韓云濤，強(qiáng)寶琛，孫堯，白濤

(哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

在水中，當(dāng)液體局部壓力下降到一定程度時(shí)，超空化現(xiàn)象就會(huì)出現(xiàn)。利用超空化現(xiàn)象可以極大地減小航行體受到的阻力，使得航行體速度的提高成為可能。HSSV幾乎整體包裹于空泡中，只有頭部的空化器和后面的尾舵與水接觸，隨之產(chǎn)生的強(qiáng)烈非線性滑行力以及空泡形態(tài)變化等都給HSSV的穩(wěn)定控制和機(jī)動(dòng)帶來(lái)了極大的困難［1］。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)HSSV的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了研究:Dzielski等提出了一個(gè)4狀態(tài)2自由度模［2］，Kirschner等提出了一個(gè)12狀態(tài)6自由度模型［3］，Kulkarni等建立了一個(gè)4狀態(tài)3自由度模型［4］，并且均設(shè)計(jì)了相應(yīng)的控制器以穩(wěn)定系統(tǒng)。文獻(xiàn)［2，5-9］在Dzielski等提出的模型基礎(chǔ)上分別應(yīng)用反饋線性化、圓判據(jù)和滑?？刂频确椒ㄟM(jìn)行了穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)。但是上述文獻(xiàn)對(duì)系統(tǒng)存在噪聲干擾的情況卻未加討論。以圓判據(jù)形式給出的絕對(duì)穩(wěn)定理論是非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制器綜合的有力手段，且特別適合處理系統(tǒng)非線性環(huán)節(jié)滿足扇形區(qū)域有界條件的情況。文獻(xiàn)［5-8］運(yùn)用圓判據(jù)理論設(shè)計(jì)了控制器，在分析滑行力非線性特性的基礎(chǔ)上，將滑行力視作扇形區(qū)域有界不確定性進(jìn)而設(shè)計(jì)了絕對(duì)穩(wěn)定控制器。但是受限于圓判據(jù)本身所適用的模型形式，當(dāng)系統(tǒng)存在噪聲干擾時(shí)，基于圓判據(jù)設(shè)計(jì)的控制器所獲得的系統(tǒng)魯棒性較差。近年來(lái)，從時(shí)域角度研究絕對(duì)穩(wěn)定理論吸引了越來(lái)越多的學(xué)者的興趣。相較于頻域圓判據(jù)，時(shí)域絕對(duì)穩(wěn)定判據(jù)在處理包含噪聲干擾等因素的系統(tǒng)時(shí)具有較強(qiáng)的魯棒性。本文考慮系統(tǒng)噪聲干擾，從絕對(duì)穩(wěn)定理論的時(shí)域角度出發(fā)，提出了一種魯棒H∞絕對(duì)穩(wěn)定控制器綜合方法。

1 HSSV數(shù)學(xué)模型及系統(tǒng)分析

1.1 數(shù)學(xué)模型

Dzielski研究了HSSV的一個(gè)基準(zhǔn)控制問(wèn)題［2］，被引用較多。本文在Dzielski提出的模型上繼續(xù)進(jìn)行研究。其數(shù)學(xué)模型如下:

4個(gè)狀態(tài)z、θ、w、q分別為航行體深度，俯仰角，縱向速度和俯仰角速度，δc和δe是控制輸入，分別表示空化器轉(zhuǎn)角和尾舵轉(zhuǎn)角。同文獻(xiàn)［5，7］，本文中滑行力表達(dá)式為

式中:R'=(Rc－R)/R，Rc為空泡半徑，R為航行體半徑。浸入深度h'和浸入角α分別表示為

其余參數(shù)為Cz=1/2Cx，Cx=Cx0(1+σ)，其中σ表示空化數(shù)。R1=Rn/R，其中Rn為空化器半徑?？张莅霃绞湛s率為

1.2 系統(tǒng)模型變換

分析系統(tǒng)模型可知，動(dòng)力學(xué)方程(2)只與w，q有關(guān)，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程包含3個(gè)狀態(tài)變量z、θ和w，所以可將原系統(tǒng)(1)、(2)寫成2個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的形式。為此，取η= [ z θ]T，ζ=[w q]T。令A(yù)2=，模型中其他矩陣定義如下:

超空泡航行體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不可避免會(huì)受到洋流擾動(dòng)、系統(tǒng)內(nèi)部噪聲等的影響?？紤]噪聲干擾時(shí)，式(1)、(2)有如下形式:

式中:Bω=I2為噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣，ω∈R2×1是噪聲向量且滿足ω(t)∈L2(0，∞)。

由于本文的設(shè)計(jì)目標(biāo)之一是航行體能夠跟蹤給定深度指令，為此將式(3)、(4)的鎮(zhèn)定模型轉(zhuǎn)化成跟蹤模型。設(shè)zd、wd、θd、qd分別為給定的航行體深度指令、縱向速度指令、航行體俯仰角指令和俯仰角速度指令。令誤差向量ηe=η－ηd，ζe=ζ－ζd，其中ηd= [zdθd]T、ζd= [wdqd]T，代入式(3) (4)中替換η和ζ，得到

為了得到形如系統(tǒng)(3)(4)的backstepping跟蹤模型，式(5)中右側(cè)同時(shí)加減K1ηe有:

其中，

為新的狀態(tài)變量。由此，新的跟蹤模型應(yīng)該是關(guān)于狀態(tài)變量向量ηe和αe的方程，為了得到關(guān)于αe的狀態(tài)方程，將式(8)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得)，將式(6)～(8)代入式(5)，整理得

其中，

再考察輸出向量，取C=[1 0]，y=w為唯一輸出，則有y=Cζ=C(ζe+ζd)，將式(8)代入得

綜上，得到了僅關(guān)于狀態(tài)變量向量ηe和αe的跟蹤模型如下:

式中:M=A1－K1是Hurwitz的，N=K1+A2。

1.3 滑行力非線性特性分析

如文獻(xiàn)［5-8］所述，滑行力是縱向速度w的函數(shù)，二者的關(guān)系如圖1所示。

圖1 滑行力與縱向速度的關(guān)系Fig.1 Relationship between vertical speed and planing force

由圖1和絕對(duì)穩(wěn)定性定義可知，滑行力的非線性特性整體處于扇形區(qū)域(Km是標(biāo)量，表示曲線上的點(diǎn)與原點(diǎn)之間連線最大斜率)內(nèi)，即有φT(φ－Kmw)=φT(φ－Kmy)≤0，將式(11)代入該式可得

為滿足下面定理的證明，將式(13)寫成LMI的形式，即

2 控制器設(shè)計(jì)

由于系統(tǒng)中存在非線性滑行力，不能直接采用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)控制器時(shí)，可令u=B－1(ρ+N αe+Dφ+r)，得=r+Bωω。由此，非線性系統(tǒng)(12)轉(zhuǎn)換為線性積分器反步的形式［10］，只需設(shè)計(jì)r使αe漸近穩(wěn)定則有ηe漸近穩(wěn)定。但是缺點(diǎn)在于，上述控制器引入了非線性滑行力φ，該力的模型具有很大的不確定性，并且通常情況下難以準(zhǔn)確觀測(cè)，這必然導(dǎo)致控制器的控制品質(zhì)受到影響，嚴(yán)重時(shí)甚至導(dǎo)致控制發(fā)散。因此，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律如下:

本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器(15)使得閉環(huán)系統(tǒng)(12)是內(nèi)部穩(wěn)定的，并且在零初始條件下具有給定的H∞擾動(dòng)抑制水平γ。為此定義受控輸出o和目標(biāo)函數(shù)Joω分別為

式中:C1=C2=D1=D2=I2。對(duì)于給定的標(biāo)量γ＞0，把從噪聲ω到受控輸出o的傳遞函數(shù)Toω的H∞范數(shù)約束記做‖Toω‖ ＜γ，因?yàn)镠∞范數(shù)在時(shí)域內(nèi)等價(jià)于誘導(dǎo)2范數(shù)，所以采用如下表示方法:

定義 考慮如下系統(tǒng):

式中:x∈Rn為狀態(tài)向量，A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rn×m為系統(tǒng)常數(shù)矩陣，φ(y)∈Rm×1是非線性函數(shù)，并且滿足

如果系統(tǒng)(18)對(duì)于所有滿足式(19)的非線性特性φj(·)，j=1，2，…，m，原點(diǎn)都是全局一致漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)(18)是絕對(duì)穩(wěn)定的。其中，yj是向量y的第j個(gè)分量。

下面，將應(yīng)用Lyapunov理論進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。定義備選Lyapunov函數(shù)為

其中，對(duì)稱矩陣P＞0，Q＞0。對(duì)式(20)沿著系統(tǒng)(12)的軌跡求導(dǎo)，并將式(15)代入得

式中:φ11=MTP+PM，φ12=P－BTQ，φ22= (N－B K3)TQ+Q(N－B K3)，φ23=QD。

由式(17)有

由式(21)可得

由此，若Ξ＜0，那么有Joω＜0，即在零初始條件下，閉環(huán)系統(tǒng)具有給定的H∞擾動(dòng)抑制水平γ。根據(jù)S－過(guò)程［11］，式(22)＜0成立當(dāng)且僅當(dāng)存在對(duì)稱矩陣P＞0、Q＞0，任意合適維數(shù)的矩陣K2、K3和標(biāo)量ε≥0，使得

成立。其中，Ξ和Γ分別定義于式(22)和式(14)中。

根據(jù)Schur補(bǔ)［12］，式(23)等價(jià)于:

式中:X11=MTP+PM，X12=P－BTQ，X13=－εCTKm，X14=D1，X22=(N－B K3)TQ+ Q(N－B K3)，X33=－2εI，X23=QD+ε CTKm，X24Q B=ω+CT2D2。

觀察矩陣Π，若Π ＜0存在可行解，則對(duì)應(yīng)的有χ＜0，χ=[Xij]，i，j=1，2，3存在可行解，觀察分別定義于式(21)和式(14)中的矩陣Θ和Τ的形式，則可得Θ+εΤ=χ＜0存在可行解，因而保證了ω=0時(shí)標(biāo)稱系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性。

由于Π中存在決策變量的非線性項(xiàng)，無(wú)法直接用LMI工具箱進(jìn)行求解，所以對(duì)矩陣Π做合同變換，分別左乘 diag{P－1，Q－1，ε－1，I，I，I}和右乘diag{P－1，Q－1，ε－1，I，I，I} 。令L1=P－1，L2= Q－1，L3=P－1KT2，L4=Q－1，τ=ε－1有

式中:Y11=L1MT+M L1，Y12=L2－L3BT，Y13=－L1CTKm，Y14=L1D1，Y22=L2NT－L4BT+ NL2－B L4，Y23=τD+L2CTKm，Y24=Bω+

至此，得到了H∞絕對(duì)穩(wěn)定控制器約束條件。即對(duì)于給定的標(biāo)量γ＞0，若存在對(duì)稱矩陣L1＞0和L2＞0，矩陣L3、L4和標(biāo)量τ＞0，使得式(25)成立，則閉環(huán)系統(tǒng)(14)在控制器K1及u=B－1ρ－K2ηe－K3αe下可以實(shí)現(xiàn)絕對(duì)穩(wěn)定，且在零初始條件下，具有H∞性能指標(biāo)γ。其中，K1是使M為Hurwitz矩陣的任意矩陣

3 仿真分析

采用前文設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行仿真分析。選擇與文獻(xiàn)［2］相同的參數(shù)值，取V=75m/s，Rn=0.0191 m，R =0.0508 m，Cx0=0.82，n=0.5，σ=0.03，L=1.8 m，g=9.81 m/s2，m=2。為了使M=A1－K1為Hurwitz的，可以利用極點(diǎn)配置方法，取M的極點(diǎn)為[－6+2.7713i －6－2.7713i]，對(duì)應(yīng)的反饋矩陣為。計(jì)算得到LMI的一個(gè)可行解為令為考慮噪聲干擾時(shí)，取噪聲干擾ω= [ω1ω2]T，其中，ω1=ω2=5sin(2πt)。另外，空化器和尾舵的飽和值分別設(shè)為20°和50°，仿真步長(zhǎng)設(shè)為0.5 ms，經(jīng)過(guò)2 s后，仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。如圖2所示，標(biāo)稱系統(tǒng)的4個(gè)狀態(tài)在1 s左右能夠準(zhǔn)確跟蹤給定的階躍指令，受干擾系統(tǒng)的狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)誤差在可接受的范圍內(nèi)。在仿真開(kāi)始時(shí)，標(biāo)稱系統(tǒng)與受干擾系統(tǒng)的尾舵偏轉(zhuǎn)角均出現(xiàn)飽和，其幅值受到限制。空化器偏轉(zhuǎn)角最大值為15°，未飽和。

圖3給出了正弦指令跟蹤響應(yīng)曲線，從圖中可以看出，標(biāo)稱系統(tǒng)與受干擾系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線幾乎重合，均能準(zhǔn)確跟蹤給定指令。同樣，尾舵偏轉(zhuǎn)角在仿真開(kāi)始也出現(xiàn)飽和。與圖2區(qū)別在于，由于圖3的跟蹤指令為正弦深度指令，和階躍指令相比，正弦指令雖然在仿真初始時(shí)的縱向深度指令

仿真過(guò)程中初始狀態(tài)設(shè)為z0=θ0=w0=q0=0，分別跟蹤階躍深度指令和正弦曲線深度指令，其中階躍指令為zd=1，θd=wd=qd=0，正弦曲線深度指，但是由于其俯仰角指令，即，最終導(dǎo)致控制輸出幅值變大，所以圖3中標(biāo)稱系統(tǒng)和受干擾系統(tǒng)的空化器偏轉(zhuǎn)角在仿真初始均出現(xiàn)飽和。另外，在仿真過(guò)程中，空化器和尾舵偏轉(zhuǎn)角均在允許范圍內(nèi)變化。

圖2 零初始狀態(tài)階躍響應(yīng)曲線Fig.2 z-step input tracking responses under zero initial states

圖3 零初始狀態(tài)正弦響應(yīng)曲線Fig.3 z-sine reference signal input tracking responses under zero initial states

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)超空泡航行體在航行過(guò)程中受到的強(qiáng)烈非線性滑行力和噪聲干擾問(wèn)題設(shè)計(jì)了魯棒H∞絕對(duì)穩(wěn)定控制器。仿真中，系統(tǒng)狀態(tài)能夠跟蹤給定指令，且誤差較小，表明了所設(shè)計(jì)的控制器的有效性。由于文章只考慮了噪聲干擾的影響，因此進(jìn)一步考慮不確定性對(duì)超空泡航行體的影響并設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器等問(wèn)題都有待于研究。

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