任 燕

(運城學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 運城 044000)

微分幾何課程學(xué)習(xí)的幾點建議

任 燕

(運城學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 運城 044000)

通過對微分幾何課程的教學(xué)實踐，從曲線論和曲面論兩方面對課程的學(xué)習(xí)進行探討，分別針對曲線論和曲面論中的計算類和證明類題型給出了對應(yīng)的解題方法，通過本文的論述希望能為學(xué)生學(xué)習(xí)微分幾何提供一些參考。

微分幾何；曲線倫；曲面論；解題方法

0. 引言

1854年黎曼(Riemann,1826-1866)的《論作為幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》一文的發(fā)表是現(xiàn)代微分幾何開端的標(biāo)志[1]?，F(xiàn)在，微分幾何已成為高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要幾何類課程。該課程主要借助向量微積分及空間坐標(biāo)架，去解決各種空間曲線和曲面的有關(guān)幾何問題。由于其具有很強的理論性和抽象性，加上符號多、公式多，可引用的實例較少，直觀性弱，所以導(dǎo)致很多同學(xué)在學(xué)習(xí)微分幾何時，時常感到題難做，特別是題難證明。其實，任何學(xué)科，都有其自身規(guī)律，微分幾何也不例外。本文主要對微分幾何的學(xué)習(xí)提些建議。

1. 曲線論學(xué)習(xí)建議

1.1 解題規(guī)律應(yīng)依賴于相應(yīng)知識的內(nèi)在規(guī)律

1.2 曲線論中的題型及解題規(guī)律

1.2.1 計算類問題

1.2.2 證明類問題

曲線論中的證明問題主要有兩類,下面分別給出兩類問題的解題規(guī)律。

(1)證曲線是直線、平面曲線、或證空間曲線有某種性質(zhì)。這種類型題，首先要掌握好曲線是直線、平面曲線等的充要條件。在應(yīng)用這些充要條件的過程中，要應(yīng)用“碰見問題就求導(dǎo)、有點就用伏雷內(nèi)公式Frenet”的規(guī)律。

例 證明如果一條曲線的所有法平面包含常向量e，那么這曲線是直線或平面曲線。

兩邊對s求導(dǎo)，得

兩邊對s求導(dǎo)，得

例 設(shè)在兩條曲線c和c1的點之間，建立了一一對應(yīng)關(guān)系，且對應(yīng)點的切線平行。

求證：對應(yīng)點的主法線及副法線也分別平行。

2. 曲面論的學(xué)習(xí)建議

2.1 曲面的性質(zhì)

3.2 曲面論中的題型及解題規(guī)律

2.2.1計算類問題

曲面論中的計算問題主要有兩類,下面分別給出兩類問題的解題規(guī)律。

代入曲率線方程

(a2+b2+v2)du2-(a2+b2+u2)dv2=0

兩邊積分，

ln(a2+b2+u2)=ln(a2+b2+v2)+lnc

?a2+b2+u2=c(a2+b2+v2)

為所求曲率線方程。

說明：先求基本量E、F、G、L、M、N，然后代入曲率線方程，解微分方程得曲率線。

已知曲線可為

代入正交條件，得：

說明：求基本量E、F、G代入正交條件。

綜上，這類題型解題規(guī)律比較簡單，關(guān)鍵在于掌握曲面上各點、線、面的方程特征，求各種軌線，各種計算幾何量的公式及各種幾何量間的關(guān)系式。

(2)由于曲面上有諸多的曲率，求這些曲率及它們之間的各種關(guān)系是研究曲面的重要課題，是曲面上幾何性質(zhì)的重要表征。這必導(dǎo)致以各種曲率及其相互關(guān)系表征曲面幾何性質(zhì)的一類題型。解這類題型的規(guī)律是：由曲面的向量方程求其基本量，再利用它們之間的各種關(guān)系公式去解決有關(guān)的問題。

2.2.2 計算類問題

求得E=1，F(xiàn)=0，G=u2+a2

∵L=N=0

∴ 曲面上的參數(shù)網(wǎng)為漸近網(wǎng)

由u線可得dv=0，v=v0(常數(shù))

解這種類型題的規(guī)律是：由曲面的向量方程首先求出六個基本量，再用各種坐標(biāo)網(wǎng)成立的必要條件，或利用各種曲線的性質(zhì)，特別是充要條件.而對曲面上的曲線，還是要用“碰見問題就求導(dǎo)，有點就得用公式”的規(guī)律。

3. 總結(jié)

總之，在微分幾何的學(xué)習(xí)過程中，對一些比較典型的問題，只要找準(zhǔn)規(guī)律選對方法，就可以使問題變得簡單。學(xué)生在學(xué)習(xí)時可以通過與其他同學(xué)討論合作,與老師交流等途徑來尋求解題方法。只有不斷交流，才能相互促進，達到更好的學(xué)習(xí)效果[3]。

[1]RiemannB.OntheHypotheseswhichlieattheBasesofGeometry[J] .Nature,1873 ,8(183).

[2] 梅向明，黃敬之．微分幾何[M]．北京:高等教育出版社，2003．

[3] 王春麗．高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法談[J]．硅谷，2009(12)．

【責(zé)任編輯 馬太來】

2015-08-11

山西省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃課題(QZ-09017);運城學(xué)院教育教學(xué)研究項目(JG201408)

任燕(1982-)，女，山西侯馬人，運城學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系講師，博士，研究方向為密碼學(xué)、有限域。

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