馬艷芳，陳 亮

（1.淮北師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽 淮北235000；2.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000）

1 計(jì)算思維

2006年，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系主任周以真教授第一次提出了計(jì)算思維的概念［1］.這種嶄新的教育理念是近十年來最具有基礎(chǔ)性、長期性的重要思想［2］.周教授指出：“計(jì)算思維是運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)概念去求解問題、設(shè)計(jì)系統(tǒng)和理解人類的行為［1］.其本質(zhì)是抽象（abstraction）和自動(dòng)化（automation）.即按照計(jì)算機(jī)求解問題的基本方法去考慮問題的求解，以構(gòu)建出相應(yīng)的算法和基本程序.近年來，我國教育學(xué)者對培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維越來越重視，特別是針對計(jì)算機(jī)專業(yè)的人才培養(yǎng)，提出了新的人才培養(yǎng)方案及課程設(shè)置體系，以適應(yīng)計(jì)算思維的培養(yǎng)模式.2010年，教育部發(fā)布了《高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)人才專業(yè)能力構(gòu)成與培養(yǎng)》，其中給出了計(jì)算思維的定義.定義中針對計(jì)算機(jī)專業(yè)人才的培養(yǎng)，將專業(yè)課程涉及的很多內(nèi)容都?xì)w結(jié)到計(jì)算思維能力范疇，如問題的符號表示、問題求解過程的推理、邏輯思維與抽象思維、形式化證明、類計(jì)算和模型計(jì)算等.同時(shí)很多教育學(xué)者強(qiáng)調(diào)在計(jì)算機(jī)專業(yè)的必修課和選修課程中都應(yīng)加強(qiáng)“計(jì)算思維”的培養(yǎng).王亞東教授在報(bào)告《計(jì)算與計(jì)算思維》中對計(jì)算思維與計(jì)算專業(yè)課程之間的聯(lián)系進(jìn)行了分析，并闡述了計(jì)算思維對計(jì)算機(jī)專業(yè)人才培養(yǎng)所產(chǎn)生的影響.針對計(jì)算思維培養(yǎng)問題，Hambrusch等介紹了普渡大學(xué)開設(shè)計(jì)算思維導(dǎo)論課程的經(jīng)驗(yàn)［3］.目前，很多高校的計(jì)算機(jī)專業(yè)為了加強(qiáng)低年級學(xué)生對計(jì)算機(jī)的認(rèn)識(shí)，開設(shè)了計(jì)算機(jī)導(dǎo)論課程.在計(jì)算機(jī)導(dǎo)論課程中，主要分為以計(jì)算思維為基礎(chǔ)和以學(xué)科思想與方法為基礎(chǔ)的兩種教學(xué)模式.董榮勝對這兩種教學(xué)模式進(jìn)行了分析比較［4］.近幾年來，一些高等院校已經(jīng)將計(jì)算思維融入到一些課程的教學(xué)過程中.例如，在程序設(shè)計(jì)課程中應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生計(jì)算思維能力的培養(yǎng)［5］.在編譯原理課程、計(jì)算機(jī)組成原理、人工智能等計(jì)算機(jī)專業(yè)課程的教學(xué)過程中都注重培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維能力［6～7］.離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專業(yè)的必修課程之一，其中的很多內(nèi)容都蘊(yùn)含著計(jì)算思維的思想，因此常亮等提出在離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)將計(jì)算思維與離散數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合進(jìn)行教學(xué)［8］.本文主要從實(shí)踐教學(xué)角度，對離散數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題進(jìn)行分析，改變傳統(tǒng)的教學(xué)方法，通過基礎(chǔ)性和綜合型實(shí)驗(yàn)，將實(shí)踐教學(xué)融入教學(xué)進(jìn)程中，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維能力.

2 離散數(shù)學(xué)教學(xué)與計(jì)算思維

離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)重要分支.該課程內(nèi)容中，定義多、符號多、公式多、定理證明多、理論性強(qiáng)并且高度抽象.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中普遍認(rèn)為該課程是一門難學(xué)的課程.主要原因有以下幾方面：

（1）離散數(shù)學(xué)主要包括四部分內(nèi)容：數(shù)理邏輯篇、集合論篇、代數(shù)結(jié)構(gòu)篇、圖論篇.這四部分內(nèi)容彼此獨(dú)立，自成體系.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中很難發(fā)現(xiàn)他們之間的聯(lián)系，從而不明確學(xué)習(xí)該課程的目的.

（2）離散數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征是形式化和符號化.這種形式化模型中包含了大量的字母、符號、公式、圖形等.而在教學(xué)過程中，課程的課時(shí)較少，課堂上往往要講授很多定義、定理和證明，學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)無法理解這些抽象概念，只能死記硬背，認(rèn)識(shí)不到這些抽象模型的實(shí)質(zhì)含義.

（3）由于課程內(nèi)容中的形式化模型較多、理論性強(qiáng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往將其作為一門數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，不清楚其與計(jì)算機(jī)科學(xué)之間的聯(lián)系，對這門課程在計(jì)算機(jī)專業(yè)中的地位和作用認(rèn)識(shí)不夠.大部分內(nèi)容沒有實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，學(xué)生看不到這些形式模型的實(shí)際應(yīng)用效果，因此不能體會(huì)該課程在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的具體應(yīng)用，缺乏相應(yīng)的學(xué)習(xí)興趣.

（4）在實(shí)際教學(xué)過程中，大多數(shù)教師按照傳統(tǒng)的教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)，首先介紹符號、定義、定理、證明等基礎(chǔ)理論，然后利用例題加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)的理解，最后布置課后作業(yè)進(jìn)行課外強(qiáng)化.然而這種教學(xué)方式對培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維能力存在很大弊端，其沒有結(jié)合計(jì)算機(jī)專業(yè)注重應(yīng)用能力培養(yǎng)，從而學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不能很好地將理論知識(shí)和計(jì)算機(jī)的實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來.

計(jì)算思維為我們提供了一種嶄新的教學(xué)方法.盡管離散數(shù)學(xué)中的內(nèi)容獨(dú)立性強(qiáng)，但從抽象角度分析，這些內(nèi)容之間存在一定的聯(lián)系.同時(shí)這些內(nèi)容的教學(xué)目的都是訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力，讓學(xué)生利用離散結(jié)構(gòu)建立實(shí)際問題的抽象模型，并在此基礎(chǔ)上建立解決問題的算法.這正體現(xiàn)了計(jì)算思維中的抽象和自動(dòng)化兩個(gè)核心內(nèi)容，因此在離散數(shù)學(xué)課程中應(yīng)加強(qiáng)計(jì)算思維能力的培養(yǎng).在教學(xué)過程中從計(jì)算思維的角度組織課程的教學(xué)內(nèi)容.例如，在歐拉圖和哈密爾頓圖的講解過程中，我們可以按照下述步驟進(jìn)行教學(xué)：

（1）介紹圖論的起源，引出著名的哥尼斯堡七橋問題.

（2）講解歐拉為什么將橋的寬度、距離等因素去掉.

（3）構(gòu)建出該問題的抽象模型——?dú)W拉圖.

（4）分析歐拉所建立的歐拉圖的判定規(guī)則，給出解決該問題的充分必要條件.

（5）列舉現(xiàn)實(shí)生活中的一些實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)如何判定給定的圖是歐拉圖.

（6）引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)習(xí)的程序設(shè)計(jì)語言編寫程序?qū)崿F(xiàn)：輸入一個(gè)圖，輸出該圖是否是歐拉圖.

在這個(gè)分析問題的過程中體現(xiàn)了進(jìn)行問題求解時(shí)采用的一般方法，同時(shí)也包含了計(jì)算思維的抽象和自動(dòng)實(shí)現(xiàn)的核心思想.我們可以使用同樣的方法來講解哈密爾頓圖及其判定條件.最后，對于這兩類特殊圖，引導(dǎo)學(xué)生從問題的起源、抽象模型及判定方法等方面進(jìn)行比較和總結(jié).

3 離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容體系

離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中每一部分都各成體系，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中很難發(fā)現(xiàn)各個(gè)部分之間的聯(lián)系，進(jìn)而學(xué)生不清楚學(xué)習(xí)該課程的目的.雖然離散數(shù)學(xué)包含的內(nèi)容多，但其各個(gè)知識(shí)點(diǎn)都蘊(yùn)含了這個(gè)計(jì)算思維中的核心思想.我們可以將離散數(shù)學(xué)各個(gè)部分中的基本定義、性質(zhì)和定理抽象出來，觀察其各個(gè)部分之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別.圖1給出了離散數(shù)學(xué)整個(gè)教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，體現(xiàn)出數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)和圖論四個(gè)部分之間的內(nèi)在聯(lián)系.實(shí)際上，集合論、數(shù)理邏輯和圖論從抽象角度都可以看成是一種具體的代數(shù)系統(tǒng).基于這個(gè)思想，在每一章內(nèi)容的課程引入和教學(xué)內(nèi)容過程中，都要將該知識(shí)網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)給學(xué)生，使得學(xué)生時(shí)刻牢記其中的聯(lián)系，有利于學(xué)生更好地體會(huì)各個(gè)內(nèi)容之間的聯(lián)系，從而能夠?qū)虒W(xué)內(nèi)容中的由字母、符號、公式、圖形等組成的形式化概念有更深的體會(huì)，有利用培養(yǎng)學(xué)生對問題的抽象思維能力，進(jìn)一步提高計(jì)算思維能力.

4 基于實(shí)踐教學(xué)的計(jì)算思維培養(yǎng)

自動(dòng)實(shí)現(xiàn)是計(jì)算思維中另一個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容，即將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為通過逐步“計(jì)算”求解，從而找到解決問題的算法，利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn).而在傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)中很少設(shè)置實(shí)踐課程，學(xué)生對理論知識(shí)的理解只停留在抽象階段，很難將理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中很難體會(huì)到該課程與計(jì)算機(jī)科學(xué)之間的聯(lián)系，特別是與實(shí)踐應(yīng)用的聯(lián)系.為了增加學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，必須改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式.在理論講授之后，適當(dāng)?shù)卦黾訉?shí)踐教學(xué)內(nèi)容，有利于學(xué)生對理論知識(shí)的掌握和認(rèn)識(shí).在實(shí)踐教學(xué)過程中可以基于任務(wù)驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式，以問題為載體，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.根據(jù)理論課程的教學(xué)內(nèi)容，將知識(shí)點(diǎn)融入到實(shí)踐教學(xué)中設(shè)計(jì)不同的實(shí)驗(yàn)任務(wù)，然后將這些實(shí)驗(yàn)任務(wù)分配給學(xué)生，讓學(xué)生自己進(jìn)行資料的收集、問題的分析以及信息的處理，使得學(xué)生能夠?qū)嶋H感受和體驗(yàn)到知識(shí)的產(chǎn)生過程.這一過程正是自動(dòng)化思想的體現(xiàn).在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中增加實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)，將理論知識(shí)與計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)課程有機(jī)集合，進(jìn)而建立一個(gè)較完善的離散數(shù)學(xué)實(shí)踐課程體系，有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，將所學(xué)知識(shí)綜合起來找到解決問題的方法.

任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式改變了傳統(tǒng)的教與學(xué)的結(jié)構(gòu)，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體.將理論課程上的知識(shí)點(diǎn)融入到一個(gè)總體任務(wù)或多個(gè)子任務(wù)中.每節(jié)課上課時(shí)，教師首先要把這堂課的任務(wù)布置給學(xué)生.學(xué)生通過對任務(wù)進(jìn)行分析、討論，明確任務(wù)所涉及的知識(shí)點(diǎn)，然后進(jìn)行自主探索、相互學(xué)習(xí)，利用有利的學(xué)習(xí)資源，找到解決問題的方法，進(jìn)而完成指定的任務(wù).為了達(dá)到實(shí)踐教學(xué)的目的，在離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以分別從基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)和綜合實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面來開展實(shí)踐教學(xué).為了加強(qiáng)學(xué)生對基本定義、基本性質(zhì)及計(jì)算方法的掌握，可以將這些知識(shí)點(diǎn)融入到基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)中，使學(xué)生加深對抽象概念的理解和認(rèn)識(shí).在基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中，可以采用學(xué)生個(gè)人獨(dú)立完成的形式，教師給每個(gè)學(xué)生分配一個(gè)任務(wù)，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，在規(guī)定的時(shí)間節(jié)點(diǎn)內(nèi)提交任務(wù)，完成相關(guān)的實(shí)驗(yàn).對于綜合性實(shí)驗(yàn)需要多人合作才能完成，可以采用學(xué)生小組合作的方式來進(jìn)行，教師通過創(chuàng)設(shè)一定的情境將任務(wù)呈現(xiàn)給小組學(xué)生，小組學(xué)生根據(jù)自身的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和對知識(shí)的掌握程度進(jìn)行合理分工，小組學(xué)生通過團(tuán)結(jié)合作，對任務(wù)進(jìn)行分析、資料收集、實(shí)驗(yàn)的實(shí)施等過程，最終在規(guī)定時(shí)間節(jié)點(diǎn)提交任務(wù).在實(shí)踐教學(xué)過程中，要始終保持學(xué)生處于學(xué)習(xí)的主體地位，通過學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和積極探究，提高學(xué)生對學(xué)習(xí)的興趣，增加自主學(xué)習(xí)的能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.

基于離散數(shù)學(xué)中的理論教學(xué)內(nèi)容，我們選取了離散數(shù)學(xué)中的一些知識(shí)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)，詳細(xì)內(nèi)容見表2.對于教學(xué)中一些較難的知識(shí)點(diǎn)，與其他計(jì)算機(jī)專業(yè)的必修課程相結(jié)合，設(shè)計(jì)為綜合性實(shí)驗(yàn).例如旅行商問題、最小前綴碼問題等.綜合性實(shí)驗(yàn)對學(xué)生的綜合素質(zhì)要求較高，實(shí)驗(yàn)結(jié)果需要經(jīng)過一段時(shí)間的實(shí)驗(yàn)和研究才能得到.但在實(shí)驗(yàn)的過程中，學(xué)生通過任務(wù)的分析、資料的收集，以及親手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)等實(shí)踐操作，對任務(wù)有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，同時(shí)通過對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析、評價(jià)，找到產(chǎn)出結(jié)果的原因，為得到正確結(jié)果提供一定的研究基礎(chǔ)，為以后的學(xué)習(xí)和研究打下了良好的基礎(chǔ).

表1 離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)Table 1 Basic experiments of discrete mathematics

5 總 結(jié)

計(jì)算思維能力的培養(yǎng)已成為指導(dǎo)計(jì)算機(jī)專業(yè)及其相關(guān)學(xué)科教學(xué)改革和人才培養(yǎng)的重要任務(wù).將離散數(shù)學(xué)教學(xué)與計(jì)算思維培養(yǎng)結(jié)合起來，有利于從計(jì)算思維的角度重新組織離散數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，能取得更好的教學(xué)效果.另一方面，通過實(shí)踐教學(xué)，能夠加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用計(jì)算思維來解決問題的能力.

本文雖然對離散數(shù)學(xué)中計(jì)算思維能力的培養(yǎng)提出了一些解決方案，但還有很多細(xì)節(jié)需要進(jìn)一步研究，如綜合實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)結(jié)果的評價(jià)等.總的來說，在專業(yè)課程的教學(xué)中加強(qiáng)對計(jì)算思維能力的培養(yǎng)，能夠加強(qiáng)學(xué)生的綜合能力的培養(yǎng)，為計(jì)算機(jī)專業(yè)的人才培養(yǎng)提供很好的途徑.

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