何 芬，張文濤，熊顯名

(桂林電子科技大學(xué)電子工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣西桂林541004)

1 引言

精確度非常好的納米沉積條紋可以作為納米計(jì)量傳遞標(biāo)準(zhǔn)用于原子力顯微鏡(AFM)和掃描式電子顯微鏡(SEM)等納米測(cè)量工具的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)［1］。激光操縱中性原子是納米材料制作的最主要技術(shù)手段，利用光子和原子之間的動(dòng)量交換產(chǎn)生的共振輻射壓力來(lái)使原子沉積在基板上形成納米量級(jí)的沉積條紋。由于使用頻率穩(wěn)定的激光駐波場(chǎng)，在選定合適的原子后利用原子光刻技術(shù)能得到非常精確的平均間距在10－5量級(jí)上的沉積條紋。隨著科技進(jìn)步，人們發(fā)現(xiàn)一維納米光柵在計(jì)量應(yīng)用中有其局限性，只能在橫向的一個(gè)維度內(nèi)準(zhǔn)直AFM及SEM等測(cè)量?jī)x器。2012年，同濟(jì)大學(xué)張萍萍等人用偏振方向平行于光場(chǎng)平面、正交激光駐波場(chǎng)形成的光格點(diǎn)的匯聚于沉積特性制作了二維納米點(diǎn)［2］。實(shí)現(xiàn)納米光柵和納米點(diǎn)的原子光刻技術(shù)是有一定前提條件的，由于原子束的橫向發(fā)散角和通量的大小會(huì)直接影響納米沉積條紋或納米沉積點(diǎn)的半峰全寬和對(duì)比度［3］，因此原子束需要在較小的速度范圍內(nèi)高度平行地到達(dá)沉積所用的激光駐波場(chǎng)。這就需要對(duì)從原子爐中噴射出來(lái)的原子束進(jìn)行多方位的有效準(zhǔn)直，以減小原子束的發(fā)散角，降低原子運(yùn)動(dòng)速度并提高原子通量［4］。本文設(shè)計(jì)了一個(gè)由三組激光構(gòu)成的激光準(zhǔn)直場(chǎng)來(lái)準(zhǔn)直原子束，應(yīng)用蒙特卡羅方法，通過(guò)大量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)?zāi)M鉻原子的運(yùn)動(dòng)軌跡并統(tǒng)計(jì)原子在熒光屏位置的落點(diǎn)分布，研究激光系統(tǒng)參數(shù)對(duì)準(zhǔn)直效果的影響。

2 理論模型

自20世紀(jì)80年代激光制冷概念被提出以來(lái)，多普勒準(zhǔn)直被認(rèn)為是最早也是最簡(jiǎn)單的一種激光準(zhǔn)直機(jī)制，它以二能級(jí)原子模型為基礎(chǔ)利用半經(jīng)典理論來(lái)探討原子在激光準(zhǔn)直場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)特性［5－6］。當(dāng)原子沿著光的傳播方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)N次吸收光子并產(chǎn)生各向同性的自發(fā)輻射后，總動(dòng)量變化量為所吸收光子的動(dòng)量，原子就會(huì)受到與其運(yùn)動(dòng)方向相反的阻尼力的作用從而使其運(yùn)動(dòng)速度減小實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)直效果。兩束同頻率、同強(qiáng)度、同偏振方向、沿相反方向傳輸?shù)墓馐鴺?gòu)成的行波場(chǎng)作用于中性原子的耗散力可表示為［7］:

忽略(kv/Γ)4及更高次項(xiàng)，上式的一級(jí)近似可表示為［8］:

式中，h—為普朗克常量的1/2π;k為波矢;δ為激光頻率與原子共振躍遷頻率的矢諧量;S0為飽和參量;Γ為原子躍遷的自然線寬;β為阻尼系數(shù)。

由多普勒準(zhǔn)直機(jī)制的原理可知，激光束只能減小沿著其方向運(yùn)動(dòng)的原子的橫向速度。然而在制作納米光柵，特別是制作二維納米點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)過(guò)一個(gè)方向被準(zhǔn)直的原子束已經(jīng)無(wú)法滿足實(shí)驗(yàn)的要求。為了更好地達(dá)到制作高精度的納米光柵和納米光點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)要求，建立互相之間夾角為120°的三組激光構(gòu)成的激光準(zhǔn)直場(chǎng)。在理論模擬鉻原子束三維準(zhǔn)直過(guò)程中，定義原子束軸為z軸，原子束行進(jìn)方向?yàn)閦軸正方向，原子束橫截面為xy平面，準(zhǔn)直激光束模型如圖1(a)所示。原子從高溫的原子爐中噴出的速度是隨機(jī)的，將其橫向速度分解到x軸和y軸并分析在已經(jīng)建立的三維光場(chǎng)中原子的受力情況如圖1(b)所示。

圖1 鉻原子三維準(zhǔn)直原理及準(zhǔn)直場(chǎng)中受力情況

原子在三維激光準(zhǔn)直場(chǎng)中同時(shí)受到激光耗散力和重力的作用，其運(yùn)動(dòng)軌跡方程可表示為:

式中，G為原子所受的重力，由于原子在激光準(zhǔn)直場(chǎng)中受到的耗散力遠(yuǎn)大于重力，且原子束的最可幾速率遠(yuǎn)大于橫向速度，因此在對(duì)原子束的橫向準(zhǔn)直進(jìn)行定量的理論分析與模擬時(shí)忽略重力的作用。

3 基于蒙特卡羅方法的原子運(yùn)動(dòng)軌跡仿真

每個(gè)鉻原子從原子爐中被噴出時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是隨機(jī)的，可以用一組數(shù) (xi，yi，Vi，αi，θi，ri)來(lái)表示第i個(gè)鉻原子的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其中(xi，yi)表示原子從原子爐口被噴出時(shí)的初始位置，由于實(shí)驗(yàn)用坩堝出口直徑為1 mm，則xi和yi均選擇［－0.5 mm，0.5 mm］的均勻分布隨機(jī)數(shù)。Vi表示原子的初始縱向速度，滿足麥克斯韋－玻爾茲曼分布律。αi和θi分別表示原子初始發(fā)散角，定義為原子初始橫向速度與縱向速度的比值，符合高斯分布。縱向速度 Vi與發(fā)散角 αi、θi均滿足聯(lián)合分布函數(shù)［9］:

實(shí)驗(yàn)中，在真空條件下原子爐加熱至1650℃時(shí)鉻原子從爐口噴出形成穩(wěn)定的鉻原子源，其最可幾速率約為960 m/s，原子的初始縱向速度Vi取麥克斯韋－玻爾茲曼分布。加入擋板后發(fā)散角αi和 θi最大值為 4.5 mrad，因此 αi和 θi均?。郏?.5 mrad，4.5 mrad］的均勻分布隨機(jī)數(shù)。Pαi和 Pθi?。?，1］內(nèi)的均勻分布，然后比較 Pαi和 P(Vi，αi)的值以及 Pθi和 P(Vi，θi)的值，若 Pαi≤ P(Vi，αi)和Pθi≤ P(Vi，θi)同時(shí)滿足則選取的 Vi、αi和 θi有效，反之無(wú)效，則重復(fù)上述過(guò)程直到選取的隨機(jī)點(diǎn)滿足條件為止。

在激光準(zhǔn)直鉻原子的實(shí)驗(yàn)中，只有52Cr原子能與給定的激光行波場(chǎng)產(chǎn)生相互作用力，其他同位素如50Cr、53Cr和54Cr等均不受到激光準(zhǔn)直場(chǎng)的影響，ri表示該鉻原子是否為52Cr原子的同位素。自然界中52Cr原子所占比重最大豐度達(dá)到了84%，剩下的同位素總和只占16%。因此，首先選取隨機(jī)數(shù)ri服從［0，1］之間的均勻分布，ri∈［0.16，1］時(shí)認(rèn)為產(chǎn)生的原子為52Cr，原子在激光準(zhǔn)直場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡需要考慮耗散力;ri∈［0，0.16］時(shí)認(rèn)為原子的屬性為52Cr的同位素，原子在激光準(zhǔn)直場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡不必考慮耗散力。

由此，我們通過(guò)蒙特卡羅思想確定了單個(gè)鉻原子從原子爐噴出時(shí)的初始狀態(tài)(xi，yi，Vi，αi，θi，ri)，就可以根據(jù)原子的運(yùn)動(dòng)軌跡方程(6)來(lái)追蹤原子運(yùn)動(dòng)軌跡并得出熒光屏處原子密度的分布情況，如圖2所示。

圖2 鉻原子運(yùn)動(dòng)軌跡

圖2是蒙特卡羅方法模擬三維準(zhǔn)直前后鉻原子的運(yùn)動(dòng)軌跡，粗線部分表示除52Cr外其他鉻原子的同位素。比較圖2(a)和圖2(b)可知經(jīng)過(guò)三維激光準(zhǔn)直場(chǎng)后部分鉻原子的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生了明顯的變化，這部分是52Cr原子在多普勒準(zhǔn)直力的作用下原子的速率減小且溫度降低使得原子束的發(fā)散角減小。由于鉻原子的其他同位素在給定的激光準(zhǔn)直場(chǎng)中與激光沒(méi)有相互作用力，圖2中粗線表示的原子運(yùn)動(dòng)軌跡在經(jīng)過(guò)激光準(zhǔn)直場(chǎng)后不發(fā)生改變。

4 鉻原子經(jīng)激光準(zhǔn)直場(chǎng)后3維落點(diǎn)分布分析

圖3 鉻原子落點(diǎn)二維分布示意圖

圖3是鉻原子在熒光屏位置(即:z=1470 mm)的落點(diǎn)示意圖，圖3(a)是鉻原子束不經(jīng)過(guò)激光準(zhǔn)直場(chǎng)直接落到熒光屏上的位置示意圖，每一個(gè)黑點(diǎn)都表示一個(gè)鉻原子的落點(diǎn)，圖3(b)是鉻原子束經(jīng)過(guò)激光準(zhǔn)直場(chǎng)后落到熒光屏上的位置示意圖。對(duì)比圖3(a)和圖3(b)可知，盡管仍有部分原子的落點(diǎn)散落在離準(zhǔn)直孔較遠(yuǎn)的位置，但鉻原子束中的大部分原子經(jīng)過(guò)激光準(zhǔn)直場(chǎng)的準(zhǔn)直后的落點(diǎn)比準(zhǔn)直前的落點(diǎn)更向準(zhǔn)直孔中心位置聚集。

相應(yīng)的數(shù)值分析能更精確地顯示激光準(zhǔn)直的效果，本文對(duì)10000個(gè)原子進(jìn)行了數(shù)值分析，對(duì)每個(gè)鉻原子在激光準(zhǔn)直場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到達(dá)熒光屏所處的位置時(shí)的落點(diǎn)進(jìn)行了數(shù)值統(tǒng)計(jì)分析。如表1和表2所示，x軸和y軸按照1 mm的間隔分割把熒光屏上的區(qū)域分為多個(gè)1 mm×1 mm的區(qū)域，表中的數(shù)字表示對(duì)落在各個(gè)區(qū)域的鉻原子進(jìn)行累計(jì)的個(gè)數(shù)總和。表1描述的是鉻原子束未經(jīng)過(guò)激光準(zhǔn)直的原子落點(diǎn)個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì);表2描述的是鉻原子束經(jīng)過(guò)激光準(zhǔn)直后的原子落點(diǎn)個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)。表中鉻原子所處的橫向位置與原子的橫向速度成正比，鉻原子橫向速度越大，落在熒光屏上的橫向位置就越偏離中心位置;鉻原子橫向速度越小，落在熒光屏上的橫向位置就越靠近中心位置［10］。由表1和表2可知在熒光屏的中心位置即x和y均在［－0.5 mm 0.5 mm］區(qū)域時(shí)原子數(shù)目出現(xiàn)最大值。通過(guò)對(duì)比表1和表2中相同的位置的數(shù)值，原子數(shù)峰值由準(zhǔn)直前的252在準(zhǔn)直后達(dá)到503，且邊緣區(qū)域的原子個(gè)數(shù)在經(jīng)過(guò)激光準(zhǔn)直后得到了很大程度的減小。說(shuō)明原子束在經(jīng)過(guò)激光準(zhǔn)直后橫向速度減小，經(jīng)計(jì)算準(zhǔn)直前鉻原子束的最大發(fā)散角約為4.5 mrad，經(jīng)過(guò)所設(shè)計(jì)的激光準(zhǔn)直場(chǎng)后鉻原子束的x方向最大發(fā)散角減小至1.5 mrad，y方向最大發(fā)散角減小至1.6 mrad。

表1 激光準(zhǔn)直前原子落點(diǎn)個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)

表2 激光準(zhǔn)直后原子落點(diǎn)個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)

為了更直觀地觀察激光準(zhǔn)直的三維效果，將原子的落點(diǎn)位置累積構(gòu)成如圖4所示的鉻原子三維落點(diǎn)分布圖。圖4(a)和圖4(b)分別是從同一個(gè)角度觀察的鉻原子未經(jīng)激光準(zhǔn)直場(chǎng)準(zhǔn)直的三維落點(diǎn)分布和鉻原子束經(jīng)激光準(zhǔn)直場(chǎng)準(zhǔn)直后的三維落點(diǎn)分布。圖4(a)和圖4(b)的比較顯示，經(jīng)過(guò)激光準(zhǔn)直場(chǎng)準(zhǔn)直后原子累積的數(shù)目從邊緣向中心增加的程度增大，說(shuō)明文中設(shè)計(jì)的三維激光準(zhǔn)直場(chǎng)對(duì)鉻原子束的各個(gè)方向的準(zhǔn)直效果均很明顯。

圖4 鉻原子落點(diǎn)三維分布圖

5 結(jié)論

本文基于原子光學(xué)中多普勒準(zhǔn)直原理，設(shè)計(jì)了一個(gè)由三組激光構(gòu)成的激光準(zhǔn)直場(chǎng)，應(yīng)用蒙特卡羅方法模擬中性鉻原子運(yùn)動(dòng)初始條件模擬中性鉻原子在實(shí)際狀況下在所設(shè)計(jì)的激光準(zhǔn)直場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，并對(duì)準(zhǔn)直后原子的落點(diǎn)進(jìn)行三維分析。對(duì)三維激光準(zhǔn)直鉻原子束過(guò)程的模擬證明，經(jīng)過(guò)本文所設(shè)計(jì)的激光準(zhǔn)直場(chǎng)的準(zhǔn)直后鉻原子的落點(diǎn)向中心方向聚攏，鉻原子束的發(fā)散角在x方向和y方向分別減小至原來(lái)的33%和35%，為制作納米光柵和納米點(diǎn)提供了有利條件。本文所采用的蒙特卡羅方法在對(duì)鉻原子在激光準(zhǔn)直場(chǎng)受到多普勒力作用下的各項(xiàng)特性分析時(shí)充分考慮了52Cr以外其他同位素、鉻原子初始發(fā)散角的隨機(jī)性等因素對(duì)鉻原子束橫向激光準(zhǔn)直的影響，使仿真在更加符合原子運(yùn)動(dòng)不確定性原理下進(jìn)行，使結(jié)果更貼近實(shí)際情況為實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的各項(xiàng)參數(shù)提供了有力依據(jù)。

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