的信用違約互換組合定價(jià)模型J..中國(guó)管理科學(xué)， 2008，16（1）：1-6.

8.G H CHOE， H J JANG. The k th default time distribution and basket default swap pricing. Quantitative Finance， 2011， 11（2）： 1793-1801.

9.P GAPKO， M MD. Dynamic multifactor credit risk model with fattailed factorsJ.. Finance A UverCzech Journal of Economics and Finance， 2012， 62（2）：125-140.

10.S DEMARTA，A J MCNEIL. The tCopula and related copulasJ.. International Statistical Review， 2005， 73（1）： 111-129.