單吉寧，蔡 靜

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州313000）

0 引言

非線性方程求根問題源于物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程計算等諸多應(yīng)用學(xué)科領(lǐng)域．由于多數(shù)非線性方程無法求得精確解，故尋求方程的近似解顯得尤為重要．牛頓迭代法（Newton method）［1］是一種非線性方程求根的經(jīng)典方法，它在非線性方程的單根附近平方收斂，且此法還可用于求非線性方程的重根、復(fù)根．

近年來，具有更高收斂階的改進(jìn)型牛頓法的構(gòu)建倍受關(guān)注，出現(xiàn)了多種改進(jìn)算法，主要有算術(shù)平均牛頓法［2］（AN）、調(diào)和平均牛頓法［3］（HN）、中點牛頓法［3］（MN）、幾何平均牛頓法［4］（GN）、α－冪平均牛頓法［5］（PN）．這五種算法的收斂階都達(dá)到了3階．文獻(xiàn)［6］結(jié)合經(jīng)典牛頓法與中點牛頓法（MN），提出了一類求解非線性方程的5階收斂迭代算法．

上述文獻(xiàn)中提出的各種改進(jìn)型牛頓法，常用的構(gòu)造思想是：利用各類均值替代經(jīng)典牛頓法中的一階導(dǎo)，由此獲得更高的收斂階．而所選的均值類型、修正的次數(shù)和方法會直接影響算法收斂的效果．本文結(jié)合經(jīng)典牛頓法與算術(shù)平均牛頓法（AN），利用線性插值，提出一種新的改進(jìn)型牛頓法，并證明其收斂階可達(dá)6階．同時，通過數(shù)值試驗將所建立的改進(jìn)型牛頓法與已有的幾類牛頓改進(jìn)格式進(jìn)行比較，以驗證所建算法的優(yōu)越性．

1 新的改進(jìn)型牛頓法的構(gòu)建

在文獻(xiàn)［2］中，Weerakoon和Fernando給出了收斂階為3階的算術(shù)平均牛頓法（AN）．具體迭代格式如下：

在上述算術(shù)平均牛頓迭代格式的基礎(chǔ)上結(jié)合經(jīng)典牛頓法，可得：

為了得到f′（zn）的顯式表達(dá)式，在）和兩點上用線性插值公式：得到f′（zn）的近似值為：

代入（3）式得：

將（4）式代入（2）式，得如下新的算法（簡記為 MAN）：

2 新算法的收斂性分析

定義［1］設(shè)數(shù)列 ｛xn｝收斂于x＊，令誤差en＝xn－x＊，如果存在某個實數(shù)p≥1及正常數(shù)C，使則稱數(shù)列 ｛xn｝為p階收斂，也稱相應(yīng)的迭代法是p階方法，C稱為漸近誤差常數(shù)．當(dāng)p＝1且0＜C＜1時，稱數(shù)列｛xn｝為線性收斂．當(dāng)p＞1時，稱數(shù)列｛xn｝為超線性收斂．

定理 設(shè)f：R→R為連續(xù)可微函數(shù)，α為fx（）在R內(nèi)的單根，即有fα（）＝0，且初始值x0充分接近α，記．若0，則MAN法是6階收斂的，且其誤差方程為：

證明 設(shè)α為fx（）在R內(nèi)的單根，en＝xn－α是其第n次迭代產(chǎn)生的誤差，將fx（）在α處泰勒展開，則有：記．則有：

對上式求導(dǎo)可得：

于是

因此

將f′（yn）在α處泰勒展開，可得：

所以

因此

3 數(shù)值實驗

選取三個非線性方程作為測試方程，將所提出的6階牛頓改進(jìn)型算法（MAN）與經(jīng)典牛頓法以及幾類改進(jìn)型牛頓法，如AN、GN、PN等作比較，程序運行環(huán)境為matlab7．0．結(jié)果如表1～表3所示．表中x0為初值；k為迭代次數(shù)；xk為第k次迭代值；fk為每次迭代后的函數(shù)值．迭代次數(shù)的最大值為100次．

表1 f1x（）＝x3＋4x2－10＝0，精確根α＝1．36523001341410，x0＝1Table 1 f1x（）＝x3＋4x2－10＝0，accurate rootα＝1．36523001341410，x0＝1

表1（續(xù)）

表2 f2x（）＝x2－e x－3x＋2＝0，精確根α＝0．25753028543986，x0＝1Table 2 f2x（）＝x2－e x－3x＋2＝0，accurate rootα＝0．25753028543986，x0＝1

表3 f3x（）＝sin2 x－x2＋1＝0，精確根α＝1．40449164821534，x0＝1Table 3 f3x（）＝sin2 x－x2＋1＝0，accurate rootα＝1．40449164821534，x0＝1

實驗表明，與經(jīng)典牛頓法及上述五種改進(jìn)型牛頓法相比較，本文提出的算法具有更快的收斂速度和更高的精度．

［1］白曉燕．求解非線性方程的迭代算法研究［D］．杭州：杭州電子科技大學(xué)，2009．

［2］Weerakoon S，F(xiàn)ernando T G I．A variant of Newton’s method with accelerated third－order convergence［J］．Appl Math Lett，2000，13（8）：87－93．

［3］?zban A Y．Some new variants of Newton’s method［J］．Appl Math Lett，2004，17（6）：677－682．

［4］Lukic T，Ralevic N M．Geometric mean Newton＇s method for simple and multiple roots［J］．Appl Math Lett，2008，21（1）：30－36．

［5］Ababneh O Y．New Newton’s method with third－order convergence for solving nonlinear equations［J］．Inter J Math Comput Sciences，2012（6）：119－121．

［6］周任灃，蔡靜．一類五階牛頓變形方法及其加速［J］．杭州師范大學(xué)學(xué)報，2011，10（6）：529－534．