吳江燕，游泰杰

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽(yáng)550001）

保序部分變換半群POn的平方冪等元

吳江燕，游泰杰

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽(yáng)550001）

設(shè)POn是［n］上的保序部分變換半群.對(duì)n≥3，證明了半群POn的秩為n－1的平方冪等元的個(gè)數(shù)為4n－6，同時(shí)，還證明了半群POn是秩為n－1的平方冪等元生成的，且其秩為2n－1.

保序部分變換半群；冪等元；平方冪等元；平方冪等元秩

1 預(yù)備知識(shí)

通常，一個(gè)有限半群S的秩定義為：rankS＝min｛｜A｜：A?S，〈A〉＝S｝.如果S由它的冪等元集E生成，那么S的冪等元秩定義為：idrankS＝min｛｜A｜：A?E，〈A〉＝S｝，類似可以定義S的平方冪等元秩為：quaidrankS＝min｛｜A｜：A?E2，〈A〉＝S｝，其中E2為平方冪等元之集.顯然有rankS≤idrankS，且rankS≤quaidrankS.

設(shè)［n］＝｛1，2，…，n｝并賦予自然序，Tn是［n］上的全變換半群.設(shè)α∈Tn，若對(duì)任意x，y∈［n］，x≤y?xα≤yα，則稱α是保序的.設(shè)POn為Tn中的所有保序部分變換之集（不含［n］上的恒等變換），則POn是Tn的子半群，稱POn為保序部分變換半群.文獻(xiàn)［1］證明了POn的秩為2n－1，冪等元秩為3n－2.設(shè)α∈Tn，若α2＝α，則稱α是一個(gè)冪等元；若α2≠α且α2是冪等元（α4＝α2），則稱α是一個(gè)平方冪等元.平方冪等元的概念是在文獻(xiàn)［2］中首次出現(xiàn)的.接著在1999年，文獻(xiàn)［3］研究了有限變換半群的平方冪等元和平方冪零元.2001年，文獻(xiàn)［4］研究了保序鏈的有限變換半群中的平方冪等元.而最近的一篇關(guān)于研究平方冪等元的文章則是在2013年發(fā)表的文獻(xiàn)［5］，它研究了有限變換半群中由平方冪等元生成的子半群.由此可見(jiàn)，目前對(duì)平方冪等元進(jìn)行研究的文章并不多.本文將考慮半群POn的頂端Jn－1中的平方冪等元，用集合

表示.對(duì)n≥3，先證明了平方冪等元的等價(jià)條件，并利用該等價(jià)條件證明了｜E2（Jn－1）｜＝4n－6，并且證明了POn＝〈E2（Jn－1）〉，且quaidrankPOn＝rankPOn＝2n－1.

本文未定義的術(shù)語(yǔ)及記法參見(jiàn)文獻(xiàn)［6－8］.

2 主要結(jié)果及證明

據(jù)文獻(xiàn)［1］的結(jié)果，POn中的Green關(guān)系有如下刻畫(huà)：

且POn中僅有平凡H－類（每個(gè)H－類都只含有一個(gè)元素）.此外，保序變換半群POn有n個(gè)J－類J0，J1，…，Jn－1.其中J0＝?，Jr＝｛α∈POn：｜im（α）｜＝r｝.對(duì)0≤r≤k≤n，記［k，r］＝｛α∈POn：｜dom（α）｜＝k，｜im（α）｜＝r｝.那么，J－類

下面我們考慮POn的頂層J－類Jn－1：

（?。㎎n－1＝［n，n－1］∪［n－1，n－1］.

（ⅱ）Jn－1中共有n個(gè)L－類，記為L(zhǎng)1，L2，…，Ln.其中

（ⅲ）Jn－1中含有2n－1個(gè)R－類.其中［n，n－1］里含有n－1個(gè)，記為

R（k，k＋1）＝｛α∈［n，n－1］：α唯一的非單點(diǎn)核類為｛k，k＋1｝｝（1≤k≤n－1）；［n－1，n－1］里含有n個(gè)，記為

設(shè)P，Q是［n］的非空子集，若對(duì)任意a∈P，b∈Q，有a＜b，則稱P小于Q，記為P＜Q.設(shè)α∈POn，如果x＜y（x，y∈［n］），顯然有xα－1＜yα－1.因此，對(duì)任意α∈Jr（r≥2），由α的保序性容易驗(yàn)證α有如下表示法（稱為α的標(biāo)準(zhǔn)表示）：

其中a1＜a2＜…＜ar，A1＜A2＜…＜Ar.

引理1 設(shè)n≥3，令

其中a1＜a2＜…＜an－1，A1＜A2＜…＜An－1，則α是平方冪等元的充要條件是存在唯一的k∈｛1，2，…，n－1｝，使得ak?Ak.

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)［9］的定理3.

定理1 設(shè)n≥3，令

其中a1＜a2＜…＜an－1，A1＜A2＜…＜An－1，則α是平方冪等元的充要條件是存在唯一的k∈｛1，2，…，n－1｝，使得ak?Ak.

證明由于Jn－1＝［n，n－1］∪［n－1，n－1］，所以下面分兩部分證明：

（ⅰ）當(dāng)α∈［n，n－1］時(shí)，由引理1得證.

（ⅱ）當(dāng)α∈［n－1，n－1］時(shí)，｜Ai｜＝1，i＝1，2，…，n－1.此時(shí)，定理可簡(jiǎn)單敘述為：α是平方冪等元的充要條件是存在唯一的k∈｛1，2，…，n－1｝，使得ak≠Ak.

若存在唯一的k∈｛1，2，…，n－1｝，使得ak≠Ak，則由α的保序性可得，ai＝Ai，i≠k且ak＝Ak－1或ak＝Ak＋1.于是

α2≠α且α4＝α2，即α是平方冪等元.

反之，假設(shè)α是平方冪等元.我們將用反證法證明.

情形1 若a1≠A1，注意到A1＜A2＜…＜An－1且｜Ai｜＝1，i＝1，2，…，n－1.此時(shí)A1＝｛1｝或A1＝｛2｝.由α∈［n－1，n－1］及α的保序性可知，存在2≤s≤n－1，使得

或

我們斷言s＝2.若s≠2，則

或

顯然α4≠α2，這與α是平方冪等元矛盾.由s＝2可得

從而ak＝Ak，k＝2，…，n－1.

情形2 若an－1≠An－1，注意到A1＜A2＜…＜An－1且｜Ai｜＝1，i＝1，2，…，n－1.此時(shí)An－1＝｛n｝或An－1＝｛n－1｝.由α∈［n－1，n－1］及α的保序性可知，存在1≤s≤n－2，使得

或

我們斷言s＝2.若s≠2，則

或

顯然α4≠α2，這與α是平方冪等元矛盾.由s＝n－2可得

從而ak＝Ak，k＝1，2，…，n－2.

情形3 a1＝A1且an－1＝An－1.若不存在k∈｛2，…，n－2｝，使得ak≠Ak，則ai＝Ai，1≤i≤n－1，從而α2＝α，即α∈E（Jn－1），這與α∈Jn－1＼E（Jn－1）矛盾.

不妨設(shè)存在k∈｛2，…，n－2｝，使得ak≠Ak且ai＝Ai，i＜k.則由α的保序性可得，ak＝Ak－1或ak＝Ak＋1.以下分兩種情形討論：

情形3.1 若ak＝Ak－1，則由α∈［n，n－1］且ai＝Ai（i＜k）可得，

于是由A1＜A2＜…＜An－1且ai＝Ai（i＜k）可推出，

從而

我們斷言ak＋1≠k＋1.若ak＋1＝k＋1，則

于是由α是平方冪等元可得

這與（2）式矛盾.因此ak＋1≠k＋1.再由k＝ak＜ak＋1＜…＜an－1易得

從而由（1）式可得ai＝Ai，k＜i≤n－1.因此存在唯一的k∈｛2，…，n－2｝，使得ak≠Ak.

情形3.2 若ak＝Ak＋1，則由A1＜A2＜…＜An－1可得ak＞k，從而由ak＜ak＋1＜…＜an－1可得

由A1＜A2＜…＜Ak＜Ak＋1且k＋1＝ak＝Ak＋1可得

再由ai＝Ai（i＜k）可得

由A1＜A2＜…＜Ak＜Ak＋1且α∈［n－1，n－1］及（4）式可知，存在k＋1≤s≤n－1，使得

從而由（3）—（5）式可得

我們斷言s＝k＋1.若s≠k＋1，則s≥k＋2，即s－2≥k，從而

于是由α是平方冪等元可得

這與（7）式矛盾.因此s＝k＋1.進(jìn)而由（4），（7）式可得ai＝Ai，k＜i≤n－1.因此存在唯一的k∈｛2，…，n－2｝，使得ak≠Ak.證畢.

設(shè)

則由文獻(xiàn)［1］可知

定理2 設(shè)n≥3，E2（Jn－1）為Jn－1中的所有平方冪等元之集，則

證明由定理1易知：

從而

定理3 設(shè)n≥3，則｜E2（Jn－1）｜＝4n－6.

證明由定理2易知｜E2（Jn－1）｜＝（n－2）＋（n－2）＋（n－1）＋（n－1）＝4n－6.

在文獻(xiàn)［1］中，用［i→i－1］和［i→i＋1］分別表示［n，n－1］中的降冪等元e和升冪等元f，這里ie＝i－1，xe＝x（x≠i），if＝i＋1，xf＝x（x≠i）；用［n］＼｛i｝的恒等變換δi表示［n－1，n－1］中的冪等元.顯然E（Jn－1）是由［n，n－1］中的n－1個(gè)降冪等元［i→i－1］和n－1個(gè)升冪等元［i→i＋1］，以及［n－1，n－1］中的n個(gè)恒等冪等元構(gòu)成.設(shè)［n，n－1］中的降冪等元集合和升冪等元集合分別為2，…，n｝和中的恒等冪等元集合為＝［n］＼｛i｝，i＝1，…，n｝，則

注意到

引理2 設(shè)n≥3，則POn＝〈E（Jn－1）〉.

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］的引理3.14.

定理4 設(shè)n≥3，E2（Jn－1）為Jn－1中的所有平方冪等元之集，則

證明由定理2可得

因此，E（Jn－1）?〈E2（Jn－1）〉.再由引理2可得POn＝〈E2（Jn－1）〉.

引理3 設(shè)n≥2，則rankPOn＝2n－1.

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］的定理3.2，引理3.9，3.11，3.12.

定理5 設(shè)n≥3，則quaidrankPOn＝rankPOn＝2n－1.

證明顯然，quaidrankPOn≥rankPOn.于是由引理3可知，quaidrankPOn≥2n－1.

因此E（Jn－1）?〈A〉.由引理2可得POn＝〈A〉，故quaidrankPOn＝2n－1.

［1］ GOMES G M S，HOWIE J M.On the ranks of certain semigroups of order－preserving transformations［J］.Semigroup Forum，1992，45：272－282.

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［6］ HOWIE J M.Fundamentals of semigroup theory［M］.Oxford：Oxford University Press，1995：341－343.

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［9］ 李紅香，游泰杰，趙平.保序變換半群On的平方冪等元［J］.貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014（1）：48－50.

The quasi－idempotent of partial order－preserving transformation

WU Jiang－yan，YOU Tai－jie

（School of Mathematics and Computer Science，Guizhou Normal University，Guiyang 550001，China）

Let POnbe the partial order－preserving semigroup on［n］.It is shown that for n≥3，the number of quasi－idempotent of rank n－1of POnis 4n－6，at the same time，we also prove that the semigroup POnis quasi－idempotent generated，with the rank is 2n－1.

partial order－preserving transformation semigroup；idempotent；quasi－idempotent；quasiidempotent rank

O 152.7 ［學(xué)科代碼］ 110·21 ［

］ A

（責(zé)任編輯：陶理）

1000－1832（2015）01－0006－06

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.002

2014－05－26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11461014）；貴州省自然科學(xué)技術(shù)基金資助項(xiàng)目（黔科合J字［2007］2008號(hào)）.

吳江燕（1989—），女，碩士研究生，主要從事半群理論與編碼理論研究；游泰杰（1959—），男，碩士，教授，主要從事半群理論與編碼理論研究.