林 漢 燕

(桂林航天工業(yè)學院 理學部, 廣西 桂林 541004)

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分數(shù)布朗運動模型下復合期權(quán)的定價

林 漢 燕*

(桂林航天工業(yè)學院 理學部, 廣西 桂林 541004)

在市場股價滿足分數(shù)布朗運動模型的條件下,采用風險中性定價法推導出有紅利支付的標的看漲期權(quán)的看跌期權(quán)及另外3種復合期權(quán)的定價公式,所得結(jié)果類似于標準布朗運動模型下的情形.

分數(shù)布朗運動; 復合期權(quán); 風險中性定價

復合期權(quán)是一類以期權(quán)為標的資產(chǎn)的期權(quán),其研究起源于Black和Scholes關(guān)于期權(quán)定價的工作. 復合期權(quán)主要有四種類型:標的看跌期權(quán)的看跌期權(quán)、標的看跌期權(quán)的看漲期權(quán)、標的看漲期權(quán)的看跌期權(quán)、標的看漲期權(quán)的看漲期權(quán). 復合期權(quán)有兩個到期日和兩個執(zhí)行價格. 復合期權(quán)的理論及應用的研究一直被學者們關(guān)注.目前,復合期權(quán)理論已廣泛應用于資產(chǎn)價值評估、企業(yè)戰(zhàn)略決策和激勵機制設(shè)計等方面.

復合期權(quán)定價一般采用風險中性定價法,1979年Geske提出的定價法[1]為后來復合期權(quán)定價的研究奠定了基礎(chǔ). 由于該模型基于Black-Scholes假設(shè),存在一定局限性,所以很多學者對該模型進行了推廣,以獲得更廣泛的應用.Buraschi等放松了標的資產(chǎn)遵循標準布朗運動的假設(shè),研究標的資產(chǎn)遵循一般擴散過程的復合期權(quán)定價[2]. 張學超等改變Geske定價法中利率和波動率都是常數(shù)的情形,推導出具有隨機利率和波動率的復合期權(quán)定價公式[3]. 趙建國等在跳-擴散模型下研究復合期權(quán)的定價問題[4]. 分數(shù)布朗運動模型由于自身具有的相似性和長期相關(guān)性,使得在描述股票的運動時能較好地反映運動規(guī)律. 本文在分數(shù)布朗運動模型下,應用風險中性定價法推導復合期權(quán)的一般定價公式.

1 基本模型

設(shè)(Ω,F,Ft,P)是一個具有σ-流的概率空間,其中Ft是由Hurst參數(shù)為H的分數(shù)布朗運動BH(t)生成的σ-流. 現(xiàn)假定在分數(shù)Black-Scholes市場僅有兩種資產(chǎn),一種是無風險資產(chǎn),其價格A(t)滿足

dA(t)=rA(t)dt,A(0)=1.

另一種是風險資產(chǎn),其價格S=S(t)服從分數(shù)布朗運動

dS(t)=(u-q)S(t)dt+σS(t)dBH(t),

S(0)=S0,

其中,t∈[0,T],標的資產(chǎn)的瞬間期望收益率μ、無風險利率r、紅利率q和瞬間波動率σ均為常數(shù),且σ>0,μ>r>0.

引理2[6]設(shè)函數(shù)f滿足E[f(BH(t))]<∞,則對任意t∈[0,T],

2 主要結(jié)論及證明

考慮一個標的看漲期權(quán)的看跌期權(quán). 設(shè)T1、K1分別為復合期權(quán)的到期日和執(zhí)行價格,T(T1

定理1標的看漲期權(quán)的看跌期權(quán)在任意時刻t∈[0,T1]的價格為:

PC(t,S)=-S(t)e-q(T-t)N2(-a1,b1;-ρ)+Ke-r(T-t)N2(-a2,b2;-ρ)+K1e-r(T1-t)N(-a2),

其中,

是相關(guān)系數(shù)為ρ的二元標準正態(tài)分布累積概率;這里,

a1=

b1=

證明設(shè)標的看漲期權(quán)在t∈[0,T]時刻價格為C(t,S),由文獻[6]知在T1時刻有

C(T1,S(T1))=

S(T1)e-q(T-T1)N(d1)-Ke-r(T-T1)N(d2),

其中,

由引理1知在t∈[0,T1]時刻,

下面分別計算I1、I3和I2.由引理2得

I1=

K1e-r(T1-t)N(-a2)，

其中,

上式中，

所以令

得

I2=

-S(t)e-q(T-t)N2(-a1, b1;-ρ)，

其中,

定理1得證.

同理可得其它3種復合期權(quán)的定價公式.

定理2標的看漲期權(quán)的看漲期權(quán)在任意時刻t∈[0, T1]的價格為:

CC(t,S)=S(t)e-q(T-t)N2(a1,b1;ρ)-

Ke-r(T-t)N2(a2,b2;ρ)-K1e-r(T1-t)N(a2).

定理3標的看跌期權(quán)的看漲期權(quán)在任意時刻t∈[0, T1]的價格為:

CP(t,S)=-S(t)e-q(T-t)N2(-a1,-b1;ρ)+

Ke-r(T-t)N2(-a2,-b2;ρ)-

K1e-r(T1-t)N(-a2).

定理4標的看跌期權(quán)的看跌期權(quán)在任意時刻t∈[0, T1]的價格為:

PP(t,S)=S(t)e-q(T-t)N2(a1,-b1;-ρ)-

Ke-r(T-t)N2(a2,-b2;-ρ)+

K1e-r(T1-t)N(a2).

定理2～4中T1、K1分別為復合期權(quán)的到期日和執(zhí)行價格,T (T1

[1] Geske R. The valuation of compound options[J]. Journal of Financial Economics, 1979, 7(1): 63-81.

[2] Buraschi A, Dumas B. The forward valuations of compound option[J]. Journal of Derivatives, 2001, 9(1): 8-17.

[3] 張學超,宣國良. 具有隨機利率和波動率的復合期權(quán)定價[J].華東交通大學學報, 2006, 23(4): 153-156.

[4] 趙建國, 師 恪. 跳-擴散模型下的復合期權(quán)定價公式[J]. 新疆大學學報:自然科學版, 2006, 23(3): 257-263, 276.

[5] Elliott R J,Van D H J. A general fractional white noise theory and applications to finance[J]. Mathematical Finance, 2003, 13(2): 301-330.

[6] Necula C. Option pricing in a fractional Brownian motion environment[J]. Pure Mathematics, 2002, 2: 63-68.

Compound option pricing in a fractional Brownian motion environment

LIN Hanyan

(Department of Science, Guilin University of Aerospace Technology, Guilin, Guangxi 541004)

Based on the underlying driven by a fractional Brownian motion, formulas of pricing put option on a call option and other three kinds of compound options paying dividend are derived by risk neutral valuation. They are similar to the results based on the standard Brownian motion model.

fractional Brownian motion; compound option; risk neutral valuation

2014-05-30.

廣西自然科學基金項目(0991091);廣西教育廳科研項目(YB2014436).

1000-1190(2015)01-0007-04

O211.6

A

*E-mail: linhanyan2006@163.com.