鮑宏偉, 張 佳

(1.蚌埠學(xué)院 數(shù)理系, 安徽 蚌埠 233030; 2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002)

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準(zhǔn)素子群的局部化性質(zhì)對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響

鮑宏偉1*, 張 佳2

(1.蚌埠學(xué)院 數(shù)理系, 安徽 蚌埠 233030; 2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002)

已知H是群G的子群,若存在G的子群B,使得(1)G=HB,(2)若H1/HG是H/HG的極大子群,則H1B=BH1

弱M-可補(bǔ)子群;s-擬正規(guī); Sylow子群; 正規(guī)化子

利用子群的可補(bǔ)性質(zhì)刻畫群的結(jié)構(gòu)是有限群理論中重要的課題之一,圍繞這一課題,國內(nèi)外學(xué)者已獲得很多深刻的研究成果.例如,1937年,Hall[1]得到了群G可解的充分必要條件是,G的任意Sylow子群在G中是可補(bǔ)的;1970年,Buckley[2]證明了如果奇階群G的任意極小子群在G中正規(guī),那么群G超可解;2000年,王燕鳴[3]等定義了c-可補(bǔ)子群,并利用其對(duì)群的超可解性和p-冪零性進(jìn)行了研究;2003年,郭文彬[4]等將子群c-正規(guī)的條件減弱并引入了s-正規(guī)子群的概念;2005年,繆龍[5]等從另一個(gè)角度對(duì)子群的補(bǔ)充加以限制,給出了F-s可補(bǔ)子群的概念,較系統(tǒng)地研究了F-s-可補(bǔ)子群的一般性質(zhì),并利用子群的F-s-可補(bǔ)性證明了有限群為超可解群,p-冪零群的一些充要條件;2009年,繆龍和Lempken[6]從子群的極小補(bǔ)的角度給出了M-可補(bǔ)子群的定義,得到了M-可補(bǔ)子群的一些性質(zhì);2010年,郭文彬[7]引入g-s-可補(bǔ)子群,研究了g-s-可補(bǔ)子群對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響;同年,繆龍[8]給出弱M-可補(bǔ)子群的概念,得到關(guān)于有限群及包含超可解群的飽和群系結(jié)構(gòu)的一些結(jié)果.其中的群系是指有限可解群的一個(gè)群類F,它滿足下面的條件:

(1)如果G∈F,N

(2)如果N1、N2

非空群系F,如果滿足,當(dāng)G/Φ(G)∈F,則G∈F,那么群系F叫做飽和群系.大家熟知的冪零群系、p-冪零群系、超可解群系、p-超可解群系等都是飽和群系.

以上述工作為基礎(chǔ),本文利用準(zhǔn)素子群在Sylow子群的正規(guī)化子中的s-擬正規(guī)性和弱M-可補(bǔ)性對(duì)有限群的p-冪零性以及包含超可解群系的飽和群系的結(jié)構(gòu)開展研究,得到了一些結(jié)果.

本文所有的群皆為有限群,所用術(shù)語和符號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的,見文獻(xiàn)[9-10].

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[8]稱G的子群H在G中弱M-可補(bǔ),如果G存在子群B,滿足:G=HB,且H/HG的每個(gè)極大子群H1/HG,都有H1B=BH1

引理1[8]設(shè)G是群,則

(1) 若H≤S≤G,且H在G中弱M-可補(bǔ),則H在S中是弱M-可補(bǔ)的;

(3) 設(shè)π是一個(gè)素?cái)?shù)集,N是G的正規(guī)π′-子群,且H是G的π-子群.若H在G中弱M-可補(bǔ),則HN/N在G/N中弱M-可補(bǔ);

(4) 設(shè)p∈π(G),P是G的p-子群,若P在G中弱M-可補(bǔ),則存在G的子群K,使得對(duì)于P的任意包含PG的極大子群T有|G:TK|=p.

引理2[11]設(shè)子群H在G中s-擬正規(guī),則

(1) 若H≤K≤G,則H在K中是s-擬正規(guī)的;

(2) 若N≤G,則HN/N在G/N中是s-擬正規(guī)的.

引理3設(shè)N是G的正規(guī)子群,P是G的Sylowp-子群.若P的任意極大子群在NG(P)中是弱M-可補(bǔ)的,且(p,|N|)=1,則PN/N的每一個(gè)極大子群在NG/N(PN/N)中是弱M-可補(bǔ)的.特別地,若N≤P,則PN/N的每一個(gè)極大子群在NG/N(P/N)中是弱M-可補(bǔ)的.

所以P1N/N在NG(P)N/N中是弱M-補(bǔ)的.

引理4[12]設(shè)G是有限群,P是G的Sylowp-子群,p是|G|的極小素因子.若P的任意極大子群在G中有p-冪零補(bǔ)或弱M-補(bǔ),則G是p-冪零的.

引理5[13]設(shè)P是群G的s-擬正規(guī)p-子群,其中p∈π(G),則Op(G)≤NG(P).

引理6[14]若G是π-可分群并且Oπ′(G)=1,則CG(Oπ(G))≤Oπ(G).

引理7[15]如果G是p-可解的,那么對(duì)于G的一個(gè)Sylowp-子群P,存在G的一個(gè)Sylowq-子群Q使得PQ是G的子群,這里q∈π(G),p≠q.

引理8[10]設(shè)N是G的非平凡可解正規(guī)子群.若Ν∩Φ(G)=1,則F(N)是G的包含在N中的一些極小正規(guī)子群的直積.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)P是群G的一個(gè)Sylow子群,P′是P的導(dǎo)群,p是|G|的極小素因子.如果P的每一個(gè)極大子群在NG(P)中弱M-可補(bǔ),且P′在G中s-擬正規(guī),那么G是p-冪零的.

證明用極小階反例法,假設(shè)結(jié)論不成立,G是極小階反例,則

(1)Op′(G)=1.

若Op′(G)≠1,則考查商群G/Op′(G),因?yàn)镻Op′(G)/Op′(G)是G/Op′(G)的Sylowp-子群,根據(jù)引理3知其極大子群P1Op′(G)/Op′(G)在NG/Op′(G)(POp′(G)/Op′(G))中弱M-可補(bǔ);又由(POp′(G)/Op′(G))′=P′Op′(G)/Op′(G)和引理2(2)知(POp′(G)/Op′(G))′在G/Op′(G)中是s-擬正規(guī)的,由G的選擇知G/Op′(G)是p-冪零的.因此,G是p-冪零的,矛盾.

(2)G的任意包含P的真子群是p-冪零的.

設(shè)P≤M

(3)G是p-可解的,Op(G)≠1.

(4)G=PQ,其中Q是G的一個(gè)Sylowq-子群,q≠p.

由引理6和(3),有CG(Op(G))≤Op(G).又由(3)及引理7,存在G的Sylowq-子群Q,其中q∈π(G),使得PQ≤G.若PQ

(5)Φ(G)=1,G有唯一的極小正規(guī)子群.

(6) 最終的矛盾.

根據(jù)引理8及(1)和(3)可知,Op(G)=F(G)=N=P′.因?yàn)镻′≤Φ(P),所以由引理9知Op(G)≤Φ(G)=1,矛盾.

故定理1結(jié)論成立.

若B≠1,驗(yàn)證可知G/B及正規(guī)子群H/B滿足定理?xiàng)l件.又G/B/H/B?G/H,則由歸納假設(shè)可得G/B是p-冪零的,進(jìn)而G是p-冪零的.

若B=1,則H=P是G的一個(gè)p-子群.若G/P為p′-群,則P為G的正規(guī)Sylowp-子群,從而NG(P)=G,由引理4,可知G是p-冪零的,矛盾.因此(G/P)p≠1.因?yàn)镚/P是p-冪零的,所以G/P有正規(guī)p-補(bǔ),不妨記為T/P,即G/P=(G/P)p[T/P].由NT(P)=NG(P)∩T≤NG(P)和引理1(1)可得P的每個(gè)極大子群在NT(P)中是弱M-可補(bǔ)的.依據(jù)引理2(1)可得P′在T中是s-擬正規(guī)的.進(jìn)而利用定理1可得T是p-冪零的.設(shè)S為T的正規(guī)p-補(bǔ),顯然S也是G的正規(guī)p-補(bǔ),即G是p-冪零的.

定理3設(shè)G是一個(gè)群,若對(duì)任意p∈π(G),都存在G的一個(gè)Sylowp-子群P,使得P的每一個(gè)極大子群在NG(P)中弱M-可補(bǔ),并且滿足P的導(dǎo)群P′在G中s-擬正規(guī),則G超可解.

證明用極小階反例法,假設(shè)結(jié)論不成立,G是極小階反例,則利用定理1可得G具有超可解型的Sylow塔,故G可解.假設(shè)N為G的極小正規(guī)子群.由引理3和引理2可得G/N滿足定理?xiàng)l件.根據(jù)(PN/N)′=P′N/N在G/N中是s-擬正規(guī)的,以及G的極小性,可得G/N是超可解的.

致謝: 感謝揚(yáng)州大學(xué)繆龍教授的悉心指導(dǎo)與有益討論.

[1]HallP.Acharacteristicpropertyofsolublegroups[J].LondonMathSoc, 1937, 12: 188-200.

[2]BuckleyJ.Finitegroupswhoseminimalsubgroupsarenormal[J].MathZ, 1970, 15: 15-17.

[3]WangYanming.FinitegroupswithsomesubgroupsofSylowsubgroupsc-supplemented[J].Algebra, 2000, 224: 467-478.

[4]ZhangXinjian,GuoWenbin,ShumKP.S-normalsubgroupsoffinitegroups[J].JournalofAppliedAlgebraandDiscreteStructures, 2003, 1(2): 99-108.

[5]MiaoLong,GuoWenbin.FinitegroupswithsomeprimarysubgroupsF-s-supplemented[J].CommAlgebra, 2005, 33(8): 2789-2800.

[6]MiaoLong,LempkenW.OnM-supplemented subgroups of finite groups[J]. Journal of Group Theory, 2009, 12: 271-287.

[7] Guo Wenbin. On g-s-supplemented subgroups of finite groups [J]. Front Math China, 2010, 5(2): 287-295.

[8] Miao Long, Lempken W. On weaklyM-supplemented primary subgroups of finite groups [J]. Turk J Math, 2010, 34: 489-500.

[9] 徐明曜. 有限群導(dǎo)引(上) [M]. 北京:科學(xué)出版社, 2007.

[10] Guo Wenbin. The theory of classes of groups [M]. Beijing/New York/Dordrecht/Boston/London:Publ, 2000.

[11] Kegel O H. Sylow-grouppen und subnormal endlicher grouppen [J]. Math Z,1962, 78: 205-221.

[12] Miao Long. On weakly M-supplemented subgroups of Sylowp-subgroups of finite groups [J]. Glasgow Math, 2011, 53:401-410.

[13] Li Yangming,Wang Yanming,Wei Huaquan. On p-nilpotency of finite groups with some subgroupsπ-quasinormally embedded [J]. Acta Math, 2005, 108(4): 283-298.

[14] Hall P,Higman G. On the p-length of p-solvable groups and reduction theorems for Burnside’s problem [J]. Proc London Math Soc, 1956, 6(3): 1-42.

[15] Gorenstein D. Finite Groups [M]. New York:Harper and Row, 1968.

[16] Huppert B. Endliche Qrupper I [M]. New York:Springer-Verlag, 1982.

The influence of localized properties of primary subgroups on the structure of finite groups

BAO Hongwei1, ZHANG Jia2

(1.Department of Mathematics and Physics, Bengbu University, Bengbu, Anhui 233030;2.School of Mathematical Science, Yangzhou University, Yangzhou, Jiangsu 225002)

A subgroupHof a groupGis said to be weaklyM-supplemented inGif there exists a subgroupBofGsuch that (1)G=HB, and (2) ifH1/HGis a maximal subgroup ofH/HG, thenH1B=BH1

weaklyM-supplemented subgroup;s-quasinormal; Sylow subgroup; normalizer

2014-06-10.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10901133,11271016);安徽省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(KJ2013B138);安徽蚌埠學(xué)院教研基金項(xiàng)目(2013gcjy17).

1000-1190(2015)01-0021-04

O152

A

*E-mail: big_bao2003@163.com.