張永平，譚偉玲，魏 竹，劉 欣

（1.沈陽化工大學(xué)數(shù)理系，遼寧沈陽110142；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林長春130024）

Hom－Lie代數(shù)的結(jié)構(gòu)

張永平1，譚偉玲2，魏 竹2，劉 欣1

（1.沈陽化工大學(xué)數(shù)理系，遼寧沈陽110142；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林長春130024）

定義了Hom－Lie代數(shù)的子代數(shù)、理想、核、商代數(shù)及同態(tài)，并用常規(guī)方法研究了它們在同態(tài)映射α影響下的一些性質(zhì)，得到了較好的結(jié)論.

Hom－Lie代數(shù)；Hom－Jacobi等式；Hom－Lie代數(shù)同態(tài)

李代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基本研究對象.Hom－代數(shù)是代數(shù)形變理論中的一類.Hom－代數(shù)有Hom－Lie代數(shù)、Hom－Lie超代數(shù)、Hom－Leibniz代數(shù)、Hom－Lie color代數(shù)等.Hom－Lie代數(shù)是由李代數(shù)形變而來的一類非交換、非結(jié)合的代數(shù).在李代數(shù)的定義中增加一個雙線性同態(tài)映射，再把李代數(shù)定義中的Jacobi等式加強為Hom－Jacobi等式，就得到了Hom－Lie代數(shù).最早，Hom－Lie代數(shù)是19世紀在研究Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)的一種量子形變時引進的［1］.Hom－Lie代數(shù)在數(shù)學(xué)物理中有著很重要的作用，它與離散和形變的向量域、微分學(xué)、數(shù)論、Yang－Baxter方程、辮群的表示等都有緊密的聯(lián)系.［2－3］Hom－Lie代數(shù)是否存在非平凡的Hom－Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)、Hom－Lie代數(shù)的表示等也已有研究.［4－8］本文將著重研究Hom－Lie代數(shù)的一些結(jié)構(gòu)和性質(zhì).

1 預(yù)備知識

定義1.1［1］L是一個線性空間，［－，－］：L×L→L是一個雙線性映射，α：L→L是一個同態(tài)，如果滿足下列條件：

則稱（L，［－，－］，α）為Hom－Lie代數(shù).

這里條件（1）稱為反對稱性，條件（2）稱為Hom－Jacobi等式.

定義1.1中條件（2）與下列條件等價：

定義1.2 若Hom－Lie代數(shù)L的子空間N對于括積運算封閉，也即［N，N］?N且α（N）?N，則稱N為L的Hom－Lie子代數(shù).

定義1.3 設(shè)L是一個Hom－Lie代數(shù)，N為L的子代數(shù)，如果有［N，L］?N，則稱N為L的理想.

顯然，任意一個Hom－Lie代數(shù)L都有兩個理想：｛0｝和L本身，這兩個理想叫做L的平凡理想，L的其余理想叫做L的非平凡理想.

定義1.4 設(shè)（L1，［－，－］L1，α1）和（L2，［－，－］L2，α2）是域F上的兩個Hom－Lie代數(shù)，φ是L1到L2的一個線性映射，如果它們滿足下列條件：

（1）φ（［x，y］L1）＝［φ（x），φ（y）］L2，?x，y∈L，即φ保持乘法；

（2）φ勅α1＝α2勅φ.

則稱φ是L1到L2的同態(tài).

如果同態(tài)φ是一個一一映射，則稱φ是L1到L2的同構(gòu).如果存在L1到L2的同構(gòu)，則稱L1與L2是同構(gòu)的.

定義1.5 設(shè)φ是Hom－Lie代數(shù)L1到L2的同態(tài)映射，則

分別稱為同態(tài)φ的核和像.

2 主要結(jié)果

命題2.1 若N1，N2都是L的子代數(shù)，則N1＋N2，N1∩N2也是L的子代數(shù).

命題2.2 設(shè)M和N都是Hom－Lie代數(shù)L的理想，則M＋N，M∩N都是L的理想.

證明由于M是Hom－Lie代數(shù)L的理想，則［M，L］?M.同理有［N，L］?N.

也即M＋N是L的理想.

?x，y∈M∩N，即x∈M且x∈N，y∈M且y∈N，因為M，N為理想，則［x，y］∈M，［x，y］∈N，所以［x，y］∈M∩N，即M∩N為L的不變子空間.

故

即M∩N是L的理想.

引理2.1 設(shè)（L，［－，－］，α）是一個Hom－Lie代數(shù)，N是任意一個非結(jié)合代數(shù)，φ：L→N是一個代數(shù)同態(tài)，則下列三個條件是等價的：

（1）存在N的線性子空間U，使得φ（L）?U；并且存在一個線性映射k：U→N，使得φ勅α＝k勅φ.

（2）Kerφ?Ker（φ勅α）.

（3）α（Kerφ）?Kerφ.

證明（1）?（2）設(shè)x∈Kerφ，那么φ（α（x））＝k（φ（x））＝k（0）＝0，即x∈Ker（φ勅α）.

（2）?（1）取U＝φ（L），定義k：φ（L）→N滿足k（φ（x））＝φ（α（x））.如果φ（x）＝φ（y），那么我們就有

于是k是定義好的，且由k的定義知φ勅α＝k勅φ成立.

（3）?（2）α（Kerφ）?Kerφ??x∈Kerφ，有φ勅α（x）＝0?Kerφ?Ker（φ勅α）.

（2）?（3）Kerφ?Ker（φ勅α）??x∈Kerφ，有φ勅α（x）＝0，故α（x）∈Kerφ?α（Kerφ）?Kerφ.

定理2.1 若引理2.1中的三個條件成立，則下列4個結(jié)論成立：

（1）k在φ（L）上由φ和α唯一確定；

（3）（φ（L），k｜φ（L））是一個Hom－Lie代數(shù)；

（4）φ是一個Hom－Lie代數(shù)同態(tài).

證明（1）設(shè)引理2.1中的（1）和（2）成立.如果有兩個線性映射k1：U1→N，k2：U2→N，這里Ui是N的子空間，滿足φ（L）?Ui，因為它們都滿足φ勅α＝ki勅φ，故

這說明k1和k2在φ（L）上相同.

（2）用－，

｛｝－表示N上的括積，來說明它的非結(jié)合性.由φ勅α＝k勅φ，即φ是同態(tài)，我們得到

這表明k｜φ（L）是一個代數(shù)同態(tài).

（3）由φ勅α＝k勅φ及（L，α）是Hom－Lie代數(shù)，我們得到

即（φ（L），k｜φ（L））是一個Hom－Lie代數(shù).

注Ο′x，y，z［x，［y，z］］＝［x，［y，z］］＋［y，［z，x］］＋［z，［x，y］］.

（4）由φ是一個代數(shù)同態(tài)及條件（3）可知φ是一個Hom－Lie代數(shù)同態(tài).

命題2.3 設(shè)φ是Hom－Lie代數(shù)（L1，［－，－］L1，α1）和（L2，［－，－］L2，α2）的同態(tài)映射，則Kerφ是Hom－Lie代數(shù)L1的理想.

證明?x1，x2，x∈Kerφ，y∈L1，則φ［x1，x2］＝［φ（x1），φ（x2）］＝0，即［x1，x2］∈Kerφ.

即［x，y］∈Kerφ，故［Kerφ，L1］?Kerφ.得證.

命題2.4 設(shè)φ是Hom－Lie代數(shù)（L1，［－，－］L1，α1）和（L2，［－，－］L2，α2）的同態(tài)映射，則（Imφ，［－，－］，α2｜φ（L1））是一個Hom－Lie代數(shù).

證明［－，－］Li表示Li中的括積.

即（Imφ，［－，－］L2，α2｜φ（L1））是一個Hom－Lie代數(shù).

命題2.5 設(shè)（L，［－，－］，α）是一個Hom－Lie代數(shù)，N是L的理想

證明易證定義的合理性.下證ˉL滿足定義1.1.

命題2.6 設(shè)L是Hom－Lie代數(shù)，則L′＝［L，L］是L的理想.

證明

命題2.7 設(shè)N是L的理想，則

是一個滿同態(tài)，且稱π為自然同態(tài).

證明顯然，π是L到的滿線性映射.由于N為理想，故

定理2.2 （Hom－Lie代數(shù)的同態(tài)基本定理）

（1）設(shè)φ：L1→L2是Hom－Lie代數(shù)的一個同態(tài)映射，則

（2）如果I，J是Hom－Lie代數(shù)L的理想，且有I?J，則理想，并且自然同構(gòu)于

（3）如果I，J是Hom－Lie代數(shù)L的理想，則

證明（1）φ：L1→Imφ是一個滿同態(tài)，Kerφ是L1的理想，則有到Imφ的映射ˉφ滿足ˉφ勅π＝ φ，這里π是L1到的自然同態(tài)，有同態(tài)圖表可交換，見圖1.由線性代數(shù)理論知到Imφ的映射ˉφ：

（2）設(shè)π1，π2分別是L到的自然同態(tài).于是有的滿線性映射f，使得f勅π1＝π2，如圖2.而且有

（3）若I，J都是L的理想，由命題2.1知I∩J為L的理想.

［1］ HARTWIG J T，LARSSON D，SLIVERSTROV S D.Deformation of Lie Algebras usingα－derivations［J］.J Algebra，2005，295（2）：314－361.

［2］ LARSSON D，SILVESTROV S D.Quasi－h(huán)om－Lie algebras，central extensions and 2－cocycle－like dengities［J］.J Algebra，2005，288（2）：321－344.

［3］ YAU D.The Hom－Yang－Baxter equation，Hom－Lie algebras and quasi－triangular bialgebras［J］.J Phys A，2009，42（16）：165－202.

［4］ MAKHLOUF A，SILVESTROV S D.Hom－algebra structure［J］.J Gen Lie Theory Appl，2008，2（2）：51－64.

［5］ YAU D.Enveloping algebras of Hom－Lie algebras［J］.J Gen Lie Theory Appl，2008，2（2）：95－108.

［6］ SHENG YUNHE.Representations of Hom－Lie Algebras［J］.Algebr Represent Theor，2012（15）：1081－1098.

［7］ 潘玉霞，張慶成，馮閃，等.二次李超三系的分解及唯一性［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，44（2）：9－13.

［8］ 宋華，王晨迪.李Color代數(shù)極大子代數(shù)的基本性質(zhì)［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，44（4）：26－30.

Structures of Hom－Lie Algebra

ZHANG Yong－ping1，TAN Wei－ling2，WEI Zhu2，LIU Xin1

（1.Department of Mathematics and Physics，Shenyang University of Chemical Technology，Shenyang 110142，China；2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

Hom－Lie algebra has a homomorphismα，the authors define subalgebra，ideal，kernel，quotient algebra and homomorphism of Hom－Lie algebra，and get good results by the conventional method to study these propositions under the influence of the homomorphismα.

Hom－Lie algebra；Hom－Jacobi identity；Hom－Lie algebra homomorphism

O 152.5 ［學(xué)科代碼］ 110·2130 ［

］ A

（責(zé)任編輯：陶理）

1000－1832（2015）01－0001－05

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.001

2013－06－18

國家自然科學(xué)基金資助項目（10871057）；黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目（12521157）.

張永平（1978－），女，講師，碩士，主要從事李代數(shù)研究；通訊作者：魏竹（1979－），女，講師，博士，主要從事李代數(shù)研究.