☉浙江義烏市義亭鎮(zhèn)初級中學(xué) 朱根陸

數(shù)形結(jié)合有妙用以圖思圖建奇功
——例談一次函數(shù)的圖像問題

☉浙江義烏市義亭鎮(zhèn)初級中學(xué) 朱根陸

華羅庚先生曾指出：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”這充分說明了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要數(shù)學(xué)思想.數(shù)形結(jié)合是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思索，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可使復(fù)雜問題簡單化，抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題可迎刃而解，且解法簡捷，從而起到優(yōu)化計算的目的.

一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）是初中階段學(xué)習(xí)的第一個函數(shù)．從函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）的角度看，這是一個二元一次方程，可以從解方程（組）的角度研究相關(guān)問題．但一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）的圖像又是一條經(jīng)過兩點的直線，因此，可以借助它的圖像，直觀、形象地解決許多問題．一般而言，函數(shù)圖像有多種方式，但從生活中的變量關(guān)系問題中產(chǎn)生函數(shù)圖像的產(chǎn)生有助于學(xué)生感悟函數(shù)圖像廣泛的應(yīng)用性，這個經(jīng)歷性數(shù)學(xué)活動的內(nèi)容不僅包括函數(shù)圖像的概念，也暗含變化與對應(yīng)思想，函數(shù)圖像的特征，函數(shù)圖像與函數(shù)解析式的關(guān)系，函數(shù)圖像與幾何圖形的區(qū)別.學(xué)習(xí)函數(shù)圖像的意義等認(rèn)知過程既有根據(jù)圖像回答問題以獲得解題技能，也有欣賞給定的函數(shù)圖像，以感悟函數(shù)圖像的特征和函數(shù)圖像與幾何圖形的區(qū)別等.這符合教育能建立新、舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并對學(xué)生感知事物是發(fā)展變化相互聯(lián)系、相互制約的和用圖像描述函數(shù)關(guān)系的優(yōu)越性有積極的影響.

圖1

A．1＜a＜2B.－2＜a＜0

C.－3≤a≤－2D.－10＜a＜－4

解法2：直線y=a是一條平行于x軸的直線，不妨畫出這條直線（如圖2），顯然，當(dāng)直線y=a與y軸的交點Q在點B的下方時，符合題意．B點的坐標(biāo)為（0，－3），Q點的坐標(biāo)為（0，a），所以a<-3．

圖2

點評：解法1是代數(shù)方法，要求能正確解方程組和解不等式組．解法2是數(shù)形結(jié)合法，利用圖形的特征，快速得到答案．

下面，不妨對這道中考題進(jìn)行改編，嘗試通過變化豐富題目的內(nèi)涵和外延．

變式1：直線l：y=－2x+4與直線x=a（a為常數(shù)）的交點在第一象限，則a的取值范圍是_________．

圖3

提示：畫出直線l：y=－2x+4的圖像（如圖3，示意圖即可），與y軸的交點A的坐標(biāo)為（0，4），與x軸的交點B的坐標(biāo)為（2，0）.直線x=a的圖像是一條平行于y軸的直線，當(dāng)這兩條直線的交點在第一象限時，即交點在A、B兩點之間，所以0

有沒有發(fā)現(xiàn)變式1特別簡單？似乎數(shù)形結(jié)合的方法沒有太明顯的優(yōu)勢.不要急，教師可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，將問題進(jìn)行二次變形.

變式2：直線y=－2x+4與直線y=3x+b（b為常數(shù)）的交點在第一象限，則b的取值范圍是_________．

提示：畫出直線y=－2x+4的圖像（如圖4，示意圖即可），與y軸的交點A的坐標(biāo)為（0，4），與x軸的交點B的坐標(biāo)為（2，0）.直線y=3x+b的圖像是一條從左往右向上的直線，隨著b的變化，直線的位置發(fā)生變化，但這些直線都互相平行．設(shè)直線y= 3x+b與y軸的交點為P（0，b），與x軸的交點為當(dāng)P在A點下方，Q在B點左側(cè)時，符合題意．此時所以-6

圖4

當(dāng)然，對于本題，也可以直接求出直線l：y=－2x+4與直線y=3x+b的交點（解方程組），然后根據(jù)交點在第一象限，求出b的范圍（解不等式組）．利用這種方法計算量有點兒大，而且因為含有字母b，在解方程組時容易出錯．

于是，數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)點就顯現(xiàn)出來了：（1）直觀——方便思考；（2）簡潔——計算量少．下面還有兩個變式.

變式3：直線y=2x+4與直線y=－x+b（b為常數(shù)）的交點不可能在第（）象限.

A．一 B．二 C．三 D．四

設(shè)計的意圖是讓學(xué)生明白圖像在解決一次函數(shù)問題中的重要性．

變式4：直線l：y=－2x+4與直線y=kx－2（k為常數(shù)）的交點在第一象限，則k的取值范圍是_________．

對于這些問題，教師不妨在課堂上讓學(xué)生之間做個比賽，看看他們是如何解答變式3和變式4的，看看誰的速度快，誰的方法好，由此也可以讓學(xué)生不斷地對圖像產(chǎn)生更加深刻的理解.以上變式的解題思路主要運用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，利用圖像來分析問題可以將數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化.在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生不僅僅著眼于具體題目的解題過程，而且應(yīng)不斷加深對數(shù)形結(jié)合思想的領(lǐng)會，從整體上認(rèn)識問題的本質(zhì)，從而收到事半功倍的效果.

綜上所述，從中考問題出發(fā)引出不同的變化，讓形與數(shù)之間共生.這個問題雖不十分系統(tǒng)，限于篇幅，應(yīng)用與總結(jié)環(huán)節(jié)的教學(xué)操作沒有給出解析與說明，回答可能也不全面，但對改變當(dāng)前只學(xué)不研的現(xiàn)象和幫助教師認(rèn)識與實踐過程教育有積極作用，對發(fā)展教師的實踐性智慧也有積極影響.一次函數(shù)圖像的特征與性質(zhì)也包括其生成過程和蘊含的歸納思想，圖像語言轉(zhuǎn)化為文字語言的轉(zhuǎn)化思想，認(rèn)知過程既有在引導(dǎo)學(xué)生觀察的基礎(chǔ)上歸納一次函數(shù)圖像的特征與性質(zhì)以獲得一次函數(shù)圖像的特征與性質(zhì)，也有獲得一次函數(shù)圖像的特征與性質(zhì)之后的反思以感悟生成一次函數(shù)圖像的特征與性質(zhì)的步驟和蘊含的數(shù)學(xué)思想.教師在教學(xué)過程中可以適度采取教育智慧，把圖像的前后關(guān)聯(lián)說清楚，以圖像作為橋梁，架起代數(shù)研究從性質(zhì)到本質(zhì)的紐帶，使數(shù)形結(jié)合思想發(fā)揮強大的作用.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大出版社，2012.

2.范良火.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八年級上冊）［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.

3.莫里斯·克萊因，著.古今數(shù)學(xué)思想（三）［M］.張理京，張錦炎，江澤涵，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002.Z